In this thesis, we study quantum many-body systems in one (1D) and in two spatial dimensions (2D).We adopt the approach established by Moore and Read, where model states are constructed using conformal field theory (CFT), a scale-invariant quantum field theory.The central themes of this thesis are the definition of states through CFT, their characterization, and the understanding of their properties in terms of the underlying CFT.The first part of this thesis considers a CFT with an additional SU(2) symmetry.We define a map from CFT states to those of spin-1 2 systems on lattices.In 1D, the CFT vacuum is mapped to the ground state of a Heisenberg-like spin chain with long-range inverse-square interactions.We show that the excited states of this spin chain can be constructed from excitations of the CFT.Thus, we establish a correspondence between the spectrum of the CFT and that of the spin chain.In a next step, we study these states in 2D, where the CFT ground state corresponds to a fractional quantum Hall (FQH) lattice state.Excited states of the CFT are mapped to wave functions describing edge excitations of the FQH system.Through Monte Carlo simulations, we provide numerical evidence for a central property of these edge modes, namely that their local bulk correlations coincide with those of the corresponding FQH state as the system size becomes large enough.These results confirm the bulk-edge correspondence stating that the CFT associated with the gapless edge can be used to describe wave functions of the bulk.We then consider a larger class of states constructed from CFT.In 1D, these are good descriptions of the ground state of the XXZ spin-1 2 chain, and they correspond to FQH lattice states in 2D.Through a path integral representation, we propose an approximation for their spin-spin correlations.The effective action determining this approximation differs from that of the underlying CFT through an additional mass-like term at the lattice positions.This explains the behavior of the correlations: While they decay polynomially in 1D and at the edge of 2D systems, bulk correlations in 2D decrease exponentially as a function of the distance.We test the accuracy of the approximation by comparing it to actual spin-spin correlations obtained through Monte Carlo simulations.Our approximation provides an analytical argument for the screening hypothesis, which states that FQH wave functions have exponentially decaying bulk correlations.The last part of this thesis uses CFT to define nonchiral states with continuous spins on lattices.Opposed to the case of discrete spins, these are Gaussian and thus their properties can be computed efficiently.Through an analysis of entanglement entropies and spectra, we identify signatures of the underlying CFT in 1D.In 2D, we find indications of edge states.Although the topological entanglement entropy vanishes, the entanglement spectrum contains modes that decay exponentially with the distance to the entanglement cut. ZusammenfassungDiese Dissertation untersucht Quanten-Vielteilchensysteme in einer (1D) und in zwei räumlichen Dimensionen (2D).Wir arbeiten im Rahmen der von Moore und Read etablierten Herangehensweise, wonach Modellzustände durch konforme Feldtheorie (CFT), einer skaleninvarianten Quantenfeldtheorie, konstruiert werden.Die Schwerpunktthemen dieser Arbeit sind: die Definition von Quantenzuständen vieler Teilchen mittels CFT, deren Charakterisierung und das Verständnis ihrer Eigenschaften in Bezug auf die zugrundeliegende CFT.Der erste Teil dieser Dissertation betrachtet eine CFT, welche eine zusätzliche SU(2)-Symmetrie aufweist.Wir definieren eine Abbildung von Zuständen der CFT zu solchen eines Spin-1 2 -Systems auf einem Gitter.In 1D wird das Vakuum der CFT auf den Grundzustand einer Spinkette abgebildet, welche ähnlich einem Heisenberg-Modell ist und langreichweitige Wechselwirkungen hat, die mit dem Quadrat der Distanz abfallen.Wir konstruieren Anregungszustände der Spinkette ausgehend von Anregungen der CFT.In einem weiteren Schritt untersuchen wir diese Zustände in 2D, wo der Grundzustand der CFT dem Zustand eines fraktionalen Quanten-Hall-Effekts (FQH) auf einem Gitter entspricht.Anregungen der CFT werden auf Wellenfunktionen