Показано, что радиальные волновые функции заряженной квантовой частицы, движущейся в двумерной плоскости трехмерного координатного пространства и рассеивающейся неподвижным кулоновским центром, лежащим в той же плоскости, удовлетворяют уравнению Кулона c полуцелым индексом. Исследовано строение этих функций. Рассмотрены три интересных с физической точки зрения предела: некулоновский предел и пределы низких и высоких энергий. Выявлены основные отличия двумерного кулоновского рассеяния от трехмерного.
ДВУМЕРНОЕ КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ: НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ Рассматривается задача о рассеянии заряженной квантовой частицы, движущейся в двумерной плоскости трехмерного координатного пространства, на неподвижном кулоновском центре, лежащем в той же плоскости.Выведены и исследованы разложения волновой функции и всех радиальных волновых функций частицы по целым степеням волнового числа и функциям Бесселя вещественного порядка.Доказано, что конечные суммы таких разложений являются асимптотиками в пределе низких энергий.
ДВУМЕРНОЕ ЯДЕРНО-КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННОЙ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ Исследуется двумерное рассеяние квантовой частицы суперпозицией кулоновского и центрального короткодействующего потенциалов.Дан анализ низкоэнергетических асимптотик всех радиальных волновых функций, парциальных фаз и сечений рассеяния такой частицы.Предложены два способа вычисления длины рассеяния и эффективного радиуса.
Для нерелятивистской квантовой системы
N частиц волновая функция является функцией
3N пространственных координат и одной временно́й координаты. Релятивистское обобщение волновой функции зависит от
N временны́х переменных и известно как многовременная волновая функция. Ее эволюция описывается
N уравнениями Шредингера, по одному для каждой временной переменной. Чтобы система уравнений имела нетривиальное решение,
N гамильтонианов должны удовлетворять условию совместности, также называемому условием интегрируемости. В настоящей работе условие интегрируемости выражено в терминах лагранжианов. С помощью фейнмановского подхода к квантовой механике получена эволюция волновой функции по
N временным переменным. Уравнения этой эволюции совместны тогда и только тогда, когда
N лагранжианов удовлетворяют определенному соотношению, называемому условием согласованности, которое можно записать в терминах линии Вильсона. Условие согласованности порождает ключевое свойство эволюции волновой функции: независимость эволюции от траектории в пространстве временных переменных. Это дает основания предполагать, что необходимо учитывать все возможные траектории не только в пространстве зависимых (пространственных) переменных, но и в пространстве независимых (временных) переменных. С геометрической точки зрения условие согласованности можно рассматривать как условие нулевой кривизны, а многовременные эволюции - как согласованные параллельные переносы в плоском пространстве временных переменных.
Квантовое исчисление делителей Фибоначчи и фермионно-бозонная запутанность для бесконечной иерархии
N=2 суперсимметричных золотых осцилляторов
Квантовое исчисление с двумя основаниями, представленными степенями золотого и серебряного сечений, соотносит производную делителя Фибоначчи с формулой Бине для оператора числа частиц, связанного с делителями Фибоначчи, который действует в фоковском пространстве квантовых состояний. Это дает инструмент для изучения иерархии золотых осцилляторов со спектром энергий в виде делителей Фибоначчи. Приведено обобщение этой модели на суперсимметричный оператор числа частиц, представлена соответствующая формула Бине для оператора числа частиц, задающегося через делители Фибоначчи. Этот оператор определяет гамильтониан иерархии суперсимметричных золотых осцилляторов, действующий в фермионно-бозонном гильбертовом пространстве и принадлежащий
N=2 суперсимметричной алгебре. Собственные состояния данного оператора числа частиц являются дважды вырожденными и могут быть представлены как точки на суперсфере Блоха. Введен суперсимметричный оператор уничтожения в терминах делителей Фибоначчи, и с его помощью построена иерархия суперсимметричных когерентных состояний как собственных состояний этого оператора. Запутанность фермионов и бозонов в этих состояниях вычисляется с использованием согласованности, которая представляется в виде определителя Грама и выражается через иерархию золотых экспоненциальных функций. Показано, что опорные состояния и соответствующая энтропия фон Неймана, измеряющая запутанность фермионов и бозонов, полностью характеризуются степенями золотого сечения. Приведены геометрическая классификация запутанных состояний на основе шара Фробениуса и интерпретация значения согласованности как удвоенной площади параллелограмма в гильбертовом пространстве.
Рассмотрены подходы к расчету волновых функций и уровней энергии волновых пакетов, моделирующих квантовые частицы. Внимание обращено на проблему выбора новых переменных для корректного учета граничных условий при решении стационарных уравнений Шредингера, описывающих пространственное распределение волновой функции микрочастицы в поле потенциалов различной формы. Получены волновые функции, коэффициенты отражения от барьера и прохождения микрочастиц через потенциальный барьер.