Neste trabalho introduzimos brevemente o formalismo matemático da Mecânica Quântica e analisamos em detalhe a classe dos operadores completamente positivos (e sua conhecida representação de Kraus). Seguindo [10], definimos que chamamos de semigrupos dinâmicos quânticos (QDS) e semigrupos markovianos quânticos (QMS), em analogia aos semigrupos clássicos da teoria de processos estocásticos com t real e t ≥ 0. Explorando a relação entre o semigrupo e seu gerador infinitesimal, encontramos condições necessárias e suficientes para que um operador seja o gerador infinitesimal de um destes semigrupos quânticos com t real e t ≥ 0. Um operador que satisfaz esta condição é chamado de operador condicionalmente completamente positivo. O tópico mais importante nesta dissertação é o seguinte: seguindo [10] descrevemos uma representação destes geradores originalmente devida à Lindblad [23].
Neste trabalho introduzimos brevemente o formalismo matemático da Mecânica Quântica e analisamos em detalhe a classe dos operadores completamente positivos (e sua conhecida representação de Kraus). Seguindo [10], definimos que chamamos de semigrupos dinâmicos quânticos (QDS) e semigrupos markovianos quânticos (QMS), em analogia aos semigrupos clássicos da teoria de processos estocásticos com t real e t ≥ 0. Explorando a relação entre o semigrupo e seu gerador infinitesimal, encontramos condições necessárias e suficientes para que um operador seja o gerador infinitesimal de um destes semigrupos quânticos com t real e t ≥ 0. Um operador que satisfaz esta condição é chamado de operador condicionalmente completamente positivo. O tópico mais importante nesta dissertação é o seguinte: seguindo [10] descrevemos uma representação destes geradores originalmente devida à Lindblad [23].
carinho e apoio.À equipe da Comissão de Pós-Graduação do IFUSP, sempre solícita e compreensiva.À CNPq pelo auxílio financeiro.i ResumoSistemas quânticos cuja dinâmica é não-unitária e que evoluem adiabaticamente apresentam características únicas com aplicações no campo da computação quântica.Estudamos nessa dissertação o formalismo de sistemas quânticos abertos, a teoria de semigrupos dinâmicos e os chamados operadores de Lindblad.Enunciamos e provamos o teorema adiabático na formulação de T. Kato a fim de entender a idéia e o formalismo por trás de regimes adiabáticos.Utilizamos essas ferramentas para descrever o problema de otimização de trajetórias adiabáticas em sistemas quânticos dissipativos (cuja dinâmica é dada por uma classe de operadores de Lindblad) e, seguindo as indicações de Avron et al. [8], obtemos as condições para que essa otimização seja única e aplicamos esse resultado em algoritmos quânticos de busca.
Na presente tese, examinamos dois tópicos da teoria de sistemas quânticos abertos. O primeiro tópico trata da descrição da dinâmica de sistemas inicialmente correlacionados com o ambiente. Na teoria de sistemas quânticos abertos, mapas que caracterizam a dinâmica do sistema quântico em contato com o ambiente são usualmente considerados completamente positivos. No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro se o sistema e seu ambiente forem inicialmente correlacionados, a menos que se restrinja o domínio no qual o mapa atua, ou seja, apenas um subconjunto do conjunto de estados do sistema é mapeado para outros estados pelo mapa dinâmico. Nós introduzimos um quadro para a construção de mapas dinâmicos reduzidos para subsistemas de partículas fermiônicas indistinguíveis. Nesse cenário, um mapa reduzido na representação de Kraus é possível para alguns conjuntos de estados onde a única correlação não clássica presente é a de troca. O segundo tema estudado está relacionado à caracterização de dinâmicas não-markovianas com os critérios de divisibilidade e emaranhamento. Obtemos uma expressão analítica para a decomposição de Kraus do mapa quântico de um ambiente modelado por um hamiltoniano fermiônico quadrático arbitrário atuando em um ou dois qubits, derivamos funções simples para verificar a não positividade do mapa intermediário. No caso particular de um ambiente representado pelo Hamiltoniano de Ising, discutimos as duas fontes de não-Markovianidade no modelo, uma devido ao tamanho finito da rede, e outra devido ao tipo de interação.
