In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].
Zusammenfassung Halbleiter‐Spinqubits gelten als vielversprechende Kandidaten für die Recheneinheit eines Quantencomputers. Um ein Spinqubit zu realisieren, wird ein einzelner Ladungsträger, ein Elektron oder ein Ladungsträgerloch, in einem Quantenpunkt eingefangen. Dort sind ihre Spins über lokal erzeugte Magnetfelder zwischen zwei Zuständen 0 und 1 kontrollierbar. Auf Basis solcher Quantenpunkte gestatten die etablierten Fabrikationstechniken der Halbleiterindustrie eine präzise und skalierbare Herstellung von Quantenprozessoren. Sowohl Ein‐Qubit‐Gatter als auch Zwei‐Qubit‐Gatter mit Spinqubits operieren mit hoher Genauigkeit und ermöglichen so universelles Quantenrechnen. Wichtig sind dabei ihre hohen Lebensdauern im Bereich von Mikrosekunden bis sogar Sekunden. Die Anzahl an Spinqubits auf einem Chip ist besonders in den letzten Jahren gewachsen. Die Möglichkeit, Spinqubits auf verschiedene Weisen miteinander zu koppeln, erlaubt auch langreichweitige Operationen zwischen verschiedenen Registern. Es gilt, Korrelationseffekte zwischen Spinqubits und ihrer Umgebung noch besser zu verstehen und die Verdrahtung auf dem Chip zu optimieren, um so den Weg zu einem halbleiterbasierten Quantencomputer zu ebnen.
Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. Um diese Grundbausteine und Funktionsweise zu veranschaulichen sowie die Potentiale von Quantencomputern nachzuvollziehen, werden drei Algorithmen näher besprochen. Der Deutsch-Algorithmus zeigt, dass Quantencomputer manche Probleme schneller als klassische Computer lösen können. Der Shor-Algorithmus kann RSA verschlüsselte Nachrichten schnell entschlüsseln. Der Grover-Algorithmus bietet eine schnelle Methode eine bestimmte Information in unsortierten Daten zu suchen. Die drei Algorithmen decken bereits ein recht breites Spektrum von Anwendungsmöglichkeiten von Quantencomputern ab. Dieses Potential sowie die Wichtigkeit der Auseinandersetzung mit der Mächtigkeit von Quantencomputern und ein kurzer Einblick in mögliche zukünftige Entwicklungen schießen die Arbeit ab. Diese Bachelorarbeit erläutert die Grundlagen von Quantencomputern und ihr Potential sowie die Vorteile, die eine Auseinandersetzung mit diesem Thema mit sich bringt. Sie richtet sich an Leser ohne Vorwissen auf diesem Gebiet und stellt die Konzepte auf eine Art vor, die für jede Person mit einem Grundwissen im Softwarebereich zugänglich ist. Es werden dabei die Unterschiede zwischen klassischen Computern und Quantencomputern besprochen, sowie die grundlegende Funktionsweise, wie die Basiseinheiten (Qubits) und die Gatter, die auf diese angewendet werden. 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