On the dynamics of multi-time wave functions

Abstract

Carrying over the idea of a wave function to relativistic quantum mechanics naturally leads to a multi-time wave function of the form ψ(t 1 , x 1 , ..., t N , x N ).It depends on one time coordinate t k and one space coordinate x k for each particle k = 1, ..., N .As already proposed by Dirac in 1932, the dynamics of a multi-time wave function can be described by a system of N equations of motion, which determine the evolution along the N time coordinates.The existence of a common solution to such a multi-time system is associated with an integrability condition, the so-called consistency condition, that substantially restricts the possibilities to introduce an interaction between the particles.The aim of this doctoral thesis is to treat several physically relevant possibilities for interacting dynamics in a mathematically rigorous fashion.After a physical introduction to multi-time wave functions and their meaning as probability amplitudes similarly as in non-relativistic quantum mechanics, the mathematical solution theory of systems of equations for a multi-time wave function is discussed.The consistency conditions in Dirac equations with added interaction potentials are the topic of the first main part of the thesis.A generalization of the no-go result by Petrat and Tumulka (2014) about non-existence of solutions in multi-time systems with interaction potentials is proven.It entails that no Poincaré invariant interacting potentials are compatible with the consistency condition.This possibility for the formulation of relativistic interacting quantum dynamics is hence ruled out.Dirac's suggestion from 1932 to circumvent the problem with interaction potentials is to employ second quantized potentials, which is taken on in the subsequent chapter.Together with Fock and Podolsky, he devised a model of quantum electrodynamics that describes the interaction of N Dirac fermions through an electromagnetic field.In the second main part of this thesis, that model is formulated mathematically, using a scalar field for simplicity and a cut-off to bypass the well-known ultraviolet divergences.First, the single-time equations are treated by proving essential self-adjointness of the Hamiltonians and also invariance of certain regular functions under the respective time-evolutions.Then, a consistent multitime evolution is constructed by glueing together the single-time evolutions.Besides the results on existence and uniqueness of solutions, it is also demonstrated that the model is indeed interacting.In the subsequent part, a well-defined interaction is constructed in another way, namely by particle creation and annihilation via interior-boundary conditions (IBCs).This proposed solution to the ultraviolet problem of quantum field theory is treated in a relativistic setting for the first time.In a simplified model in 1 + 1 dimensions where Dirac fermions create and annihilate each other when they meet, the class of IBCs that lead to probability conservation is identified.The theorem on existence and uniqueness in this model is the first rigorous result in a multi-time system with a variable number of particles.As final results, general theorems on linear systems of arbitrary order in the time derivatives are presented.Those show how the solution theory of multi-time equations changes if time derivatives of higher order are present.v ZUSAMMENFASSUNG Die Übertragung des Konzepts einer Wellenfunktion auf die relativistische Quantenmechanik führt auf natürliche Weise zu einer Vielzeiten-Wellenfunktion, welche die Form ψ(t 1 , x 1 , ..., t N , x N ) besitzt.Sie hängt von einer Zeitkoordinate t k und einer Ortskoordinate x k für jedes Teilchen k = 1, ..., N ab.Wie schon von Dirac 1932 vorgeschlagen, kann die Dynamik einer Vielzeiten-Wellenfunktion durch ein System aus N Bewegungsgleichungen beschrieben werden, welche die Entwicklung entlang der N Zeitkoordinaten bestimmen.Die Existenz einer gemeinsamen Lösung zu solch einem Vielzeiten-System ist hierbei mit einer Integrabilitätsbedingung verbunden, der so genannten Konsistenzbedingung, die die Möglichkeiten, eine Wechselwirkung zwischen den Teilchen einzuführen, erheblich einschränkt.Das Ziel dieser Doktorarbeit ist es, verschiedene physikalisch relevante Möglichkeiten für wechselwirkende Dynamiken auf mathematisch rigorose Weise zu behandeln.Nach einer physikalischen Einleitung über Vielzeiten-Wellenfunktionen und deren Bedeutung als Wahrscheinlichkeitsamplitude, ähnlich wie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik, wird die mathematische Lösungstheorie von Gleichungssystemen für eine Vielzeiten-Wellenfunktion besprochen.Die Konsistenzbedingung in Dirac-Gleichungen mit addierten Wechselwirkungspotentialen ist Gegenstand des ersten Hauptteils der Arbeit.Es wird eine Verallgemeinerung des Unmöglichkeits-Resultats von Petrat und Tumulka (2014) über die Nichtexistenz von Lösungen in Vielzeiten-Systemen mit Wechselwirkungspotentialen bewiesen.Es beinhaltet, dass keine Poincaré-invarianten wechselwirkenden Potentiale mit der Konsistenzbedingung konform gehen.Diese Möglichkeit für die Formulierung von relativistischer, wechselwirkender Quantendynamik ist damit ausgeschlossen.Diracs Vorschlag aus dem Jahr 1932, das Problem mit Wechselwirkungspotentialen zu umgehen, ist durch Benutzung zweitquantisierter Potentiale, was im folgenden Kapitel angegangen wird.Zusammen mit Fock und Podolsky ersann er ein Modell der Quantenelektrodynamik, das die Wechselwirkung von N Dirac-Fermionen durch ein elektromagnetisches Feld beschreibt.Im zweiten Hauptteil der Arbeit wird das Modell mathematisch formuliert, wobei der Einfachheit halber ein skalares Feld und zur Verhinderung der wohlbekannten Ultraviolett-Divergenzen ein Cut-Off benutzt wird.Zuerst werden die Ein-Zeit-Gleichungen behandelt, indem die wesentliche Selbstadjungiertheit der Hamiltonians und auch die Invarianz gewisser regulärer Funktionen unter den entsprechenden Zeitentwicklungen gezeigt wird.Sodann wird eine konsistente Vielzeiten-Entwicklung konstruiert, indem man die Ein-Zeit-Entwicklungen zusammenfügt.Neben den Resultaten über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen wird auch aufgezeigt, dass das Modell tatsächlich wechselwirkend ist.Im darauf folgenden Abschnitt wird eine wohldefinierte Wechselwirkung mittels einer anderen Methode konstruiert, und zwar durch Teilchenerzeugung und -vernichtung via interiorboundary conditions (IBCs).Diese vorgeschlagene Lösung des Ultraviolettproblems in der Quantenfeldtheorie wird zum ersten Mal in einem relativistischen Rahmen behandelt.In einem vereinfachten Modell in 1 + 1 Dimensionen, in welchem Dirac-Fermionen sich bei Kontakt gegenseitig erzeugen und vernichten können, werden jene IBCs klassifiziert, die vii zu Wahrscheinlichkeitserhaltung führen.Das Existenz-und Eindeutigkeitstheorem in diesem Modell ist das erste rigorose Resultat in einem Vielzeiten-System mit einer variablen Teilchenzahl.Als letzte Resultate werden allgemeine Theoreme über lineare Systeme beliebiger Ordnung in den Zeitableitungen präsentiert.Diese zeigen auf, wie sich die Lösungstheorie von Vielzeiten-Gleichungen verändert, wenn höhere Zeitableitungen vorkommen.viii