abgebildet, welche Randzustände des FQH-Systems beschreiben.Mittels Monte-Carlo-Simulationen finden wir numerische Belege für eine zentrale Eigenschaft solcher Randzustände: Deren lokale Korrelationen im Inneren des Systems stimmen mit denen des zugrundeliegenden FQH-Zustands überein, sobald die Systemgröße groß genug wird.Dieses Ergebnis bestätigt das Konzept der Korrespondenz zwischen dem Inneren und dem Rand.Dieses besagt, dass die CFT des Randes Zustände des Inneren beschreiben kann.Danach betrachten wir eine größere Klasse von Zuständen, welche durch CFT definiert sind.Diese sind gute Näherungen für den Grundzustand der XXZ-Spin-1 2 -Kette in 1D und entsprechen FQH-Zuständen in 2D.Durch eine Pfandintegraldarstellung leiten wir eine Näherung für Spin-Spin-Korrelationen her.Die effektive Wirkung dieser Näherung unterscheidet sich von derjenigen der zugrundeliegenden CFT dadurch, dass sie einen zusätzlichen Term enthält, der einem Masseterm ähnlich ist.Dieser ist an den Gitterplätzen des Systems lokalisiert und erklärt somit das Verhalten der Korrelationen: Diese zerfallen polynomiell in 1D und am Rand eines 2D Systems und exponentiell im Inneren eines 2D Systems.Wir überprüfen die Genauigkeit der Näherung, indem wir sie mit den tatsächlichen Spin-Spin-Korrelationen vergleichen, welche wir mittels Monte-Carlo-Simulationen berechnen.Unsere Näherung stellt einen analytischen Beleg für die Abschirmhypothese dar.Diese besagt, dass Korrelationen von FQH-Zuständen im Inneren des Systems exponentiell zerfallen.Der letzte Teil dieser Dissertation definiert nicht-chirale Zustände mit kontinuierlichem Spin auf Gittern mittels CFT.Im Unterschied zum Fall diskreter Spins sind dies Gaußsche Zustände.Daher können deren Eigenschaften effizient berechnet werden.Mittels einer Analyse von Verschränkungsentropien und -spektren identifizieren wir Charakteristika der zugrundeliegenden CFT in 1D.In 2D finden wir Hinweise auf Randzustände.Obwohl die topologische Verschränkungsentropie verschwindet, enthält das Verschränkungsspektrum Moden, welche exponentiell am Rand lokalisiert sind.
In this thesis, we study quantum many-body systems in one (1D) and in two spatial dimensions (2D).We adopt the approach established by Moore and Read, where model states are constructed using conformal field theory (CFT), a scale-invariant quantum field theory.The central themes of this thesis are the definition of states through CFT, their characterization, and the understanding of their properties in terms of the underlying CFT.The first part of this thesis considers a CFT with an additional SU(2) symmetry.We define a map from CFT states to those of spin-1 2 systems on lattices.In 1D, the CFT vacuum is mapped to the ground state of a Heisenberg-like spin chain with long-range inverse-square interactions.We show that the excited states of this spin chain can be constructed from excitations of the CFT.Thus, we establish a correspondence between the spectrum of the CFT and that of the spin chain.In a next step, we study these states in 2D, where the CFT ground state corresponds to a fractional quantum Hall (FQH) lattice state.Excited states of the CFT are mapped to wave functions describing edge excitations of the FQH system.Through Monte Carlo simulations, we provide numerical evidence for a central property of these edge modes, namely that their local bulk correlations coincide with those of the corresponding FQH state as the system size becomes large enough.These results confirm the bulk-edge correspondence stating that the CFT associated with the gapless edge can be used to describe wave functions of the bulk.We then consider a larger class of states constructed from CFT.In 1D, these are good descriptions of the ground state of the XXZ spin-1 2 chain, and they correspond to FQH lattice states in 2D.Through a path integral representation, we propose an approximation for their spin-spin correlations.The effective action determining this approximation differs from that of the underlying CFT through an additional mass-like term at the lattice positions.This explains the behavior of the correlations: While they decay polynomially in 1D and at the edge of 2D systems, bulk correlations in 2D decrease exponentially as a