Nesta dissertação apresentamos um estudo detalhado e analítico da entropia da informação usando dois formalismos. Estes formalismos são: entropia de Shannon e a entropia de Tsallis, a entropia de Shannon obedece o principio da aditividade, já a entropia de Tsallis é conhecida como entropia não-aditiva. Essas entropias serão aplicadas nos modelos atômicos de Mochinsky e Positrônio, que são sistemas de dois corpos. Para determinar a densidade das entropias, nos utilizamos a função de onda e a densidade de probabilidade para ambos os modelos atômicos. A entropia de Shannon tem uma dependência logarítmica, enquanto a entropia de Tsallis tem uma dependência do fator entrópico q , conhecido como fator entrópico de Tsallis. Em nosso trabalho, as entropias foram calculadas nos espaços das posições e também no espaço dos momentos, com isso utilizamos o conceito do principio da desigualdade de Heisenberg, adaptando para a entropia da informação. Para a entropia de Shannon, temos o principio de incerteza de Bialynici, Birula, and Mycielski, para a entropia de Tsallis chamamos de pseudo-incerteza. Por fim demonstramos graficamente o comportamento das entropias de ambos os formalismos.
Nesta dissertação apresentamos um estudo detalhado e analítico da entropia da informação usando dois formalismos. Estes formalismos são: entropia de Shannon e a entropia de Tsallis, a entropia de Shannon obedece o principio da aditividade, já a entropia de Tsallis é conhecida como entropia não-aditiva. Essas entropias serão aplicadas nos modelos atômicos de Mochinsky e Positrônio, que são sistemas de dois corpos. Para determinar a densidade das entropias, nos utilizamos a função de onda e a densidade de probabilidade para ambos os modelos atômicos. A entropia de Shannon tem uma dependência logarítmica, enquanto a entropia de Tsallis tem uma dependência do fator entrópico q , conhecido como fator entrópico de Tsallis. Em nosso trabalho, as entropias foram calculadas nos espaços das posições e também no espaço dos momentos, com isso utilizamos o conceito do principio da desigualdade de Heisenberg, adaptando para a entropia da informação. Para a entropia de Shannon, temos o principio de incerteza de Bialynici, Birula, and Mycielski, para a entropia de Tsallis chamamos de pseudo-incerteza. Por fim demonstramos graficamente o comportamento das entropias de ambos os formalismos.
Nesta dissertação, investigamos a informação mútua de Shannon para um campo escalar quântico sem massa livre em d + 1 dimensões, focando nas correlações entre duas regiões espaciais complementares. Nossa abordagem central envolveu o cálculo dessa medida de informação clássica diretamente dos elementos diagonais da matriz densidade expressa na base de configuração do campo. Essa metodologia forneceu um arcabouço para quantificar as correlações clássicas que persistem ou emergem após processos de decoerência quântica ou medição, que efetivamente diagonalizam a matriz densidade do sistema. Empregamos o formalismo funcional da representação de Schrödinger para calcular as entropias de Shannon associadas às regiões complementares, a partir das quais derivamos a informação mútua. Para lidar com as integrais funcionais, utilizamos tanto a aproximação de ponto de sela quanto o truque das réplicas. Computamos a informação mútua de Shannon para dois casos: o estado de vácuo e estados de partícula-única localizados. Para o estado de vácuo, nossos resultados reproduziram aqueles encontrados na literatura existente. Para estados localizados, descritos por soluções de pacote de ondas da equação de Schrödinger relativística, a informação mútua de Shannon pode ser expressa como a informação mútua do vácuo mais termos dependentes do perfil do pacote de ondas. Como uma aplicação do formalismo desenvolvido, calculamos a informação mútua de Rényi-2 (também conhecida como entropia de colisão) em uma dimensão espacial, considerando regiões definidas como semirretas e empregando um pacote de ondas lorentziano. Encontramos que a presença de uma excitação geralmente aumenta a informação compartilhada em comparação com o caso do vácuo. Esse excesso de informação é maximizado quando a partícula está localizada próximo à fronteira e diminui à medida que a partícula se afasta, com a taxa de decaimento dependendo da largura do pacote de ondas. No geral, nossas descobertas contribuem para a compreensão das correlações clássicas em teoria quântica de campos e oferecem uma perspectiva sobre o conteúdo de informação que é diretamente relevante para cenários envolvendo decoerência e medição. Este trabalho fornece um ponto de vista complementar aos cálculos tradicionais de entropia de emaranhamento, concentrando-se na informação clássica acessível codificada nas probabilidades de configuração do campo.
Sistemas quânticos abertos, ou nao isolados, podem ser caracterizados a partir de uma entropia estatistica. A entropia e um conceito fundamental na fisica e usualmente e interpretada como falta de informacao a respeito do estado do sistema.
O programa usual da fisica estatistica para sistemas nao isolados e propor um Hamiltoniano
para o Universo, descrito por uma distribuicao de Gibbs e aplicando uma abordagem do tipo Sistema + Reservatorio, de onde podemos avaliar o operador densidade reduzido do sistema atraves de um processo de traco parcial. Outra maneira de obter o operador densidade seria obter a entropia de Von Neumann do sistema completo e a partir dela o operador densidade total pelo principio de maxima entropia para entao tomar o traco parcial com respeito as coordenadas do reservatorio.
Por outro lado, podemos tentar obter esse operador densidade e as propriedades termodinâmicas do sistema diretamente do principio de maxima entropia Tal tarefa pode exigir o uso de outras formas de entropia nao necessariamente extensivas.