Este trabalho possui como tema principal o estudo da dinâmica de sistemas quânticos da perspectiva da teoria de sistemas dinâmicos, em particular, do ponto de vista da teoria de controle. Os principais tópicos abordados são (i) a análise da controlabilidade dos sistemas quânticos em dimensão finita e infinita e (ii) a teoria generalizada de medição de sistemas quânticos com o objetivo de obter as equações diferenciais estocásticas associadas a sistemas submetidos a processos de medição contínuos. Com relação à controlabilidade de sistemas dinâmicos quânticos fechados em dimensão finita resgatamos da literatura os resultados, já consolidados, da aplicação da teoria de grupos e álgebras de Lie aos essa classe de sistemas dinâmicos. Em dimensão infinita, a aplicação direta das técnicas de controle geométrico já não ocorre diretamente. Em espaços de estados de dimensão infinita as técnicas de análise matemática devem ser mais sofisticadas, há problemas relacionados à convergência e problemas relacionados a operadores não limitados. Os principais resultados conhecidos da literatura são apresentados e suas limitações são discutidas. Realizamos em seguida uma analogia entre sistemas clássicos lineares e sistemas dinâmicos quânticos de dimensão infinita cuja dinâmica é restrita a uma álgebra de operadores auto adjuntos comutativa. Observamos também que a controlabilidade de alguns sistemas quânticos em dimensão infinita está associada a Hamiltonianos não lineares. Notamos, em particular, que os sistemas quânticos comutativos estão associados a operadores não lineares. Com relação à teoria de medição de sistemas quânticos, partimos da teoria de sistemas quânticos abertos para a obtenção da equação dinâmica que rege a evolução dos sistemas não conservativos. Em paralelo, realizamos uma análise da descrição matemáticas dos experimentos de medição em sistemas quânticos desde os postulados de medição ortogonal até a descrição de processos de medição contínuos. Observamos que a equação de Schrödinger estocástica associada a um processo de medição contínuo possui como gerador infinitesimal um Hamiltoniano não linear no operador auto adjunto associado ao observável. Realizamos em seguida uma discussão a respeito das implicações de processos de medição contínuos na dinâmica de sistemas quânticos, analisando possíveis impactos em sua controlabilidade. Analisamos também o caso particular de sistemas quânticos cujos operadores associados a sua dinâmica e a seus observáveis estão restritos a uma mesma álgebra comutativa. Concluímos com sugestões de trabalhos futuros relacionados controlabilidade em dimensão infinita e a à dinâmica de sistemas quânticos sujeitos a medição.
A mecanica quantica e a parte da fisica que descreve o comportamento de atomos e moleculas, cujos postulados foram desenvolvidos atraves de um longo processo de tentativa e erro. Sao eles: Postulado 1: Existe um espaco vetorial complexo, com produto interno, associado a qualquer sistema fisico fechado (sistema que nao interage com outros sistemas). Um estado desse sistema e completamente descrito por um vetor unitario, chamado vetor de estado. Postulado 2: A evolucao de um sistema quantico fechado e descrita por um operador linear que preserva o produto interno (operador unitario). O estado |ψ1 i do sistema, no tempo t1 , esta relacionado ao estado |ψ2 i, no tempo t2 , atraves de um operador unitario U que depende apenas de t1 e t2 . Ou seja, |ψ2 i = U |ψ1 i. Postulado 3: As medidas sobre sistemas quanticos sao descritas por operadores hermitianos M (M † = M ), chamados observaveis. Postulado 4: Postulado da composicao de sistemas, no qual e definido o produto de Kronecker como produto tensorial utilizado no sistema quantico para dizer quando um sistema esta ou nao emaranhado [6]. Mesmo para os especialistas, a compreensao do real significado dos postulados e uma questao nao resolvida. Iremos considera-los como sendo a estrutura matematica para tratar o estudo proposto neste trabalho. [...]
O entendimento dos fenômenos associados com a dinâmica de convergência dos estados quânticos e fundamental para o avanço da teoria da informação quântica. Este trabalho apresenta uma introdução ao formalismo matemático necessário para a análise de sistemas quânticos dissipativos, através da álgebra de semigrupos de operadores completamente positivos que preservam traço, e uma breve discussão sobre os princípios da teoria da informação. Posteriormente e introduzido o conceito de cutoff e são expostas algumas definições matemáticas relacionadas a distinguibilidade de estados quânticos e ao próprio fenômeno de cutoff. O comportamento de cutoff é demonstrado para duas classes de semigrupos: de operadores gerados por lindbladianos comutantes e de operadores constituídos de sequências de produtos tensoriais. Por fim, discutem-se direções futuras deste estudo no contexto do modelo de computação quântica dissipativa e de passeios aleatórios quânticos abertos.
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.