Estudos em redes complexas sao essenciais em diversos campos do conhecimento devido a sua capacidade de representar sistemas reais. Alguns estudos mostram que atraves da discussao das matrizes que compoem uma rede e possivel extrair propriedades e analisa-las sob a otica da Mecânica Quântica. Neste trabalho, discutiremos a entropia de von Neumann como um quantificador de informacao presente em grafos aleatorios. Nesta monografia abordaremos tres tipos de redes: rede quadrada (rede regular), o modelo de grafo aleatorio de Erdos e Renyi, e o modelo livre de escala de Barabasi-Albert, onde estudaremos a entropia de von Neumann para tres diferentes topologias.
Estudos em redes complexas sao essenciais em diversos campos do conhecimento devido a sua capacidade de representar sistemas reais. Alguns estudos mostram que atraves da discussao das matrizes que compoem uma rede e possivel extrair propriedades e analisa-las sob a otica da Mecânica Quântica. Neste trabalho, discutiremos a entropia de von Neumann como um quantificador de informacao presente em grafos aleatorios. Nesta monografia abordaremos tres tipos de redes: rede quadrada (rede regular), o modelo de grafo aleatorio de Erdos e Renyi, e o modelo livre de escala de Barabasi-Albert, onde estudaremos a entropia de von Neumann para tres diferentes topologias.
Agradecimentos• A minha família.• Ao meu orientador.• Aos membros da banca.• Aos meus colegas de pós-graduação.• A CAPES pelo suporte financeiro.viResumo Nesta tese abordamos as caminhadas quânticas em tempo discreto no modelo de espalhamento (CQEs) na rede hexagonal.Primeiro faremos uma revisão das CQEs em uma dimensão, dando um enfoque mais de propagação em rede do que em computação e informação quântica, que é o usual na área.Em seguida apresentaremos um formalismo geral para a implementação das CQEs em redes regulares e daremos o simples exemplo concreto da rede quadrada.Na sequência do trabalho, implementaremos as CQEs para a rede hexagonal e analisaremos suas propriedade no espaço de momentum.Além disso, realizamos uma breve discussão comparando as estruturas de bandas de energia obtidas para uma CQEs, caracterizada pela matriz de Grover, com as do grafeno.De maneira qualitativa, observa-se que esses dois sistemas possuem características comuns.Finalmente, através destes formalismos exploramos a estrutura topológica da rede hexagonal para obter dez diferentes formulações, com características espaciais distintas.Além disso, exemplificamos a evolução temporal dessas diferentes formulações das CQEs considerando, por exemplo, as matrizes de espalhamento de Grover e da transformada discreta de Fourier.Nosso estudo ilustra que, combinações específicas dessas dez formulações com matrizes de espalhamento adequadas resultam em sistemas com as características fenomenológicas distintas, que podem ser uma possível forma de controle de processos quântico nas CQEs na rede hexagonal.
O emaranhamento entre graus de liberdade de sistemas quânticos é uma propriedade cujo estudo, tanto teórico quanto experimental, tem expandido enormemente nossa compreensão de diversos ramos da física nos últimos anos: do desenvolvimento de novos protocolos de computação à exploração dos elos entre teorias de campo e gravidade, o uso do ponto de vista da informação quântica é sempre revelador. Com isso em mente, o objetivo desta Dissertação é investigar o emaranhamento entre modos de momento acima e abaixo de uma escala arbitrária em teorias quânticas de campos e mostrar como esse conceito é naturalmente ligado à ideia de Wilson de integrar variáveis no processo de renormalização. Para esse fim, uma nova técnica para calcular entropias de Rényi no espaço dos momentos é desenvolvida e é aplicada, primeiramente em um sistema simples de osciladores acoplados e após em teorias de campos escalares reais autointeragentes. Os resultados obtidos aqui indicam que, pelo menos no regime perturbativo explorado, o emaranhamento entre escalas aumenta à medida que a massa das excitações da teoria é levada a zero. Esta Dissertação abre espaço para trabalhos futuros nos quais o método desenvolvido é aplicado para investigar esse comportamento mais detalhadamente e em teorias de campos mais complexas.
