In this work, a special elementary transfer matrix is constructed for generalized Ising models and Potts models with the general form of a finite Hamiltonian with a multi-spin interaction in a space of arbitrary dimensionality, the Napierian logarithm of its maximum eigenvalue is equal to the free energy of the system. In some cases, it was possible to obtain an explicit form of the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of the elementary transfer matrix. On this basis we obtained systems of nonlinear equations for the interaction coefficients of the Hamiltonian for finding the exact value of the free energy on a set of disorder solutions. Using the Levenberg-Marquardt method, the existence of nontrivial solutions of the resulting systems of equations for plane and three-dimensional Ising models was shown. In some special cases (the 2D Ising model, the interaction potential, including the interaction of the next nearest neighbors and quadruple interactions; the 3D model with a special Hamiltonian symmetric relative to the change of all spin signs, for which it is possible to reduce the system of equations to the system for a planar model) three parameters are written in explicit form. The domain of existence of these solutions is described. В работе построена специальная элементарная трансфер-матрица для обобщенных моделей Изинга и моделей Поттса с общим видом финитного гамильтониана с мультиспиновым взаимодействием в пространстве произвольной размерности, натуральный логарифм максимального собственного значения которой равен свободной энергии системы. В некоторых случаях удалось получить явный вид собственного вектора, отвечающего наибольшему собственному значению элементарной трансфер-матрицы. На основе этого выведены системы нелинейных уравнений на коэффициенты взаимодействия гамильтониана для нахождения точного значения свободной энергии на множестве неупорядоченных решений (disorder solutions). Методом Левенберга-Марквардта показано существование нетривиальных решений получающихся систем уравнений для плоских и трехмерных моделей Изинга. В некоторых частных случаях (2D модель Изинга, потенциал взаимодействия, включающий взаимодействие следующих ближайших соседей и четверные взаимодействия; 3D модель со специальным гамильтонианом, симметричным относительно перемены всех знаков спинов, для которой удается свести систему уравнений к системе для плоской модели) решения, зависящие от трех параметров, выписаны в явном виде. Описана область существования этих решений.
In this work, a special elementary transfer matrix is constructed for generalized Ising models and Potts models with the general form of a finite Hamiltonian with a multi-spin interaction in a space of arbitrary dimensionality, the Napierian logarithm of its maximum eigenvalue is equal to the free energy of the system. In some cases, it was possible to obtain an explicit form of the eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of the elementary transfer matrix. On this basis we obtained systems of nonlinear equations for the interaction coefficients of the Hamiltonian for finding the exact value of the free energy on a set of disorder solutions. Using the Levenberg-Marquardt method, the existence of nontrivial solutions of the resulting systems of equations for plane and three-dimensional Ising models was shown. In some special cases (the 2D Ising model, the interaction potential, including the interaction of the next nearest neighbors and quadruple interactions; the 3D model with a special Hamiltonian symmetric relative to the change of all spin signs, for which it is possible to reduce the system of equations to the system for a planar model) three parameters are written in explicit form. The domain of existence of these solutions is described. В работе построена специальная элементарная трансфер-матрица для обобщенных моделей Изинга и моделей Поттса с общим видом финитного гамильтониана с мультиспиновым взаимодействием в пространстве произвольной размерности, натуральный логарифм максимального собственного значения которой равен свободной энергии системы. В некоторых случаях удалось получить явный вид собственного вектора, отвечающего наибольшему собственному значению элементарной трансфер-матрицы. На основе этого выведены системы нелинейных уравнений на коэффициенты взаимодействия гамильтониана для нахождения точного значения свободной энергии на множестве неупорядоченных решений (disorder solutions). Методом Левенберга-Марквардта показано существование нетривиальных решений получающихся систем уравнений для плоских и трехмерных моделей Изинга. В некоторых частных случаях (2D модель Изинга, потенциал взаимодействия, включающий взаимодействие следующих ближайших соседей и четверные взаимодействия; 3D модель со специальным гамильтонианом, симметричным относительно перемены всех знаков спинов, для которой удается свести систему уравнений к системе для плоской модели) решения, зависящие от трех параметров, выписаны в явном виде. Описана область существования этих решений.
