Os trabalhos originais de Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics’ e von Neumann,\n“The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics”, estabeleceram as bases do\nformalismo matemático atual da mecânica quântica. Junto com a álgebra C*, essas são três\ndiferentes abordagens matemáticas e conceituais que podem ser utilizadas para a caracterização\nmatemática da mecânica quântica. Fizemos uma releitura comparativa e mais matemática\ndesses dois clássicos originais buscando clarificar suas semelhanças e diferenças, e em seguida\nexpusemos de forma didática a álgebra C*, apresentando todos os pré-requisitos de estruturas\nalgébricas e outros conceitos necessários para a sua compreensão. O trabalho é ainda uma\nexposição mais didática dos formalismos de Dirac, von Neumann, e Álgebra C*, permitindo\numa compreensão mais rigorosa da matemática da mecânica Quântica.
Os trabalhos originais de Dirac, “The Principles of Quantum Mechanics’ e von Neumann,\n“The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics”, estabeleceram as bases do\nformalismo matemático atual da mecânica quântica. Junto com a álgebra C*, essas são três\ndiferentes abordagens matemáticas e conceituais que podem ser utilizadas para a caracterização\nmatemática da mecânica quântica. Fizemos uma releitura comparativa e mais matemática\ndesses dois clássicos originais buscando clarificar suas semelhanças e diferenças, e em seguida\nexpusemos de forma didática a álgebra C*, apresentando todos os pré-requisitos de estruturas\nalgébricas e outros conceitos necessários para a sua compreensão. O trabalho é ainda uma\nexposição mais didática dos formalismos de Dirac, von Neumann, e Álgebra C*, permitindo\numa compreensão mais rigorosa da matemática da mecânica Quântica.
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Este trabalho investiga aspectos fundamentais da teoria quântica. Começamos estabelecendo um formalismo independente de teoria para o estudo de teorias físicas, inspirado pelas chamadas teorias probabilísticas generalizadas (GPTs). Nossa abordagem diverge das GPTs tanto em termos de conceitos primitivos quanto na forma como as teorias físicas são compreendidas. Consideramos observável como conceito primitivo e entendemos teorias como formalismos nos quais leis físicas ou empíricas - expressões matemáticas relacionando quantidades físicas que podem ser mensuradas em conjunto - podem ser formuladas. Além dos observáveis, nosso formalismo inclui estados e um mecanismo de atualização de estados como conceitos primitivos. Estados atribuem probabilidades a proposições sobre medições subsequentes de quantidades físicas, enquanto a atualização de estado reconstrói estados para garantir a veracidade de tais proposições. Assim como nas GPTs, nossa análise é restrita a quantidades com um número finito de valores possíveis. Sistemas quânticos de dimensão finita estão dentro do escopo do nosso formalismo. Demonstramos que a estrutura algébrica da mecânica quântica emerge localmente a partir das condições de consistência que fundamentam nossa definição independente de teoria de sistema físico, onde \"localmente\" se refere a aspectos da álgebra (parcial) de observáveis que não envolvem operações entre operadores incompatíveis. Especificamente, mostramos que observáveis possuem norma e espectro; que existe uma relação de compatibilidade para observáveis, juntamente com operações algébricas entre aqueles que são compatíveis; projeções existem e formam um conjunto parcialmente ordenado com álgebras Booleanas locais; observáveis compatíveis dois a dois estão contidos em álgebras de Banach comutativas geradas por um único observável; estados definem funcionais parcialmente lineares no conjunto de observáveis; observáveis admitem decomposição espectral, entre outros. Esses resultados contribuem para a importante linha de pesquisa centrada em derivar o formalismo quântico a partir de suposições simples. Além disso, eles destacam uma diferença fundamental entre nosso formalismo e as GPTs, já que estas últimas são conhecidas por comumente não incluírem operações algébricas e projetores. A emergência local da estrutura algébrica da mecânica quântica tem implicações significativas para o problema das correlações quânticas, ou seja, o problema de se identificar princípios que expliquem as correlações produzidas por sistemas quânticos. Essa estrutura local nos permite provar que princípios importantes que governam as correlações quânticas, como a não-perturbatividade, a não-sinalização, o princípio de Specker, o princípio da exclusividade e o princípio da ortogonalidade local, são inerentemente satisfeitos em nosso formalismo. Consequentemente, nenhuma teoria dentro do escopo da nossa descrição pode violá-los, e as correlações por elas produzidas não podem estar consideravelmente distantes do chamado conjunto quântico. Exemplos notáveis de correlações pós-quânticas, como caixas PR e correlações quase-quânticas, são automaticamente excluídos. Concluímos nosso trabalho abordando o problema das variáveis ocultas. Provamos um teorema de impossibilidade para modelos de variáveis ocultas com base em uma única condição de consistência: o modelo deve atualizar estados via probabilidade condicional, o que, conforme argumentamos, segue de nossa descrição do mecanismo de atualização de estados. Este teorema estabelece uma ligação direta entre a incompatibilidade e a ausência de variáveis ocultas, mostrando que modelos de variáveis ocultas que atualizam estados existem se, e somente se, os observáveis em questão forem dois a dois compatíveis. Com base nisso, analisamos afirmações de cunho ontológico e metafísico tipicamente associadas a contextualidade, não-localidade e psi-ontologia.