function of the distance.We test the accuracy of the approximation by comparing it to actual spin-spin correlations obtained through Monte Carlo simulations.Our approximation provides an analytical argument for the screening hypothesis, which states that FQH wave functions have exponentially decaying bulk correlations.The last part of this thesis uses CFT to define nonchiral states with continuous spins on lattices.Opposed to the case of discrete spins, these are Gaussian and thus their properties can be computed efficiently.Through an analysis of entanglement entropies and spectra, we identify signatures of the underlying CFT in 1D.In 2D, we find indications of edge states.Although the topological entanglement entropy vanishes, the entanglement spectrum contains modes that decay exponentially with the distance to the entanglement cut. ZusammenfassungDiese Dissertation untersucht Quanten-Vielteilchensysteme in einer (1D) und in zwei räumlichen Dimensionen (2D).Wir arbeiten im Rahmen der von Moore und Read etablierten Herangehensweise, wonach Modellzustände durch konforme Feldtheorie (CFT), einer skaleninvarianten Quantenfeldtheorie, konstruiert werden.Die Schwerpunktthemen dieser Arbeit sind: die Definition von Quantenzuständen vieler Teilchen mittels CFT, deren Charakterisierung und das Verständnis ihrer Eigenschaften in Bezug auf die zugrundeliegende CFT.Der erste Teil dieser Dissertation betrachtet eine CFT, welche eine zusätzliche SU(2)-Symmetrie aufweist.Wir definieren eine Abbildung von Zuständen der CFT zu solchen eines Spin-1 2 -Systems auf einem Gitter.In 1D wird das Vakuum der CFT auf den Grundzustand einer Spinkette abgebildet, welche ähnlich einem Heisenberg-Modell ist und langreichweitige Wechselwirkungen hat, die mit dem Quadrat der Distanz abfallen.Wir konstruieren Anregungszustände der Spinkette ausgehend von Anregungen der CFT.In einem weiteren Schritt untersuchen wir diese Zustände in 2D, wo der Grundzustand der CFT dem Zustand eines fraktionalen Quanten-Hall-Effekts (FQH) auf einem Gitter entspricht.Anregungen der CFT werden auf Wellenfunktionen abgebildet, welche Randzustände des FQH-Systems beschreiben.Mittels Monte-Carlo-Simulationen finden wir numerische Belege für eine zentrale Eigenschaft solcher Randzustände: Deren lokale Korrelationen im Inneren des Systems stimmen mit denen des zugrundeliegenden FQH-Zustands überein, sobald die Systemgröße groß genug wird.Dieses Ergebnis bestätigt das Konzept der Korrespondenz zwischen dem Inneren und dem Rand.Dieses besagt, dass die CFT des Randes Zustände des Inneren beschreiben kann.Danach betrachten wir eine größere Klasse von Zuständen, welche durch CFT definiert sind.Diese sind gute Näherungen für den Grundzustand der XXZ-Spin-1 2 -Kette in 1D und entsprechen FQH-Zuständen in 2D.Durch eine Pfandintegraldarstellung leiten wir eine Näherung für Spin-Spin-Korrelationen her.Die effektive Wirkung dieser Näherung unterscheidet sich von derjenigen der zugrundeliegenden CFT dadurch, dass sie einen zusätzlichen Term enthält, der einem Masseterm ähnlich ist.Dieser ist an den Gitterplätzen des Systems lokalisiert und erklärt somit das Verhalten der Korrelationen: Diese zerfallen polynomiell in 1D und am Rand eines 2D Systems und exponentiell im Inneren eines 2D Systems.Wir überprüfen die Genauigkeit der Näherung, indem wir sie mit den tatsächlichen Spin-Spin-Korrelationen vergleichen, welche wir mittels Monte-Carlo-Simulationen berechnen.Unsere Näherung stellt einen analytischen Beleg für die Abschirmhypothese dar.Diese besagt, dass Korrelationen von FQH-Zuständen im Inneren des Systems exponentiell zerfallen.Der letzte Teil dieser Dissertation definiert nicht-chirale Zustände mit kontinuierlichem Spin auf Gittern mittels CFT.Im Unterschied zum Fall diskreter Spins sind dies Gaußsche Zustände.Daher können deren Eigenschaften effizient berechnet werden.Mittels einer Analyse von Verschränkungsentropien und -spektren identifizieren wir Charakteristika der zugrundeliegenden CFT in 1D.In 2D finden wir Hinweise auf Randzustände.Obwohl die topologische Verschränkungsentropie verschwindet, enthält das Verschränkungsspektrum Moden, welche exponentiell am Rand lokalisiert sind.
Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten.
