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The hydrogen atom according to wave mechanics in cartesian coordinates

John F. Ogilvie

Published Jun 17, 2019• 2 citations
OpenAlex

Abstract

Se muestra una separación parcial de las variables para la solución de la ecuación independiente de la temporalidad de Schroedinger en coordenadas cartesianas x,y,z que produce una fórmula algebraica bastante sencilla para las funciones de amplitud que involucran los números quánticos k, l, m, así como en las coordenadas esféricas polares. De esta forma, las propiedades del momento angular se obtienen sin una variable de ángulo. Varios gráficos de las superficies de la constante y (x,y,z) se presentan para ilustrar la semejanza entre la forma de estas superficies y la forma de las superficies de y (r, q, f) con los números cuánticos correspondientes.

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En este cuarto artículo de una serie de cinco, se resuelve la ecuación de Schrödinger en coordenadas esferocónicas para producer funciones de amplitude que facilitan gráficos exactos de sus superficies para ilustrar la variación de formas y tamaños con los números cuánticos k, l, κ, para comparación con los gráficos correspondientes de funciones de amplitus en coordenadas de otros sistemas. Estas funciones de amplitude derivadas directamente tiene la característica única de ser solo prospectivamente real, sin ninguna parte imaginaria.

•Jun 29, 2017•4 citations

The hydrogen atom according to wave mechanics - V implications of multiple coordinate systems

John F. Ogilvie

La ecuación de onda parcial-diferencial temporalmente dependiente o independiente de Schroedinger para el átomo de hidrógeno se puede solucionar en coordenadas espaciales en cuatro sistemas distintos. Sin embargo, las propiedades de dichas soluciones e incluso los números cuánticos en conjunto que caracterizan esas funciones de onda o amplitud son muy propias a cada sistema. Por lo anterior, se discuten las relaciones entre las funciones de onda del átomo de hidrógeno, la mecánica ondulatoria y la estructura molecular. Por otro lado, se argumenta que la mecánica cuántica es en gran medida irrelevante en la educación química.

•Jun 29, 2017•0 citations

The hydrogen atom in momentum space

John F. Ogilvie

Para complementar la descripción de las funciones de amplitud existentes para el átomo de hidrógeno, en las representaciones de varios sistemas de coordenadas, se presentan todas las funciones de amplitud conocidas y caracterizadas. Específicamente, se muestran los tratamientos de Podolsky y Pauling transformando a partir de las coordenadas polares esféricas, las de Klein, transformadas a partir de coordenadas paraboloides, y las de Lombardi, transformadas a partir de coordenadas polares esféricas y paraboloides. Las imágenes que representan las superficies de las funciones en sus partes reales e imaginarias o sus funciones cuadradas, muestran la diversidad de las formas de estas superficies según las diversas variables en el espacio de momentos.

•Aug 25, 2020•0 citations

Solución analítica de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula en una caja cuántica

Heriberto Castañeta, Jorge Nogales

En este articulo se analiza y resuelve laecuacion de Schrodinger independiente deltiempo o en estado estacionario para una particulaen una caja unidimensional de potencialcero. Para este proposito se definen conceptosy postulados cuanticos como la funcion deonda y los requisitos matematicos que debecumplir como el de ser funcion continua, univaluada(un solo valor f(x) para cada valor dex) y diferenciable (derivable). Se describen alos operadores cuanticos: como el operadorde posicion, operador derivada, operador delmomento lineal clasico y cuantico, operadorenergia potencial y el operador Hamiltoniano.Se obtienen valores propios o eigenvalores.Se normalizan funciones aplicando metodosdel calculo integral y se establece la ecuacionde Schrodinger para una dimension y tres dimensiones.La solucion da a una funcion de onda real que matematicamente es una funciontrigonometrica seno. Se encuentra quela energia de la particula esta cuantizada olimitada a valores discretos.

Revista CON-CIENCIA•Nov 23, 2015•0 citations

Phase-space propagation of the time independent schrödinger equation for one-dimensional potentials

Ivan Enrique Solarte Rueda

Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.

•Dec 12, 2024•0 citations

Solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno en coordenadas esferoidales prolatas

H. Celemin, E. J. Machado, J.A. Cardona-Bedoya

El sistema de coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ᵩ) es ortogonal y es el resultado de la rotación de una elipse alrededor de su eje mayor (eje en el cual los focos están situados). El átomo de hidrógeno como sistema atómico más sencillo es resuelto usando coordenadas esferoidales prolatas. Considerando que el núcleo del átomo de hidrogeno está ubicado en uno de los focos de la elipse, se encuentra que la ecuación de Schrödinger es separable en dichas coordenadas (ψ(ξ, η, ᵩ) = X (ξ) Y(η) Φ(ᵩ)). Con el fin de facilitar los cálculos se supone que la distancia entre el centro de la elipse y el foco es un número semi-entero del radio de Bohr (a0), con esta suposición se encuentra una expresión para la función de onda ψ(ξ, η, ᵩ) del átomo de hidrogeno.Palabras clave: átomo de hidrógeno.

