Resoudre exactement l'equation de Lindblad, qui modelise l'evolution des systemes quantiques ouverts, n'est possible que pour des tailles petites. C'est pourquoi on souhaite disposer d'une gamme de methodes permettant de calculer des solutions approchees. On presentera une methode deterministe dite de rang reduit, qui repose sur une forme reduite approchee de la matrice densite, puis une methode stochastique de Monte-Carlo qui donne la solution a une erreur statistique pres. On exposera d'une part une extension de la methode de rang reduit qui permet d'utiliser un rang adaptatif en majorant l'erreur commise, et d'autre part une nouvelle methode de reduction de variance. Cette nouvelle methode permet d'accelerer considerablement les simulations de Monte-Carlo en utilisant la solution approchee fournie par la methode rang reduit comme variable de controle.
Resoudre exactement l'equation de Lindblad, qui modelise l'evolution des systemes quantiques ouverts, n'est possible que pour des tailles petites. C'est pourquoi on souhaite disposer d'une gamme de methodes permettant de calculer des solutions approchees. On presentera une methode deterministe dite de rang reduit, qui repose sur une forme reduite approchee de la matrice densite, puis une methode stochastique de Monte-Carlo qui donne la solution a une erreur statistique pres. On exposera d'une part une extension de la methode de rang reduit qui permet d'utiliser un rang adaptatif en majorant l'erreur commise, et d'autre part une nouvelle methode de reduction de variance. Cette nouvelle methode permet d'accelerer considerablement les simulations de Monte-Carlo en utilisant la solution approchee fournie par la methode rang reduit comme variable de controle.
Dynamique hors-équilibre des systèmes quantiques ouverts et fermés Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de hors-équilibre dans les systèmes quantiques fermés et ouverts. La question de l'obtention d'équations dynamiques numériquement efficaces pour simuler de tels systèmes, qui souffrent d'une malédiction de dimensionnalité lorsqu'ils sont de grande taille est au centre de la thèse, ainsi que les divers nouveaux résultats physiques qui peuvent être obtenus grâce à ces équations efficaces. La question de l'obtention de représentations efficaces des états quantiques est également centrale, à travers la construction d'Ansatz. En particulier, nous présentons la méthode du sous-espace dynamique, une nouvelle méthode numérique pour la simulation de l'évolution temporelle de systèmes quantiques ouverts avec une entropie modérée. En représentant la matrice densité par un sous-espace constitué de M états purs, la complexité de l'intégration de l'équation maîtresse de Lindblad est considérablement réduite, et l'algorithme obtenu est entièrement déterministe. Nous appliquons ensuite cette méthode pour modéliser des algorithmes quantiques bruités, en simulant un algorithme quantique bruité de transformation de Fourier qui est au centre de l'algorithme de Shor pour la factorisation de nombre premiers. Nous trouvons une loi d'échelle pour l'erreur en fonction du taux de dissipation, et le comportement de l'infidélité par rapport au circuit idéal est modélisé en fonction des états initiaux qui sont fournis en entrée à l'algorithme. Ensuite, l'application des méthodes d'apprentissage automatique à la mécanique quantique est présentée, à travers la classe d'Ansatz des états quantiques neuronaux (NQS). La construction générale des NQS est introduite, ainsi que sa relation avec d'autres Ansatz tels que les réseaux tensoriels. Ensuite, le problème de la simulation de la dynamique des systèmes fermés avec NQS est étudié, ainsi que les problèmes courants liés à la géométrie de l'espace des paramètres qui peuvent survenir. Un schéma alternatif est introduit et appliqué aux quenches dépendantes du temps dans les systèmes critiques, où le mécanisme de Kibble-Zurek peut être étudié. Enfin, différentes constructions d'Ansatz pour les systèmes ouverts sont présentées, notamment la combinaison de la méthode du sous-espace dynamique avec un Ansatz neuronal. Enfin, nous étudions théoriquement la propagation de l'intrication dans les systèmes photoniques dissipatifs à forte interaction, motivés par la réalisation expérimentale récente de telles plateformes. Nos résultats montrent qu'en dépit du caractère dissipatif du système étudié, la propagation de l'intrication est ballistique avec une vitesse en accord avec l'image de quasiparticules impliquées dans la dynamique, des doublons et des holons photoniques. Notre analyse révèle que la dissipation est fortement asymétrique dans les deux cas étudiés de l'injection d'un doublon ou de son extraction, avec une influence plus forte dans le cas de l'extraction.