This dissertation discusses some applications of conformal field theories (CFTs) in topological phases of matter. The first part is devoted to a discussion of coupled wire constructions of some novel quantum Hall systems. Through a theoretical coupled wire model, we construct strongly correlated electronic integer quantum Hall states with filling factor 16. The edge state is a bosonic chiral (E8)1 CFT, which is closely related to topological paramagnets in (3+1)d. As a distinguishing feature, these states support electric and thermal Hall transport violating the Wiedemann-Franz law. We further construct two descendant non-Abelian quantum Hall states at filling 8, each carrying bosonic chiral (G2)1 or (F4)1 edge theories, and hosting Fibonacci anyonic excitations in the bulk. Finally, we discover a new notion of particle-hole conjugation based on the E8 state that relates the G2 and F4 Fibonacci states, which is reminiscent of similar physics in half-filled Landau level. The second part is focused on the surface topological orders of 3D bulk topological systems. Symmetry protected and symmetry-enriched topological (SPT/SET) phases in three dimensions are quantum systems that support non-trivial two-dimensional surface states. These surface states develop finite excitation energy gaps when the relevant symmetries are broken. On the other hand, one-dimensional gapless modes can populate along interfaces that separate adjacent gapped surface domains with distinct symmetry-breaking orders. A surface strip pattern in general reduces the low-energy SPT/SET surface degrees of freedom onto a 2D array of gapless 1D channels. These channels can be coupled to one another by quasiparticle tunneling, and these inter-wire interactions collectively provide an effective description of the surface state. In this part, we study a general class of symmetry-preserving or breaking SPT/SET surface states that admit finite excitation energy gaps and Abelian topological orders via the coupled wire construction. In particular, we focus on the prototype Abelian surface topological orders that fall under the ADE classification of simply-laced Lie algebras. We also elaborate on the emergent symmetry and duality properties of the coupled wire models. The third part is to discuss the relation between the conformal boundary state and (2+1)d SPT phases. We propose a diagnostic tool for detecting nontrivial symmetry-protected topological (SPT) phases protected by a symmetry group G in 2 + 1 dimensions. Our method is based on directly studying the 1 + 1-dimensional anomalous edge conformal field theory (CFT) of SPT phases. We claim that if the CFT is the edge theory of an SPT phase, then there must be an obstruction to cutting it open. This obstruction manifests as the non-existence of boundary states in the CFT that preserves both the conformal symmetry and the global symmetry G. We discuss the relation between edgeability and gappability in the presence of G. We study several examples including time-reversal symmetric topological insulators, ZN symmetric bosonic SPT phases, and Z2 × Z2 symmetric topological superconductors.
Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Untersuchung von Phasen der Quantenmaterie, die dynamischer Natur sind, d.h. Phasen, welche durch das Treiben eines Quanten-Vielteilchensystems aus dem Gleichgewicht erzeugt werden. Die untersuchten Systeme sind offene Quanten-Vielteilchensysteme, die mit den Freiheitsgraden ihrer Umgebung gekoppelt sind. Im Gegensatz zu Quantenphasenübergängen von isolierter Quantenmaterie, welche in der Regel eng mit den Eigenschaften des Grundzustands und den entsprechenden statischen Ordnungsparametern verbunden sind, wie z. B. Transporteigenschaften, Korrelationslänge oder topologische Phänomene, kann in offenen Quantensystemen, welche effektiv durch nicht-hermitsche Dynamik beschrieben werden, kein Grundzustand definiert werden, und die Charakterisierung der dynamisch induzierten Phasen ist weniger offensichtlich. In unserer Forschung untersuchen wir zwei Fälle von dynamischen Phasen in Quanten-Vielteilchensystemen. Zunächst betrachten wir ``quantum quenches'' in getrieben-dissipativen quadratischen fermionischen Systemen. Ein quantum quench bezieht sich hier auf die abrupte Änderung eines Systemparameters und die Entwicklung eines Anfangszustandes gemäß diesen neuen Bedingungen, wodurch eine Dynamik außerhalb des Gleichgewichts entsteht. Im Gegensatz zu isolierten Quantensystemen, in denen solche Protokolle gut untersucht sind, sind quantum quenches in offenen Quantensystemen kaum erforscht. In diesem Zusammenhang finden wir eine neue Art von dynamischer Phase, die eng mit einer bestimmten verallgemeinerten Form von Thermalisierung verbunden ist. Diese Form der Thermalisierung wird durch eine kombinierte Paritäts-Zeit-Symmetrie der getrieben-dissipativen fermionischen Systeme garantiert. Ähnlich wie bei integrablen isolierten Quantensystemen, die lokal zu einem verallgemeinerten Gibbs-Ensemble relaxieren nachdem sie aus dem Gleichgewicht gebracht wurden, zeigen wir, dass paritätszeitsymmetrische quadratische fermionische Systeme zu einem statistischen Ensemble relaxieren, das wir das paritätszeitsymmetrische verallgemeinerte Gibbs-Ensemble (PTGGE) nennen. Darüber hinaus stellen wir fest, dass Nullmoden des PTGGE die Oszillationsperioden der topologischen (Un-)Ordnungsparameter bestimmen, die an dynamischen Phasengrenzen mit kritischen Skalierungsexponenten divergieren. Weiters deutet