WRESZINSKIO QUE CARACTERIZA as muitas contribuições de von Neumann à Física Matemática é a profundidade e extrema originalidade das suas idéias, que parecem surgir do nada.Cada uma delas abriu novos caminhos, e muitas conduziram a desenvolvimentos surpreendentes.Nesta palestra, quero concentrar-me em duas dessas idéias e seus desenvolvimentos subseqüentes: a teoria de perturbações, e a dos avoided crossings, com maior ênfase na última.Por completeza, menciono algumas das suas contribuições fundamentais, que não serão aqui abordadas: os métodos matemáticos da mecânica quântica (von Neumann, 1932) (inclusive a teoria dos operadores não limitados e grafos (id., 1929) e o teorema fundamental da unicidade relativo às relações canônicas de comutação (id., 1931); a teoria das álgebras de von Neumann (Dixmier, 1957) e suas aplicações à mecânica estatística (Ruelle, 1969); a teoria dos espaços produto-direto incompletos e suas aplicações, por exemplo, modelo de Dicke do MASER por Hepp & Lieb (1973) e, finalmente, os métodos da teoria ergódica e suas aplicações à mecânica clássica (Koopman-von Neumann (1932).Cada um desses tópicos seria assunto para várias palestras.Por exemplo, o teorema da unicidade é específico a número finito de graus de liberdade: no caso de sistemas de número infinito de graus de liberdade (teoria de campos) não há unicidade, e sim variedade nãoenumerável de representações inequivalentes estranhas das relações de comutação, o que representa uma fonte de graves problemas intrínsecos dessa teoria.O problema da teoria de perturbações é central em análise funcional, particurlarmente a do espectro singular: dado um operador auto-adjunto H com espectro puramente pontual, e uma perturbação compacta V, quando é que (H + V) tem também espectro puramente pontual?O início desse estudo foi o trabalho de von Newmann e Weyl, e o resultado do teorema de Weyl-von Newmann (1935) não é encorajador: qualquer
Resumo O método de integrais de trajetória, desenvolvido por Feynman no artigo “Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics” de 1948, é uma das formulações da teoria quântica que se junta, considerando a época do artigo, a duas anteriores: (i) a formulação, de certa forma o padrão apresentado em livros-textos, desenvolvida na década de 1920 por Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Von Neumann, Born, Jordan e outros, e que se baseia no espaço de Hilbert e operadores que atuam nesse espaço, e (ii) a descrição no espaço de fase, também conhecida como a quantização de Moyal, que se baseia na função quasi-distribuição de Wigner proposta em 1932 e na lei de Correspondência de Weyl de 1927, e conduz à estrutura matemática não comutativa baseada no produto estrela (*). Neste trabalho, apresentamos uma revisão pedagógica de pontos considerados básicos para o desenvolvimento de Feynman. Destacamos a linha de pesquisa de Dirac na busca de analogias entre a Mecânica Clássica e a Mecânica Quântica, bem como os postulados formulados por Feynman no artigo acima citado, aspectos importantes para a compreensão da teoria mas pouco conhecidos e pouco divulgados de forma completa. Um exemplo é apresentado para elucidar o método e sua relação com a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Gostaria de agradecer aos meus pais e ao meu irmão, pelo apoio incondicional.À minha namorada por seu apoio e compreensão.Aos meus amigos, pelos bons momentos.Ao meu orientador pela paciência e disposição.À CAPES pelo suporte financeiro. ResumoO formalismo proposto por Paul A. M. Dirac em meados da década de 1920, embora tenha representado um enorme avanço para tratarmos problemas da Teoria Quântica, não possuia uma base matemática sólida.Aqui, usamos elementos da Teoria das Distribuições, Análise Funcional, Teoria dos Operadores Lineares entre outros tópicos de matemática, para construir os espaços de Hilbert equipados, que comportam todo o formalismo de Dirac.
A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.