Dans cette thèse, nous étudions trois classes de modèles utilisés dans la littérature pour représenter les systèmes quantiques: 1 -L'équation de Schrödinger où le contrôle agit sur le système de façon bilinéaire; 2 -L'équation de Lindblad; 3 -Les filtres quantiques (modèles stochastiques). Les contributions de la thèse concernant l'équation de Schrödinger se répartissent en trois parties. Dans le premier chapitre, nous étudions la contrôlabilité d'un tel système. Le cas de dimension finie étant déjà bien exploré, nous traitons l'exemple d'un oscillateur harmonique quantique comme un cas typique des problèmes de dimension infinie. Parmi les résultats obtenus nous retrouvons transposée dans les termes de la théorie du contrôle, l'assertion bien connue des physiciens: ``les sources classiques de contrôle ne peuvent générer que de la lumière classique''. La question de la génération des trajectoires est abordée dans le Chapitre 2. Le contrôle en boucle ouverte du système est alors traité à l'aide des méthodes de stabilisation de Lyapounov. Ces méthodes de contrôle par feedback sont utilisées en simulation et le contrôle retrouvé est ensuite inséré en boucle ouverte dans le système physique. La convergence est étudiée dans différentes configurations et des exemples numériques tirés de la chimie quantique sont testés. Enfin dans le chapitre 3, nous étudions le problème inverse d'identification de l'Hamiltonien. Malgré le grand intérêt pratique que présente ce problème, peu de contributions ont été apportées jusqu'à maintenant. Nous étudions d'abord le problème mathématique d'identifiabilité. Une première réponse positive à cette question est apportée. Ensuite nous considérons le problème d'identification. A l'aide de méthodes numériques d'optimisation, nous proposons une première approche qui permet de résoudre ce problème inverse. Au sujet de l'équation de Lindblad, la contribution de cette thése se résume à la réduction du modèle lorsque certaines hypothèses sur les durées de vie atomiques sont vérifiées. Cette étude peut être considérée comme une première étape vers le contrôle en boucle fermée d'un ensemble statistique de systèmes quantiques. Finalement dans le chapitre 5, nous considérons les filtres quantiques. Certaines méthodes issues de la théorie des probabilités ainsi que les techniques de Lyapounov stochastiques nous permettent d'étudier la stabilisation globale de ces modéles.
La recherche en informatique quantique a pris de l’ampleur dans les deux dernières décennies, notamment grâce aux financements massifs des gouvernements et de l’industrie dans les technologies quantiques. L’ordinateur quantique promet de résoudre des problèmes qui jusqu’à présent restaient insurmontables à cause du temps déraisonnable qu’il faudrait pour les résoudre sur les ordinateurs classiques les plus puissants. L’idée de l’ordinateur quantique consiste à utiliser des propriétés quantiques de la matière, telles que l’intrication et la superposition quantique des états, pour effectuer des calculs d’une nouvelle manière. L’informatique quantique requiert un nouveau type d’ordinateur où les bits d’information classique, généralement représentés par la présence ou non de courant à l’entrée d’un transistor, sont remplacés par des bits quantiques aussi appelés qubits, et qui sont représentés par l’état d’un système quantique. De plus, il est nécessaire de développer de nouveaux algorithmes capables d’être implémentés sur un ordinateur quantique et capables de tirer parti de l’avantage quantique. Cette thèse porte sur ces deux composantes complémentaires : la construction de portes logiques, un bloc fondamental de tout ordinateur, et la création de meilleurs algorithmes pour résoudre des problèmes pertinents sur ces machines. Parmi les plateformes les plus avancées pour l’ordinateur quantique, on trouve les circuits supraconducteurs, qui sont la plateforme sur laquelle ont misé Google, IBM, Alice&Bob, Nord Quantique et bien d’autres compagnies. Malgré les avancées des dernières décennies, de nombreux défis restent à être relevés pour que les machines existantes soient en mesure de résoudre des problèmes pertinents et surpassent les ordinateurs classiques. L’un des défis auquel cette thèse s’attaque est la réalisation de portes logiques à deux qubits rapides et à haute fidélité. La rapidité est cruciale pour pouvoir réaliser le plus d’opérations possible avant