Sur le problème des relations entre les transformations unitaires de la Mécanique quantique et les transformations canoniques de la Mécanique classique
On définit en Mécanique classique le groupe Γ (étroitement lié au groupe des transformations canoniques) qui correspond le mieux au groupe U des transformations unitaires de la Mécanique quantique. On compare les groupes U et Γ et on montre comment l’absence d’isomorphisme entre U et Γ fournit l’explication des ambiguïtés inévitables qui apparaissent dans tout processus de quantification d’un système de la Mécanique classique.
On définit en Mécanique classique le groupe Γ (étroitement lié au groupe des transformations canoniques) qui correspond le mieux au groupe U des transformations unitaires de la Mécanique quantique. On compare les groupes U et Γ et on montre comment l’absence d’isomorphisme entre U et Γ fournit l’explication des ambiguïtés inévitables qui apparaissent dans tout processus de quantification d’un système de la Mécanique classique.
PRÉFACEEn mécanique classique, les trajectoires issues de lois déterministes mais possédant une forte sensibilité aux conditions initiales semblent imprévisibles : Frédéric Faure présente ainsi le chaos déterministe, déjà observé par Henri Poincaré à la fin du xix e siècle.Mélange et ergodicité en sont deux propriétés essentielles.Le formalisme de la mécanique quantique découvert au début du xx e siècle décrit la matière par des ondes qui évoluent selon l'équation de Schrödinger, et les paquets d'ondes sont assimilable à des particules.Cette nouvelle description de la physique apparaît à première vue comme une rupture.Mais Clotilde Fermanian Kammerer explicite le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique avec les formules de quantification et l'utilisation du calcul symbolique pour les opérateurs, aboutissant à une correspondance entre les évolutions dynamiques des ondes et des particules.Le chaos quantique concerne la dynamique des ondes quantiques dans un système dont les particules suivent une dynamique classique chaotique.
A la poursuite de l’individuation : description mathématique des systèmes physiques Résumé: Ce travail se veut une analyse conceptuelle de certains développements récents dans les fondements mathématiques de la Mécanique Classique et de la Mécanique Quantique qui ont permis de formuler ces deux théories dans un même langage. Du point de vue algébrique, l’ensemble des observables d’un système physique, soit-il classique ou quantique, est décrit par une algèbre de Jordan-Lie. Du point de vue géométrique, l’espace des états de tout système est décrit par un espace uniforme de Poisson avec transition de probabilité. Ces deux structures mathématiques sont ici interprétées comme une manifestation du double rôle constitutif des propriétés en physique : elles sont à la fois des quantités et des transformations. Il s’agit alors de comprendre l’articulation précise entre ces deux rôles. Au cours de l’analyse, il apparaîtra que la Mécanique Quantique peut être vue comme se distinguant de la Mécanique Classique par une condition de compatibilité entres les quantités et les transformations.D’autre part, cette thèse met en évidence l’existence d’une tension fondamentale entre une certaine façon abstraite de concevoir les structures mathématiques, présente dans la pratique de la physique mathématique, et la nécessité de spécifier des états ou des observables particulières. Il devient alors important de comprendre comment, dans le formalisme, se construit un schéma d’indexation. La “poursuite de l’individuation” est l’analyse de différentes techniques mathématiques vues comme tentatives de résolution ce problème. En particulier,nous discuterons comment la théorie des groupes permet d’y apporter une solution partielle.
