Das grundlegende Modell in der Quantenoptik, das die Wechselwirkung von\nStrahlung mit Materie beschreibt, ist das Ein-Moden-Jaynes-Cummings-Modell\n(JCM). In der vorliegenden Arbeit wird eine kompakte Lösung für eine\nZwei-Moden-Erweiterung des JCMs vorgestellt, wobei die Strahlung durch\nzwei quantisierte Feld-Moden eines Resonators beschrieben wird, die mit zwei\nquantisierten Niveaus eines Atoms oder Moleküls wechselwirkt.\nWenn dieWechselwirkung von Strahlung mit Materie quantenmechanisch\nbehandelt wird, treten neue nichtklassische E®ekte in Erscheinung. Im Besonderen\nkann das Phänomen der Verschränkung untersucht werden. Verschränkung ist eine fundamentale Eigenschaft der Quantenmechanik und ist\nein Grundbaustein in der Quantenkryptographie und in Quantencomputern.\nEs ist deshalb interessant, den entwickelten algebraischen Formalismus anzuwenden, um zu zeigen, wie Verschränkung im Zwei-Moden-JCM erzeugt\nwerden kann.\nZuerst werden drei Erzeugungsschemata vorgestellt, um die zwei quantisierten\nFeld-Moden in einem Resonator miteinander zu verschränken. Es wird\ngezeigt, dass Verschränkung ausgehend von einem Anfangszustand für das\nFeld und einem Atom in einem definierten Zustand, in einem Schritt erzeugt\nwerden kann. Es wird auch gezeigt, wie sich Verschränkung aus dem Vakuum\naufbaut, wenn angeregte Atome durch einen Resonator eines nach dem\nanderen hindurchgeschickt werden und deren Endzustand gemessen wird.\nAußerdem wird der Fall behandelt, wenn der Endzustand der Atome nicht\ngemessen wird. Um die Zeitentwicklung der zwei Feld-Moden näher zu untersuchen,\nwerden Verteilungsfunktionen für die beiden Feld-Moden analytisch\nberechnet.\nEs wird auch gezeigt, dass ein Atom mit den zwei Feld-Moden einen\nverschränkten Zustand bilden kann. Dieses Phänomen ist bereits vom Ein-\nModen-JCM bekannt und wird für den Zwei-Moden-Fall näher untersucht.\nSchließlich werden Atomobservable wie die Inversion und Polarisation analytisch\nberechnet und diskutiert.
Das grundlegende Modell in der Quantenoptik, das die Wechselwirkung von\nStrahlung mit Materie beschreibt, ist das Ein-Moden-Jaynes-Cummings-Modell\n(JCM). In der vorliegenden Arbeit wird eine kompakte Lösung für eine\nZwei-Moden-Erweiterung des JCMs vorgestellt, wobei die Strahlung durch\nzwei quantisierte Feld-Moden eines Resonators beschrieben wird, die mit zwei\nquantisierten Niveaus eines Atoms oder Moleküls wechselwirkt.\nWenn dieWechselwirkung von Strahlung mit Materie quantenmechanisch\nbehandelt wird, treten neue nichtklassische E®ekte in Erscheinung. Im Besonderen\nkann das Phänomen der Verschränkung untersucht werden. Verschränkung ist eine fundamentale Eigenschaft der Quantenmechanik und ist\nein Grundbaustein in der Quantenkryptographie und in Quantencomputern.\nEs ist deshalb interessant, den entwickelten algebraischen Formalismus anzuwenden, um zu zeigen, wie Verschränkung im Zwei-Moden-JCM erzeugt\nwerden kann.\nZuerst werden drei Erzeugungsschemata vorgestellt, um die zwei quantisierten\nFeld-Moden in einem Resonator miteinander zu verschränken. Es wird\ngezeigt, dass Verschränkung ausgehend von einem Anfangszustand für das\nFeld und einem Atom in einem definierten Zustand, in einem Schritt erzeugt\nwerden kann. Es wird auch gezeigt, wie sich Verschränkung aus dem Vakuum\naufbaut, wenn angeregte Atome durch einen Resonator eines nach dem\nanderen hindurchgeschickt werden und deren Endzustand gemessen wird.\nAußerdem wird der Fall behandelt, wenn der Endzustand der Atome nicht\ngemessen wird. Um die Zeitentwicklung der zwei Feld-Moden näher zu untersuchen,\nwerden Verteilungsfunktionen für die beiden Feld-Moden analytisch\nberechnet.\nEs wird auch gezeigt, dass ein Atom mit den zwei Feld-Moden einen\nverschränkten Zustand bilden kann. Dieses Phänomen ist bereits vom Ein-\nModen-JCM bekannt und wird für den Zwei-Moden-Fall näher untersucht.\nSchließlich werden Atomobservable wie die Inversion und Polarisation analytisch\nberechnet und diskutiert.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.