Respuestas•Oct 6, 2015•0 citations
Se muestra una separación parcial de las variables para la solución de la ecuación independiente de la temporalidad de Schroedinger en coordenadas cartesianas x,y,z que produce una fórmula algebraica bastante sencilla para las funciones de amplitud que involucran los números quánticos k, l, m, así como en las coordenadas esféricas polares. De esta forma, las propiedades del momento angular se obtienen sin una variable de ángulo. Varios gráficos de las superficies de la constante y (x,y,z) se presentan para ilustrar la semejanza entre la forma de estas superficies y la forma de las superficies de y (r, q, f) con los números cuánticos correspondientes.
En este cuarto artículo de una serie de cinco, se resuelve la ecuación de Schrödinger en coordenadas esferocónicas para producer funciones de amplitude que facilitan gráficos exactos de sus superficies para ilustrar la variación de formas y tamaños con los números cuánticos k, l, κ, para comparación con los gráficos correspondientes de funciones de amplitus en coordenadas de otros sistemas. Estas funciones de amplitude derivadas directamente tiene la característica única de ser solo prospectivamente real, sin ninguna parte imaginaria.
La ecuación de onda parcial-diferencial temporalmente dependiente o independiente de Schroedinger para el átomo de hidrógeno se puede solucionar en coordenadas espaciales en cuatro sistemas distintos. Sin embargo, las propiedades de dichas soluciones e incluso los números cuánticos en conjunto que caracterizan esas funciones de onda o amplitud son muy propias a cada sistema. Por lo anterior, se discuten las relaciones entre las funciones de onda del átomo de hidrógeno, la mecánica ondulatoria y la estructura molecular. Por otro lado, se argumenta que la mecánica cuántica es en gran medida irrelevante en la educación química.
Para complementar la descripción de las funciones de amplitud existentes para el átomo de hidrógeno, en las representaciones de varios sistemas de coordenadas, se presentan todas las funciones de amplitud conocidas y caracterizadas. Específicamente, se muestran los tratamientos de Podolsky y Pauling transformando a partir de las coordenadas polares esféricas, las de Klein, transformadas a partir de coordenadas paraboloides, y las de Lombardi, transformadas a partir de coordenadas polares esféricas y paraboloides. Las imágenes que representan las superficies de las funciones en sus partes reales e imaginarias o sus funciones cuadradas, muestran la diversidad de las formas de estas superficies según las diversas variables en el espacio de momentos.
En este articulo se analiza y resuelve laecuacion de Schrodinger independiente deltiempo o en estado estacionario para una particulaen una caja unidimensional de potencialcero. Para este proposito se definen conceptosy postulados cuanticos como la funcion deonda y los requisitos matematicos que debecumplir como el de ser funcion continua, univaluada(un solo valor f(x) para cada valor dex) y diferenciable (derivable). Se describen alos operadores cuanticos: como el operadorde posicion, operador derivada, operador delmomento lineal clasico y cuantico, operadorenergia potencial y el operador Hamiltoniano.Se obtienen valores propios o eigenvalores.Se normalizan funciones aplicando metodosdel calculo integral y se establece la ecuacionde Schrodinger para una dimension y tres dimensiones.La solucion da a una funcion de onda real que matematicamente es una funciontrigonometrica seno. Se encuentra quela energia de la particula esta cuantizada olimitada a valores discretos.
Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.
El sistema de coordenadas esferoidales prolatas (ξ, η, ᵩ) es ortogonal y es el resultado de la rotación de una elipse alrededor de su eje mayor (eje en el cual los focos están situados). El átomo de hidrógeno como sistema atómico más sencillo es resuelto usando coordenadas esferoidales prolatas. Considerando que el núcleo del átomo de hidrogeno está ubicado en uno de los focos de la elipse, se encuentra que la ecuación de Schrödinger es separable en dichas coordenadas (ψ(ξ, η, ᵩ) = X (ξ) Y(η) Φ(ᵩ)). Con el fin de facilitar los cálculos se supone que la distancia entre el centro de la elipse y el foco es un número semi-entero del radio de Bohr (a0), con esta suposición se encuentra una expresión para la función de onda ψ(ξ, η, ᵩ) del átomo de hidrogeno.Palabras clave: átomo de hidrógeno.