This study demonstrates a development of convenient formulae for obtaining the value of the free energy in the thermodynamic limit on a set of exact disorder solutions depending on four parameters for a 2D generalized Ising model in an external magnetic field with the interaction of nearest neighbors, next nearest neighbors, all kinds of triple interactions and the four interactions for the planar model, and for the 3D generalized Ising model in an external magnetic field with all kinds of interactions in the tetrahedron formed by four spins: at the origin of the coordinates and the closest to it along three coordinate axes in the first coordinate octant. Lattice models are considered with boundary conditions with a shift (similar to helical ones), and a cyclic closure of the set of all points (in natural ordering). For both the planar model and the 3D model, elementary transfer matrices with nonnegative matrix elements are constructed, while the free energy in the thermodynamic limit is equal to the Napierian logarithm of the maximum eigenvalue of the transfer matrix. This maximum eigenvalue can be found for a special kind of eigenvector with positive components. The region of existence of these solutions is described. The examples show the existence of nontrivial solutions of the resulting systems of equations for plane and threedimensional generalized Ising models. The system of equations and the value of free energy in the thermodynamic limit will remain the same for plane and threedimensional models with Hamiltonians, in which the value of the maximum in the natural ordering of the spin is replaced by the value of the spin at almost any other point in the lattice, this significantly expands the set of models having disordered exact solutions. The high degree of symmetry and repeatability of the components of the found eigenvectors, disappearing when we go beyond the framework of the obtained set of exact solutions, are the reason for the search for phase transitions in the vicinity of this set of disordered solutions. В работе получены формулы для нахождения свободной энергии в термодинамическом пределе на множестве точных неупорядоченных решений (disordersolutions), зависящих от четырех параметров для 2Dобобщенной модели Изинга во внешнем магнитном полесо взаимодействием ближайших соседей, следующих ближайших соседей (nextnearest), всевозможных тройных взаимодействий и взаимодействия четырех спинов для плоской модели, и для 3Dобобщенной модели Изинга во внешнем магнитном полесо всевозможными взаимодействиями в тетраэдре, образованном четырьмя спинами: в начале координат и ближайшие к нему по трем координатным осям в первом координатном октанте. Решеточные модели рассматриваютсяс граничными условиями со сдвигом (похожие на винтовые), и циклическим замыканием множества всех точек (в естественном упорядочении). В обоих случаях для плоской и 3Dмоделей построены элементарные трансферматрицы с неотрицательными матричными элементами, при этом свободная энергия в термодинамическом пределе равна натуральному логарифму максимального собственного значения трансферматрицы. Это максимальное собственное значение удается найти для специального вида собственного вектора с положительными компонентами. Описана область существования этих решений.На примерах показано существование нетривиальных решений получающихся систем уравнений для плоских и трехмерных обобщенных моделей Изинга. Система уравнений и значение свободной энергиив термодинамическом пределе останутся прежними для плоских и трехмерных моделей с гамильтонианами, в которых значение максимального в естественном упорядочении спина заменено значением спина практически в любой другой точке решетки, это значительно расширяет множество моделей, имеющих неупорядоченные точные решения.Высокая симметрия и повторяемость компонент найденных собственных векторов, исчезающая при выходе за рамки полученного множества точных решений, является поводом для поиска фазовых переходов в окрестности этого множества неупорядоченных решений.
This work demonstrates the Fourier transform of the elementary transfer matrix of the generalized twodimensional Ising model with special boundary conditions with a shift (screw type) with the form of a Hamiltonian covering the classical Ising model with an external field, as well as models equivalent to models on a triangular lattice with a chessboard type Hamiltonian (the author plans to consider the general form of interaction in the following publication). Its limit representation is obtained in the form of a sum of integral operators with the size of the system tending to infinity. This allows the actual problem of finding the maximum eigenvalue of the limiting elementary transfer matrix (its Napierian logarithm is equal to the free energy of the system) to be brought to finding the maximum eigenvalue of the sum of integral operators of a fairly simple form. This approach can help solve the problems associated with the large size of the transfer matrices. В работе сделано преобразование Фурье элементарной трансферматрицы обобщенной двумерной модели Изинга со специальными граничными условиями со сдвигом (типа винтовых)с видом гамильтониана, охватывающем классическую модель Изинга с внешним полем, а также модели, эквивалентные моделям на треугольной решетке с гамильтонианом шахматного типа (общий вид взаимодействия автор планирует рассмотреть в следующей публикации). Получено ее предельное представление в виде суммы интегральных операторовпри размерах системы, стремящихся к бесконечности. Это позволяет актуальную задачу нахождения максимального собственного значения предельной элементарной трансферматрицы (ее натуральный логарифм равен свободной энергии системы) свести к нахождению максимального собственного значения суммы интегральных операторов достаточно простого вида. Такой подход может помочь снять проблемы, связанные с большим размером трансферматриц.
