Dans une serie de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont developpe des methodes pour etudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des etats quantiques generaux pouvant presenter des correlations. Ils ont obtenu des formules pour decrire la dynamique des correlations, ou plus generalement des matrices densite reduites d'ordre arbitraire. Cette thematique a ete largement developpee ces dernieres annees. Norbert Mauser en a ete un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la cle de l'analyse developpee par Z. Ammari et F. Nier. En general, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du probleme a N particules quand N depasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densite reduite a une particule qui ne decrit pas la dynamique des correlations. Un objectif est de tester la validite de la dynamique de champ moyen pour les matrices densite reduites a 2-particules. Pour des tests numeriques, les modeles discrets qui n'ont pas ete vraiment traites en detail dans les travaux precedents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptes. La these comprendra donc plusieurs etapes: adapter les resultats precedents de Z. Ammari et F. Nier a des modeles discrets , developper des methodes numeriques pour des systemes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des correlations. Au niveau numerique, on utilise des schemas numeriques symplectiques, developpes specifiquement ces dernieres annees pour la discretisation des equations hamiltoniennes. Une derniere etape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modeles continus par les modeles discrets.
Dans une serie de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont developpe des methodes pour etudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des etats quantiques generaux pouvant presenter des correlations. Ils ont obtenu des formules pour decrire la dynamique des correlations, ou plus generalement des matrices densite reduites d'ordre arbitraire. Cette thematique a ete largement developpee ces dernieres annees. Norbert Mauser en a ete un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la cle de l'analyse developpee par Z. Ammari et F. Nier. En general, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du probleme a N particules quand N depasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densite reduite a une particule qui ne decrit pas la dynamique des correlations. Un objectif est de tester la validite de la dynamique de champ moyen pour les matrices densite reduites a 2-particules. Pour des tests numeriques, les modeles discrets qui n'ont pas ete vraiment traites en detail dans les travaux precedents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptes. La these comprendra donc plusieurs etapes: adapter les resultats precedents de Z. Ammari et F. Nier a des modeles discrets , developper des methodes numeriques pour des systemes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des correlations. Au niveau numerique, on utilise des schemas numeriques symplectiques, developpes specifiquement ces dernieres annees pour la discretisation des equations hamiltoniennes. Une derniere etape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modeles continus par les modeles discrets.
Limite de champ moyen pour des modèles discrets et équation de Schrödinger non linéaire discrète Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets.
Le domaine des problèmes quantiques à N-corps à l'équilibre et hors d'équilibre sont des sujets majeurs de la Physique et de la Physique de la matière condensée en particulier. Les propriétés d'équilibre de nombreux systèmes unidimensionnels en interaction sont bien comprises d'un point de vue théorique, des chaînes de spins aux théories quantiques des champs dans le continue. Ces progrès ont été rendus possibles par le développement de nombreuses techniques puissantes, comme, par exemple, l'ansatz de Bethe, le groupe de renormalisation, la bosonisation, les états produits de matrices ou la théorie des champs invariante conforme. Même si les propriétés à l'équilibre de nombreux modèles soient connues, ceci n'est en général pas suffisant pour décrire leurs comportements hors d'équilibre, et ces derniers restent moins explorés et beaucoup moins bien compris. Les modèles d'impuretés quantiques représentent certains des modèles à N-corps les plus simples. Mais malgré leur apparente simplicité ils peuvent capturer plusieurs phénomènes expérimentaux importants, de l'effet Kondo dans les métaux aux propriétés de transports dans les nanostructures, comme les points quantiques. Dans ce travail nous