On essaie de construire la mécanique quantative relativiste en partant de l'hypothèse que toute grandeur physique possède quatre composantes dans l'espace-temps, qui sont fonctions d'un paramètre quadrivectoriel, point de l'espace-temps. Le schéma mathématique de la théorie est constitué par l'algèbre et l'analyse des quaternions, oû les fonctions dépendent d'un paramètre quaternionien. L'auteur est ainsi amené à développer l'analyse quaternionienne. L'équation de Dirac s'obtient d'une manière simple et directe de la transformation la plus générale de Lorentz, appliquée au quadrivecteur quantité de mouvement énergie P, lors du passage du système de l'observateur au système propre du corpuscule, en remplaçant dans cette transformation P par j/i ∂X + e/c A, conformément au postulat quantique. Pour parvenir aux équations de la mécanique quantique relativiste on admet que les éléments de matrice sont des quaternions, fonctions exponentielles du point de l'espace-temps. Les relations d'incertitude auxquelles on aboutit pour les grandeurs canoniquement conjuguées, ont la variance relativiste correcte. Les équations fondamentales de la mécanique quantique quaternionienne conduisent, par ailleurs, à la formulation quadri-vectorielle du principe de Ritz, en accord parfait avec la théorie de la relativité.
Comme en mécanique classique, la rotation en mécanique quantique est une transformation qui fait intervenir le moment cinétique. La différence avec la mécanique classique vient du fait que le moment cinétique est un opérateur vectoriel et non pas un vecteur ordinaire, et que ses composantes ne commutent pas deux-à-deux. Comme pour toute transformation en mécanique quantique, à chaque rotation est associé un opérateur qui agit dans l'espace des états. L'expression de cet opérateur de rotation dépend du type de rotation envisagée : rotation passive si on effectue une rotation du système de référence sans changer le système physique, rotation active si on laisse le système de référence inchangé mais on effectue une rotation sur le système physique. La première partie (Chaps. 1 et 2) de cet ouvrage traite ces deux aspects. Après avoir défini la transformation géométrique associée à la rotation la plus générale, on donne l'expression de l'opérateur de rotation dans chacun des deux cas. Les lois de transformation des champs scalaires, des champs de vecteurs et des champs de spineurs sont données ainsi que les lois de transformation des opérateurs scalaires, vectoriels et plus généralement des opérateurs de rang quelconque. La seconde partie (Chaps. 3 et 4) traite l'algèbre des moments angulaires. On définit les coefficients de couplage de 2, 3 et 4 moments angulaires ainsi que les coefficients de recouplage. La notion d'opérateur tensoriel irréductible, généralisation des opérateurs scalaire, vectoriel est introduite ainsi que le théorème de Wigner-Eckart. Les formules d'application dans des cas complexes sont données.
Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691
Nous examinons les relations possibles entre la relativité générale et la mécanique quantique, du point de vue des représentations qu'elles se font de l'espace et du temps, qui sont différentes. Nous nous rapportons à notre propre compréhension des concepts d'espace et de temps, construits en opposition l'un à l'autre à partir des phénomènes physiques, et non constituant un cadre extérieur a priori. Dans le cadre d'une pensée relationnelle, on ne peut que comparer des phénomènes à d'autres phénomènes, et de cette confrontation naissent les repères d'espace-temps, dessinés par les trajectoires de certains phénomènes considérés arbitrairement de façon privilégiée. C'est dans ce cadre qu'il faut penser la possible association de la relativité générale (qui n'a pas le monopole de l'espace et du temps) et de la mécanique quantique (qui n'a pas le monopole de la quantification, cette dernière devant être comprise par la comparaison de deux classes de phénomènes dans une vision probabiliste). La question générale à se poser est celle d'échanges possibles entre les différents points de vue, appuyés sur les divers phénomènes possibles, c'est-à-dire ceux sur lesquels espace et le temps sont définis, et les autres. Ce ne sont pas l'espace et le temps qui disparaissent, ce sont les points de vue qui s'échangent. Ces échanges sont rendus possibles en représentant espace et temps, comme les autres phénomènes, par une paire de champs (r, t) ; r et t sont des vecteurs dans un espace à trois dimensions (le temps est marqué par la position d'un point mobile dans le même espace que celui qui définit la position des points), en opposition aux paires de champs (f, g) associées aux autres phénomènes (comme l'est la paire des champs électrique et magnétique). On peut in fine envisager une quantification de l'espace et du temps ; on peut envisager encore la définition de temps et espace par la seule mécanique quantique. Un cadre préliminaire et qualitatif est ici présenté comme base de futures recherches quantitatives.