Критическая точка в задаче максимизации вероятности перехода с помощью измерений в
n-уровневой квантовой системе
Проблема измерений для квантовой монетки Адамара в серии из произвольного числа
n измерений с повторяющейся последовательностью состояний в последних измерениях сформулирована в терминах последовательности чисел Фибоначчи для дуплетных состояний, чисел три-боначчи для триплетных состояний и чисел
N-боначчи для
N-плетных состояний. Найдены вероятности для произвольного положения повторяющихся состояний, выражающиеся в числах Лукаса и Фибоначчи. Для кубитной монетки общего вида соответствующие выражения являются полиномами Фибоначчи и, в более общем случае, полиномомами
N-боначчи от кубитных вероятностей. Выведены производящие функции вероятностей, золотое сечение как предел этих вероятностей и энтропия Шеннона для соответствующих состояний. С использованием обобщенного правила Борна и универсальности
n-кубитного измерительного вентиля задача сформулирована для общих
n-кубитных состояний; построены проекторы в гильбертовом пространстве этих состояний, ограниченных на дерево Фибоначчи для квантовых состояний. Полученные результаты обобщаются на случаи кутритной и кудитной монеток, описываемых обобщенными последовательностями чисел Фибоначчи и
N-боначчи.
Предлагается модель квантовых запутанных состояний многих тел с помощью кортежей, состоящих из экземпляров отдельных реальных частиц. Этот подход обобщает метод Бома на сложные системы. Динамика может описываться как в форме квантовой гидродинамики, так и в форме динамической диффузии, подробно разбираемой в работе. Последний метод принципиально зависит от выбора зерна пространственного разрешения, не может быть сведен к дифференциальным уравнениям и потому требует прямого моделирования. Ограничение числа экземпляров является фундаментальным фактором, вызывающим декогерентность отклонение динамики роя от точного решения уравнения Шредингера. Сложность модели линейна по числу частиц.
В работе предлагается подход, позволяющий на формальном уровне обсуждать некоммутирующие измерения. Такие измерения «возмущают» измеряемую систему и меняют ее состояния. Центральной структурой, ответственной за описание таких измерений, оказывается структура ортопосета (булева в классическом случае коммутирующих измерений). Состояния системы реализуются как вероятностные меры на этом ортопосете. Приводится применение предложенного подхода к принятию решений в условиях «неклассической» неопределенности, а также моделированию «неклассических» предпочтений.
Для нерелятивистской квантовой системы
N частиц волновая функция является функцией
3N пространственных координат и одной временно́й координаты. Релятивистское обобщение волновой функции зависит от
N временны́х переменных и известно как многовременная волновая функция. Ее эволюция описывается
N уравнениями Шредингера, по одному для каждой временной переменной. Чтобы система уравнений имела нетривиальное решение,
N гамильтонианов должны удовлетворять условию совместности, также называемому условием интегрируемости. В настоящей работе условие интегрируемости выражено в терминах лагранжианов. С помощью фейнмановского подхода к квантовой механике получена эволюция волновой функции по
N временным переменным. Уравнения этой эволюции совместны тогда и только тогда, когда
N лагранжианов удовлетворяют определенному соотношению, называемому условием согласованности, которое можно записать в терминах линии Вильсона. Условие согласованности порождает ключевое свойство эволюции волновой функции: независимость эволюции от траектории в пространстве временных переменных. Это дает основания предполагать, что необходимо учитывать все возможные траектории не только в пространстве зависимых (пространственных) переменных, но и в пространстве независимых (временных) переменных. С геометрической точки зрения условие согласованности можно рассматривать как условие нулевой кривизны, а многовременные эволюции - как согласованные параллельные переносы в плоском пространстве временных переменных.
ДВОИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ Для моделирования квантовой системы с непрерывными степенями свободы на квантовом компьютере, основанном на кубитах, необходимо свести непрерывные наблюдаемые (в первую очередь координаты и импульсы) к двоичным наблюдаемым.Данная задача рассматривается на основе разложения квантовых наблюдаемых в ряд по степеням двойки, аналогичный двоичному представлению вещественных чисел.Коэффициенты ряда ("цифры") при этом являются ортогональными проекторами.Исследуются соответствующие квантовомеханические операторы и соотношения между ними.Показано, что двоичное разложение квантовых наблюдаемых автоматически приводит к перенормировке некоторых расходящихся интегралов и рядов (приписыванию им конечных значений).
Изучается вопрос о материалистической интерпретации принципа наименьшего действия и вопрос о материалистической интерпретации квантовой механики. Осуществляя выход за рамки классической механики, мы от представления частицы материальной точкой в физическом пространстве (т. е., геометрической точкой, имеющей собственную массу), перешли к представлению частицы в виде особенности векторного поля скоростей частичек материи, замкнутой своими линиями тока на 3-мерной сфере, и имеющей собственную угловую скорость в 4-мерном евклидовом пространстве эволюционирующей 3-сферы
R4=r∗S3, где радиус сферы
r и эволюционный параметр
τ связаны зависимостью
τ=log(r). Иначе говоря, отныне инерциальное многообразие динамической системы 4-мерного пространства, образованное предельными циклами, замыкающимися на 3-сфере, является прообразом материальной точки, а в силу того, что абсолютное время является функцией полярной координаты пространства
R4, динамическая система представляет собой векторное поле скорости материи в эволюции. Более того, интерпретация линий тока векторного поля 4-мерного пространства (соответствующих логарифмическим спиралям в
R4) как всевозможных траекторий свободного движения предельных циклов приводит к необходимости метафизического расширения 3-мерного евклидова пространства, до цилиндрического многообразия
R3×S1. Это позволило нам истолковать принцип наименьшего действия как утверждение о том, что частица движется по пути, доставляющему минимум полному (суммарному) числу оборотов особенности, а квантовую механику интерпретировать как задачу о случайном блуждании особенности. Вместе с тем, выбор в качестве метафизического расширения пространства эволюционирующей 3-сферы является упрощением, тогда как для учёта всех физических феноменов (в том числе калибровочных связностей) необходимо изучать эволюционирующую гиперсферу 8-мерного пространства с нейтральной метрикой, которая укладывается на 7-сферу 8-мерного евклидова пространства.