die Modifikation der langwelligen effektiven Beschreibung durch ein langreichweitig gekoppeltes Modell und die dadurch veränderten kritischen Exponenten stark auf ein universelles Verhalten hin. Messungsinduzierte Phasen und Übergänge sind ein weiteres Beispiel im Bereich der dynamisch erzeugten Phasen. In diesem Fall erzeugt das Zusammenspiel von unitärer Evolution und häufigen Messungen in einem Quanten-Vielteilchensystem eine stochastische Dynamik mit einem Übergang in der Skalierung der Verschränkung des stationären Zustands. Insbesondere in einem System, das bei rein unitärer Evolution eine volumensabhängige Skalierung der Verschränkungsentropie aufweist, unterdrücken häufige Messungen die Erzeugung von Verschränkung im Durchschnitt über viele Realisationen der stochastischen Entwicklung, was zu einer flächenabhängigen Skalierung führt. Eine gängige Erklärung für dieses Phänomen ist das Einfrieren der Dynamik aufgrund häufiger projektiver Messungen, die einen Quanten-Zeno-Effekt hervorrufen. Wir zeigen, dass die Unterdrückung der Verschränkungserzeugung nicht nur bei projektiven Messungen auftritt, sondern dass vielmehr ein verallgemeinerter Zeno-Effekt aufgrund verallgemeinerter Messungen ausreicht, um die kohärente Dynamik zu unterdrücken, was analoge Signaturen in den stationären Observablen für projektive und verallgemeinerte Messungen verursacht. Des Weiteren gehen wir auf eine aktuelle Kontroverse ein, in der die Existenz einer dynamischen Phase mit kritischer Verschränkungsskalierung für freie Fermionen unter kontinuierlicher Messung lokaler Besetzungszahlen diskutiert wird. Durch eine präzise numerische Analyse in Verbindung mit analytischen Vorhersagen, die aus einer replizierten Keldysh-Feldtheorie für verallgemeinerte Messungen abgeleitet wurden, sind wir in der Lage, starke Hinweise für das Fehlen einer ausgedehnten kritischen Phase vorzulegen und das theoretische Verständnis weiterzuentwickeln, indem wir zeigen, dass die Kritikalität auf einen gut definierten kritischen Bereich endlicher Längenskalen beschränkt ist.
Emergent phenomena of interacting quantum many-body systems arguably pose some of the greatest challenges to modern theoretical physics. Many of these systems are characterized by drastic changes in their properties as they are driven into a regime where quantum effects and interactions become relevant. Examples are the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductors, to name just two. New theoretical tools are necessary to study such systems, as even simple model Hamiltonians are not fully understood after decades of intense research. Numerical simulations are emerging as an indispensable tool alongside more traditional analytic approaches and have seen immense progress in recent years. In this thesis, we study tensor network states, a new class of numerical methods that have been developed in recent years drawing on insights from quantum information theory. Combining renormalization group methods with knowledge about the entanglement structure of ground states of quantum systems, tensor network states aim to efficiently describe ground states of strongly correlated quantum systems. Center stage is taken by the projected entangled-pair states. This ansatz for two-dimensional systems is discussed in detail and its capabilities are assessed by comparison to established methods and by exploring a frustrated system. We then develop a general formalism to exploit Abelian symmetries in a tensor network algorithm and demonstrate its application to projected entangled-pair states. A large part of this thesis is devoted to the discussion of a class of supersymmetric models for interacting lattice fermions. After introducing the concept of supersymmetry in quantum mechanics and an extensive overview of conformal field theory and its relation to numerical simulations, we study the critical theory of the supersymmetric model on the square ladder. We use two tensor network state algorithms, the density-matrix renormalization group and multi-scale entanglement renormalization along with exact diagonalization to explore this challenging system. In the final two chapters, we discuss two applications of tensor network states, namely simulations of the SU(3) Heisenberg model in two dimensions using two different tensor network state algorithms with the goal of illuminating the nature of its ground state, and the indistinguishability, a measure to detect phase transitions and classify wave functions which is particularly suitable for calculations based on tensor network states.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
We study states of one- and two-dimensional spin systems that are constructed as correlators within the conformal field theory of a massless, free boson. In one dimension, these are good variational wave functions for XXZ spin chains, and they are similar to lattice Laughlin states in two dimensions. We show that their zz correlations are determined by a modification of the original free-boson theory. An expansion to quadratic order leads to a solvable, effective theory for the correlations in these states. Compared to the massless boson, there is an additional term in this effective theory that explains the behavior of the correlations: a polynomial decay in one dimension and at the edge of a two-dimensional system and an exponential decay in the bulk of a two-dimensional system. We test the validity of our approximation by comparing it to Monte Carlo computations.