Partindo de uma abordagem do tipo sistema + reservatorio, estudamos a entropia de uma particula Browniana acoplada com um reservatorio harmonico. Usando isso como o ponto de partida para a maximizacao de entropias dependentes de um parâmetro, busca-se uma correspondencia entre as constantes emergentes do nosso modelo e os parâmetros ajustaveis de algumas bem conhecidas entropias generalizadas a fim de determinar qual ansatz e mais apropriado para nosso sistema
Abstract
Neste trabalho, usando o metodo de invariantes de Lewis e Riesenfeld, obtemos as funcoes de onda exatas para dois sistemas dependentes do tempo: (i) uma particula carregada sem spin na presenca de um campo magnetico dependente do tempo 𝐵 (𝑡), e (ii) uma particula carregada sem spin em uma armadilha de Penning dependente do tempo. Considerando as solucoes quânticas nos estados de mais baixa energia, conseguimos obter expressoes para as informacoes de Fisher (Fᵣ e Fp), entropias de Shannon (Sᵣ e Sp) e incertezas em termos de uma funcao ρ (e ρz no sistema (ii)), que deve ser uma solucao real da equacao de Milne-Pinney. No sistema (i) analisamos tres configuracoes diferentes de campos magneticos variaveis no tempo. Observamos que a desigualdade FᵣFᵣ ≤ 16 e valida para todos os sistemas considerados. Tambem observamos fenomenos de compressao nos espacos dos momentos e/ou posicoes com o aumento do tempo. No sistema (ii), obtemos as expressoes analiticas para as incertezas em termos de duas funcoes que satisfazem equacoes tipo Milne-Pinney. Analisamos os casos estaticos e dependentes do tempo. Para o primeiro, com 𝜝(t) = 𝐵₀𝜥 e 𝚅(t) = 𝚅₀, observamos que as relacoes de incerteza de Heisenberg e Robertson-Schrodinger sao satisfeitas e o comportamento das incertezas ∆x, y e ∆pₓ, py quando 𝐵₀ muda indicam a ocorrencia de fenomenos de compressao. Para o segundo, com 𝜝(t) = (𝜝₀² + B' cos² ( vt ) )¹′² 𝜥 e 𝚅(t) = 𝚅₀ + 𝚅' cos² (vt), observamos que ∆x,y oscilam no tempo tambem indicando a existencia de estados comprimidos. Relacoes entre as incertezas, entropias de Shannon e informacoes de Fisher foram obtidas. Observamos para ambos os casos que a entropia de Shannon para a posicao, Sr e para o momento, Sp, satisfazem a relacao Sr + Sp ≥ 3 (1 + 𝒍nπ), enquanto que o produto dos comprimentos de Fisher 𝜹𝒓𝜹𝒑 exibe um limite inferior ao produto de incertezas ∆𝒓∆p.
O emaranhamento entre graus de liberdade de sistemas quânticos é uma propriedade cujo estudo, tanto teórico quanto experimental, tem expandido enormemente nossa compreensão de diversos ramos da física nos últimos anos: do desenvolvimento de novos protocolos de computação à exploração dos elos entre teorias de campo e gravidade, o uso do ponto de vista da informação quântica é sempre revelador. Com isso em mente, o objetivo desta Dissertação é investigar o emaranhamento entre modos de momento acima e abaixo de uma escala arbitrária em teorias quânticas de campos e mostrar como esse conceito é naturalmente ligado à ideia de Wilson de integrar variáveis no processo de renormalização. Para esse fim, uma nova técnica para calcular entropias de Rényi no espaço dos momentos é desenvolvida e é aplicada, primeiramente em um sistema simples de osciladores acoplados e após em teorias de campos escalares reais autointeragentes. Os resultados obtidos aqui indicam que, pelo menos no regime perturbativo explorado, o emaranhamento entre escalas aumenta à medida que a massa das excitações da teoria é levada a zero. Esta Dissertação abre espaço para trabalhos futuros nos quais o método desenvolvido é aplicado para investigar esse comportamento mais detalhadamente e em teorias de campos mais complexas.
O problema de um sistema quântico com massa efetiva dependente da posição tem sido recentemente introduzido através de uma estrutura algébrica deformada baseada na estatística de Kaniadakis. [Journal of Mathematical Physics, 61, 082105 (2020)]. Mais especificamente, umparâmetro de deformação controla a dependência da massa com a posição, e leva a uma equação Schrödinger κ-deformada. Diante disso, neste trabalho nós investigamos a entropia de Shannon nas representações posição e vetor de onda dos estados quânticos de um oscilador harmônico com massa efetiva dependente da posição (MEDP) dentro do κ -formalismo. Além disso, tambémobtivemos como a relação incerteza entrópica Bialynicki-Birula-Mycielski (BBM) se comporta para o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador κ-deformado.
Nesta dissertação, além da apresentação de um ensaio teórico sobre a fundamentação da Mecânica Quântica, Computação, Informação Quântica, Criptografia e Entropias Quânticas, serão mostradas, de forma inédita, algumas implementações sobre o efeito da Entropia no Emaranhamento Quântico, importante para processos de transmissão da Informação Quântica, com o uso dos programas Mathematica e Matlab. Primeiramente e apresentado um breve histórico sobre a Computação Quântica e a Informação Quântica, junto com uma perspectiva do futuro. Logo em seguida uma breve introdu cão sobre a Mecânica Quântica, com o estudo de autovetores e autovalores e seus postulados, produtos tensoriais e o micro-universo. Na sequência um texto sucinto com os conceitos fundamentais da Computação Quântica como os bits quânticos, e portas lógicas. Além dos principais algoritmos quânticos. Depois passa-se a estudar a Informa ção Quântica, as operações quânticas, canais de inversão e polarização, para então chegar-se a Entropia, quando e feito um estudo comparativo entre as entropias de Von Neumann e Tsallis. E por fim um pouco de Criptografia Quântica.