que les qubits ne perdent leur cohérence quantique, et une haute fidélité est requise pour minimiser les erreurs de calcul et permettre d’implémenter de la correction d’erreurs quantiques. De plus, certains qubits supraconducteurs sont connus pour être affectés par une interaction indésirable, l’interaction ZZ qui, même si relativement faible, affecte la fidélité des portes logiques quantiques, empêchant d’atteindre des fidélités supérieures à 99.9% nécessaires à la correction d’erreurs. En parallèle avec l’amélioration des composantes de l’ordinateur quantique, il est important de développer des applications pour ce nouveau type de machine. Parmi les approches étudiées, les algorithmes quantiques variationnels (VQA) sont ceux qui sont les plus susceptibles d’être déployés sur les ordinateurs quantiques de petites tailles existants. Ce sont des algorithmes hybrides qui nécessitent à la fois de la puissance de calcul classique et quantique. Ces algorithmes semblent prometteurs pour résoudre de nombreux problèmes concrets d’intérêt industriel, comme obtenir les propriétés de molécules ou trouver les solutions de problèmes d’optimisation combinatoire. En effet, ces problèmes peuvent être formulés sous forme d’un Hamiltonien et résolus en déterminant son état fondamental. Dans ce but, les VQAs utilisent un circuit quantique paramétré appelé ansatz, dont les paramètres sont optimisés pour s’approcher de l’état fondamental. Un premier défi consiste à trouver un ansatz qui permette, pour un problème donné, de converger le plus efficacement possible vers la solution. Un deuxième défi est de trouver un circuit fait de portes logiques facilement implémentables sur les plateformes physiques actuelles. Les travaux effectués dans cette thèse apportent des contributions à ces deux défis. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le dispositif que nous avons conçu et qui permet de réaliser des portes d’intrication paramétrique entre deux qubits supraconducteurs. Cette approche a permis à nos collaborateurs du groupe d’Andrew Houck de l’Université de Princeton de réaliser expérimentalement une opération de type √iSWAP en 15 ns avec une fidélité de 98.8%, et ce dans un dispositif où l’interaction ZZ est supprimée. Dans la seconde partie de la thèse, nous avons développé un ansatz pour les VQAs permettant de résoudre le modèle de Fermi Hubbard. Ce nouvel ansatz utilise les avantages de deux ansätze préexistants, et permet d’obtenir l’énergie et l’état fondamental du FHM avec une précision de plusieurs ordres de grandeur supérieure aux ansätze standards, et ce en réduisant significativement le nombre de portes d’intrication CNOT qui sont généralement imparfaites et longues à implémenter.
Dans une serie de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont developpe des methodes pour etudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des etats quantiques generaux pouvant presenter des correlations. Ils ont obtenu des formules pour decrire la dynamique des correlations, ou plus generalement des matrices densite reduites d'ordre arbitraire. Cette thematique a ete largement developpee ces dernieres annees. Norbert Mauser en a ete un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la cle de l'analyse developpee par Z. Ammari et F. Nier. En general, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du probleme a N particules quand N depasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densite reduite a une particule qui ne decrit pas la dynamique des correlations. Un objectif est de tester la validite de la dynamique de champ moyen pour les matrices densite reduites a 2-particules. Pour des tests numeriques, les modeles discrets qui n'ont pas ete vraiment traites en detail dans les travaux precedents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptes. La these comprendra donc plusieurs etapes: adapter les resultats precedents de Z. Ammari et F. Nier a des modeles discrets , developper des methodes numeriques pour des systemes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des correlations. Au niveau numerique, on utilise des schemas numeriques symplectiques, developpes specifiquement ces dernieres annees pour la discretisation des equations hamiltoniennes. Une derniere etape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modeles continus par les modeles discrets.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.