considérons un modèle d'impureté appelé "modèle de niveau résonnant en interaction" (IRLM). Ce modèle décrit des fermions sans spin se propageant dans deux fils semi-infinis qui sont couplés à un niveau résonant -- appelé point ou impureté quantique -- via un terme de saut et une répulsion Coulombienne. Nous nous intéressons aux situations hors d'équilibre où un courant de particules s'écoule à travers le point quantique, et étudions les propriétés de transport telles que le courant stationnaire (en fonction du voltage), la conductance différentielle, le courant réfléchi, le bruit du courant ou encore l'entropie d'intrication. Nous réalisons des simulations numériques de la dynamique du modèle avec la méthode du groupe de renormalisation de la matrice densité dépendent du temps (tDMRG), qui est basée sur une description des fonctions d'onde en terme d'états produits de matrices. Nous obtenons des résultats de grande précision concernant les courbes courant-voltage ou bruit-voltage de l'IRLM, dans un grand domaine de paramètres du modèle (voltage, force de l'interaction, amplitude de saut vers le dot, etc.). Ces résultats numériques sont analysés à la lumière de résultats exacts de théorie des champs hors d'équilibre qui ont été obtenus pour un modèle similaire à l'IRLM, le modèle de Sine-Gordon avec bord (BSG). Cette analyse est en particulier basée sur l'identification d'une échelle d'énergie Kondo et d'exposants décrivant les régimes de petit et grand voltage. Aux deux points particuliers où les modèles sont connus comme étant équivalents, nos résultats sont en accord parfait avec la solution exacte. En dehors de ces deux points particuliers nous trouvons que les courbes de transport de l'IRLM et du modèle BSG demeurent très proches, ce qui était inattendu et qui reste dans une certaine mesure inexpliqué.
En utilisant le principe variationnel de Balian et Veneroni, nous proposons deux extensions consistantes de la theorie du champ moyen dependant du temps pour des systemes de bosons. Une premiere approximation, visant a tenir compte de l'effet des correlations, est obtenue au moyen d'un developpement de l'operateur densite optimum suggere par le principe d'entropie maximum autour d'un operateur gaussien. Nous discutons de la pertinence des equations d'evolution ainsi que de leurs generalisations possibles. Nous presentons en outre une application a un modele unidimensionnel. Dans un second type d'approximation, afin d'optimiser la prediction des fonctions caracteristiques d'operateurs a un corps et des probabilites de transition, nous selectionnons, aussi bien pour l'observable que pour la matrice densite, la classe des operateurs exponentiels de formes quadratiques. Nous obtenons des equations d'evolution couplees d'un genre inhabituel dit probleme aux conditions aux limites a deux points. Pour les resoudre, nous construisons un algorithme numerique adapte. Un test de la methode est presente sur deux exemples a une dimension. Dans un premier cas, nous etudions la collision d'une particule sur une barriere gaussienne. La methode ameliore d'une maniere significative les predictions du champ moyen relatives aux taux de reflexion et de transmission. L'etude du mouvement d'une particule dans un puits quartique revele l'existence de plusieurs solutions pour les probabilites transition predites par la methode de Balian-Veneroni.
La méthode de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie est un outil largement utilisé pour traiter un ensemble de particules en interaction. Cette méthode permet souvent d'améliorer l'approximation de l'énergie de l'état fondamental d'un Hamiltonien dans un cadre variationnel. Dans cette technique, certaines symétries du système sont brisées intentionnellement dans la fonction d'onde utilisée lors de la recherche de l'état fondamental. Ce processus permet de capturer des corrélations complexes entre les particules à un coût numérique plus faible par rapport à un cadre qui préserve ces symétries. Étant donné que le véritable état fondamental doit respecter les symétries du problème, une étape de restauration de symétrie est a priori nécessaire pour revenir dans le sous-espace approprié de l'espace de Hilbert total.Cette thèse examine comment mettre en œuvre le schéma de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie à l'aide d'ordinateurs quantiques. L'algorithme quantique que nous utilisons pour la composante variationnelle est la méthode de ``Variational Quantum Eigensolver (VQE)". Son but est de préparer une approximation de l'état fondamental en utilisant une fonction d'onde paramétrisée afin de minimiser l'énergie