Propomos um estudo sistemático das categorias relacionais como modelos da computação quântica através da abordagem categórica de Coecke-Abramsky. As categorias relacionais são aquelas que os objetos ou os morfismos são relações. Esses modelos são importantes para o desenvolvimento da ciência da computação quântica porque nos fornecem uma linguagem abstrata para descrever processos quânticos. Isso nos dá um alto nível de compreensão de como a teoria quântica funciona e o que podemos fazer com ela. Além disso, é interessante explorar modelos que generalizem a teoria quântica e a relacionem com outras teorias. As categorias compacta dagger foram aplicadas com sucesso nos fundamentos da mecânica quântica em geral. Investigamos as propriedades categóricas dos espaços de Chu como um modelo para a mecânica quântica categórica e, especificamente, como modelos para a computação quântica. Definimos duas categorias com base nos espaços de Chu, ChuRel e RelChu, e provamos que elas são modelos categóricos robustos para computação quântica. Mais precisamente, mostramos que a categoria ChuRel é uma categoria compacta dagger e possui duas estruturas de base complementares, semelhantes à conhecida categoria de conjuntos e relações finitos, FRel, utilizada na literatura. Mostra-se também que a categoria dos espaços de Chu é uma categoria regular, portanto é possível obter a categoria RelChu, por meio da construção geral de Heunen e Tull, e explorar suas propriedades quânticas. Além disso, essa tese revisa quatro categorias de relações L-fuzzy, cada uma modelando áreas onde a teoria dos conjuntos fuzzy pode ser aplicada. Uma relação L-fuzzy é uma relação valorada em um reticulado completo L com uma estrutura monoidal. Revisamos as noções dessas relações binárias multi-valoradas e apresentamos algumas propriedades básicas das categorias correspondentes visando aplicações em áreas como ciência da computação, lógica linear e mecânica quântica. A ênfase está nos aspectos monoidais das categorias. As categorias monoidais são um dos tipos de categorias mais aplicadas, uma vez que todas as categorias com uso em física, topologia, computação e lógica, são monoidais. Uma visão monoidal das relações fuzzy pode ampliar o espectro de aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy.
Nesta dissertação, investigamos a informação mútua de Shannon para um campo escalar quântico sem massa livre em d + 1 dimensões, focando nas correlações entre duas regiões espaciais complementares. Nossa abordagem central envolveu o cálculo dessa medida de informação clássica diretamente dos elementos diagonais da matriz densidade expressa na base de configuração do campo. Essa metodologia forneceu um arcabouço para quantificar as correlações clássicas que persistem ou emergem após processos de decoerência quântica ou medição, que efetivamente diagonalizam a matriz densidade do sistema. Empregamos o formalismo funcional da representação de Schrödinger para calcular as entropias de Shannon associadas às regiões complementares, a partir das quais derivamos a informação mútua. Para lidar com as integrais funcionais, utilizamos tanto a aproximação de ponto de sela quanto o truque das réplicas. Computamos a informação mútua de Shannon para dois casos: o estado de vácuo e estados de partícula-única localizados. Para o estado de vácuo, nossos resultados reproduziram aqueles encontrados na literatura existente. Para estados localizados, descritos por soluções de pacote de ondas da equação de Schrödinger relativística, a informação mútua de Shannon pode ser expressa como a informação mútua do vácuo mais termos dependentes do perfil do pacote de ondas. Como uma aplicação do formalismo desenvolvido, calculamos a informação mútua de Rényi-2 (também conhecida como entropia de colisão) em uma dimensão espacial, considerando regiões definidas como semirretas e empregando um pacote de ondas lorentziano. Encontramos que a presença de uma excitação geralmente aumenta a informação compartilhada em comparação com o caso do vácuo. Esse excesso de informação é maximizado quando a partícula está localizada próximo à fronteira e diminui à medida que a partícula se afasta, com a taxa de decaimento dependendo da largura do pacote de ondas. No geral, nossas descobertas contribuem para a compreensão das correlações clássicas em teoria quântica de campos e oferecem uma perspectiva sobre o conteúdo de informação que é diretamente relevante para cenários envolvendo decoerência e medição. Este trabalho fornece um ponto de vista complementar aos cálculos tradicionais de entropia de emaranhamento, concentrando-se na informação clássica acessível codificada nas probabilidades de configuração do campo.
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Nesta dissertação apresentamos um estudo detalhado e analítico da entropia da informação usando dois formalismos. Estes formalismos são: entropia de Shannon e a entropia de Tsallis, a entropia de Shannon obedece o principio da aditividade, já a entropia de Tsallis é conhecida como entropia não-aditiva. Essas entropias serão aplicadas nos modelos atômicos de Mochinsky e Positrônio, que são sistemas de dois corpos. Para determinar a densidade das entropias, nos utilizamos a função de onda e a densidade de probabilidade para ambos os modelos atômicos. A entropia de Shannon tem uma dependência logarítmica, enquanto a entropia de Tsallis tem uma dependência do fator entrópico q , conhecido como fator entrópico de Tsallis. Em nosso trabalho, as entropias foram calculadas nos espaços das posições e também no espaço dos momentos, com isso utilizamos o conceito do principio da desigualdade de Heisenberg, adaptando para a entropia da informação. Para a entropia de Shannon, temos o principio de incerteza de Bialynici, Birula, and Mycielski, para a entropia de Tsallis chamamos de pseudo-incerteza. Por fim demonstramos graficamente o comportamento das entropias de ambos os formalismos.