Der Begriff Quantenlogik geht auf Von Neumann und Birkhoff zurück, welche darunter den Verband der abgeschlossenen Unterräume eines separablen Hilbertraumes verstanden haben. In Verallgemeinerung davon werden verschiedene Klassen von Halbordnungen als Quantenlogiken bezeichnet.Ist eine Quantenlogik nicht von vornherein bekannt, so kann man versuchen, mit Hilfe von Messungen, welche zu sog. numerischen Ereignissen führen, diese zu charakterisieren. Insbesondere ist von Interesse, ob man es dann mit einem klassischen oder quantenmechanischen Phänomen zu tun hat.Sei S eine Menge von Zuständen eines physikalischen Systems und p(s) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, wenn sich das System im Zustand sausS befindet. Dann definiert p(s) eine Funktion von S nach [0, 1], welche als numerisches Ereignis, genauer, als S-Wahrscheinlichkeit, bezeichnet wird. Ordnet man eine Menge P von S-Wahrscheinlichkeiten bezüglich der Ordnung von reellen Funktionen, schließt die konstanten Funktionen 0 und 1 mit ein und verlangt, dass mit jedem pausP auch 1-p zu P gehört, so erhält man eine halbgeordnete Menge, welche als Quantenlogik interpretiert werden kann. Nach einer Einführung in benötigte physikalische Grundlagen werden verschiedene Klassen von solchen Quantenlogiken hinsichtlich ihrer Struktur untersucht, wobei insbesondere der Frage nachgegangen wird, wann diese Boolesche Algebren bilden, was charakteristisch für das Vorliegen eines klassischen physikalischen Systems ist. Ferner werden Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen von numerischen Ereignissen studiert, algebraische Repräsentationen angegeben und auf verschiedene Weisen die für die Erkennung eines klassischen Systems so wesentliche Eigenschaft charakterisiert, dass zwei S-Wahrscheinlichkeiten miteinander kommutieren. Darüber hinaus werden Familien von aus Korrelationswahrscheinlichkeiten zusammengesetzten Ungleichungen behandelt, welche die aus der Physik bekannten Bellschen-Ungleichungen verallgemeinern.
ZusammenfassungEin wichtiges Anwendungsgebiet der Quantenmechanik stellt die theoretische Untersuchung und Beschreibung von Streu-(Stoß)prozessen atomarer Teilchen dar. Es lassen sich damit wertvolle Aufschlüsse über Teilchenwechselwirkungen (z.B. Kernkräfte), elementare Wechselwirkungspotentiale, den Aufbau der Materie (z.B. Kristallstrukturen) usw. gewinnen. Die energetische Struktur der Atome und Moleküle wird dagegen spektroskopisch untersucht, wobei durch eine irgendwie geartete Energiezufuhr das Teilchen aus seinem Grundzustand in einen angeregten Zustand versetzt wird. Die bei der Rückkehr in den Grundzustand zum Beispiel in Form eines Photons emittierte Energie wird analysiert. Anfangs- und Endzustand des Prozesses stammen aus dem diskreten Spektrum des Hamilton-Operators (gebundene Zustände). Typisch für Streuprozesse ist dagegen, daß Anfangs- und Endzustand des betrachteten Systems beide im kontinuierlichen Teil des Eigenwertspektrums liegen. Das gestreute Teilchen kommt aus dem Unendlichen in den Wirkungsbereich des Streuers, um nach dem Stoß asymptotisch im Unendlichen detektiert zu werden. Es befindet sich also nicht in einem gebundenen Zustand.
ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den
Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit mit der spontanen Emission eines Photons, durch ein angeregtes Zwei-Niveau System in einer optischen Kavität. Für diese Problemstellung entwickeln wir eine allgemein anwendbare Lösungsstrategie, die es ermöglicht das Emissionsverhalten für beliebige eindimensionale Geometrien und Kopplungskonstanten zwischen Emitter und Kavität zu berechnen. Im Vakuum wird die spontane Emission durch die Kopplung des Emitters an die Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes ausgelöst. Erstmals wurde durch Purcell gezeigt, dass dieses Emissionsverhalten durch die räumliche Umgebung des Emitters beeinflusst wird. Dies liegt daran, dass sich in einer optischen Kavität die Modenstruktur gegenüber dem Vakuum verändert. Folglich ist auch die Kopplung des Emitters an das Feld nicht mehr dieselbe. Im konkreten Fall des Purcell Effekts wird die Emission stark beschleunigt, wenn die Frequenz des emittierten Photons einer Mode des Feldes entspricht. Um diese Effekte korrekt zu beschreiben ist ein Zugang über die Quantenelektrodynamik notwendig, welchre die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes vollständig beinhaltet. Eines der ersten quantenfeldtheoretischen Modelle zur Behandlung des Problems eines Zwei-Niveau Systems in einer optischen Kavität war das Jaynes-Cummings Modell (JCM). Dieses Modell beschreibt die Wechselwirkung eines Emitters mit einer Mode des Feldes (single-mode coupling) und bietet die Grundlage zum Verständnis einer Vielzahl quantenoptischer Phänomene, wie zum Beispiel Rabi Oszillationen. Um Rechnungen über einen großen Wertebereich von Kopplungskonstanten durchzuführen, haben wir einen allgemeineren Zugang gewählt, welcher auch die Ankopplung des Emitters an mehrere Moden der Kavität beschreibt. In dieser Diplomarbeit werden die Grundgleichungen dieses Ansatzes numerisch implementiert und auf zwei einfache eindimensionale System angewendet. Es werden nicht nur Ergebnisse im "single-mode coupling" Bereich, sondern auch für die bisher nicht diskutierten "few-mode" und "multi-mode coupling" Konfigurationen präsentiert. Insbesondere die Ergebnisse für sehr starke Kopplungen des Emitters an das Feld (multi-mode coupling) erweisen sich als interessant. Es kann ein quasi klassisches Verhalten des emittierten Photons beobachtet werden. Nach einem sehr schnellen Zerfall treten im Emitter erhöhte Wahrscheinlichkeiten zur Absorption des Photons zu Zeitpunkten auf, die sich durch eine klassische Trajektorie identifizieren lassen.
Die Arbeit bietet eine systematische Einführung in die Grundlagen der Quantenmechanik und entwickelt diese ausgehend von Heisenbergs Ansatz, „nur messbare Größen zuzulassen“ . Im Zentrum steht die Abkehr von klassischen Atommodellen und die Etablierung der Operatorenmechanik, in der Observablen durch hermitesche Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum dargestellt werden. Zustände werden als Vektoren formuliert, deren Transformationen und Messprozesse durch lineare Operatoren beschrieben sind. Ein Schwerpunkt liegt auf der physikalischen und mathematischen Analyse des Spins. Ausgehend vom Stern‑Gerlach‑Experiment wird gezeigt, dass Spinkomponenten nicht kontinuierlich, sondern ausschließlich diskrete Werte annehmen: „Dem war aber nicht so. Sondern es gab nur Punkte rund um o und um u.“ . Die Arbeit erläutert die quantisierte Natur des Spins, die Rolle des Landé‑Faktors, die Interpretation von Messprozessen sowie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei Drehung des Messapparats. Darauf aufbauend wird die mathematische Struktur der Quantenmechanik entwickelt: Hilberträume, Orthonormalbasen, Bra‑Ket‑Notation, Wahrscheinlichkeitsamplituden und die Darstellung von Operatoren als Matrizen. Die Pauli‑Matrizen werden eingeführt und ihre Rolle als Spinoperatoren detailliert hergeleitet. Die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren für stabile Zustände wird anhand des Spinoperators Sz demonstriert. Abschließend verbindet der Text experimentelle Evidenz, mathematische Formalisierung und konzeptionelle Interpretation zu einer kohärenten Darstellung der Quantenmechanik, die sowohl für die physikalische Intuition als auch für die theoretische Weiterarbeit geeignet ist.