associée au Hamiltonien. L'ansatz quantique de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) a été utilisé comme ansatz brisant les symétries, et les techniques développées ont été testées en utilisant les Hamiltoniens d'appariement et le modèle de Hubbard. Nous avons également utilisé la transformation de Jordan-Wigner pour encoder les opérateurs présents dans le Hamiltonien. Avec ces outils, à l'instar des calculs sur ordinateurs classiques, deux manières d'utiliser le processus de Brisure de Symétrie/Restauration de Symétrie en conjonction avec la méthode VQE sont développés : nous pouvons varier les paramètres d'un ansatz de Brisure de Symétrie avant ou après la restauration de symétrie. La première approche est identifiée comme Projection Quantique Après Variation, tandis que la dernière est nommée Variation Quantique Après Projection.L'un des aboutissements de cette thèse est le développement de diverses techniques pour la restauration de symétrie. Certaines d'entre elles sont basées sur l'algorithme d'Estimation de Phase Quantique (QPE), ce qui comprend les méthodes de QPE itérative et de Rodéo. Nous avons également étudié d'autres techniques basées sur le concept ``d'Oracles quantiques", telles que les méthodes Oracle+Hadamard et Grover-Hoyer. L'algorithme de Combinaison Linéaire d'opérateurs Unitaires a été utilisé pour implémenter directement soit la projection, soit l'oracle. Nous avons également adapté le formalisme de ``Classical Shadows" pour la restauration de symétries dans le but d'optimiser les ressources quantiques nécessaires. Les différentes méthodes de restauration de symétrie sont illustrées à travers la thèse pour les symétries associées au nombre de particules et au spin total.Dans la dernière partie de la thèse, des techniques dites hybrides quantiques-classiques sont présentées, qui peuvent aider à extraire des informations précieuses sur le spectre de basse énergie du Hamiltonien. En supposant qu'il est possible d'extraire avec précision les moments du Hamiltonien à partir de leur fonction génératrice à l'aide d'un ordinateur quantique, nous introduisons deux méthodes d'analyse des spectres : la méthode de t-expansion, qui combine l'évolution en temps imaginaire et l'approximation de Padé, et la méthode de Krylov, une méthode d'expansion du sous-espace quantique qui peut fournir des informations sur les valeurs propres du Hamiltonien et sur l'évolution de la probabilité de survie. De plus, nous présentons également des résultats de la méthode Krylov Quantique. Cette technique donne des informations similaires à la méthode de Krylov, mais sans avoir besoin d'estimer les moments du Hamiltonien, une tâche qui reste difficile sur un ordinateur quantique actuellement.
Cette these est dediee a l'etude mathematique de l'approximation de champ-moyen des gaz de bosons. En physique quantique une telle approximation est vue comme la premiere approche permettant d'expliquer le comportement collectif apparaissant dans les systemes quantiques a grand nombre de particules et illustre des phenomenes fondamentaux comme la condensation de Bose-Einstein et la superfluidite. Dans cette these, l'exactitude de l'approximation de champ-moyen est obtenue de maniere generale comme seule consequence de principes de symetries et de renormalisations d'echelles. Nous recouvrons l'essentiel des resultats deja connus sur le sujet et de nouveaux sont prouves, particulierement pour les systemes quantiques sur reseau, incluant le modele de Bose-Hubbard. D'autre part, notre etude etablit un lien entre les equations aux hierarchies de Gross-Pitaevskii et de Hartree, issues des methodes BBGKY de la physique statistique, et certaines equations de transport ou de Liouville dans des espaces de dimension infinie. Resultant de cela, les proprietes d'unicite pour de telles equations aux hierarchies sont prouvees en toute generalite utilisant seulement les caracteristiques generiques de problemes aux valeurs initiales lies a de telles equations. Egalement, de nouveaux resultats de caracteres bien poses et un contre-exemple a l'unicite d'une hierarchie de Gross-Pitaevskii sont prouves. L’originalite de nos travaux reside dans l'utilisation d'equations de Liouville et de puissantes techniques de transport etendues a des espaces fonctionnels de dimension infinie et jointes aux mesures de Wigner, ainsi qu'a une approche utilisant les outils de la seconde quantification. Notre contribution peut etre vue comme l'aboutissement d'idees initiees par Z. Ammari, F. Nier et Q. Liard autour de la theorie de champ-moyen.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.