For generalized 2D Ising model in an external magnetic field with the interaction of nearest neighbors, next nearest neighbors, all kinds of triple interactions and the quadruple interaction the formulas for finding free energy per lattice site in the thermodynamic limit were derived on a certain set of exact disordered solutions depending on seven parameters. Lattice models are considered with boundary conditions with a shift (similar to helical ones), and with cyclic closure of the set of all points in natural ordering. The elementary transfer matrix with nonnegative matrix elements are constructed. On the set of disorder solutions the largest eigenvalue of the transfer matrix is constant for every size of considering planar lattice, and, in particular, in the thermodynamic limit. Free energy per lattice site in the thermodynamic limit is expressed through the natural logarithm of the largest eigenvalue of transfer matrix. This largest eigenvalue can be found for a special form of eigenvector with positive components. The numerical example show the existence of nontrivial solutions of the resulting systems of equations. The system of equations and the value of free energy in the thermodynamic limit will remain the same for 2D generalized Ising models with Hamiltonians, in which the values of two (out of four) neighboring maximal spins in the natural ordering are replaced by the values of the spins at any other two lattice points adjacent in the natural ordering, this significantly expands the set of models having disordered exact solutions. The high degree of symmetry and inductive construction of the components of the eigenvectors, which disappear when going beyond the framework of the obtained set of exact solutions, is an occasion to search for phase transitions in the vicinity of this set of disordered solutions.
For arbitrary Ising-like models of any dimension and Hamiltonians with a finite support with all possible multispin interactions and boundary conditions with a shift, the exact value of the free energy in the thermodynamic limit is obtained at some parametrically specified set of multispin interaction coefficients. In this case, half of the multispin interaction coefficients and the coordinates of the special eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of the elementary transfer matrix are parameters, and the second half of the multispin coefficients is calculated using simple explicit formulas. For models with Hamiltonians invariant under the reversal of signs of all spins, the formulas are simplified. As examples of independent interest, solutions are written for the cases when the support of the Hamiltonian is a simplex, a cube, the support of the ANNNI model in spaces of 2, 3 and arbitrary dimensions.
Собственные значения гамильтониана многомерной модели Изинга выражаются через константы меж-спинового взаимодействия и собственные значения одномерного гамильтониана. Для периодических граничных условий точные аналитические выражения могут быть получены практически для произвольного дальнодействия. For the Hamiltonian of multidimensional Ising system we express the eigenvalues in terms of the spin-spin interaction constants and the well-known eigenvalues of the one-dimensional spin Hamiltonian. In the case of periodic boundary conditions, we can obtain exact analytic expressions for eigenvalues of the multidimensional Hamiltonian for an arbitrary long-range interaction.
We obtain the exact physical characteristics of the triple-chain Ising model on a torus with all possible multispin interactions invariant with respect to rotation by the angle 2π/3. The exact value of the partition function in a finite cyclically closed strip of length L, as well as the free energy, internal energy, specific heat, magnetization, susceptibility, and entropy in the thermodynamic limit at L→∞ are found by the transfer-matrix method for the model. The spectrum of the transfer-matrix and the structure of its eigenvectors are found. For two special cases - for the model with multispin interactions of even number of spins and for the model with some interactions of two, three, four and six spins, simplified expressions of the mentioned physical characteristics are obtained; in the thermodynamic limit they are expressed through the logarithm of the root of the quadratic equation. For the model with multispin interactions of an even number of spins, a kind of pair correlations in the thermodynamic limit is found, and it is shown that the magnetization at zero magnetic field is equal to zero; the structure of the ground states of the system is found and examples of their projections of seven-dimensional space onto three-dimensional space and examples of configurations corresponding to these ground states are given. The correlation length is shown and its graphs are given. As special cases, we consider the planar triangular model with all possible interactions, including, perhaps, different triple interactions inside neighboring triangles, and the planar model with nearest-neighbor, next nearest-neighbor, and plaquette interactions. For them the main exact physical characteristics have been found. This allowed us to obtain them for the planar gonihedric model as well.