Mi trabajo de tesis con el título de “Nueva Didáctica de la Mecánica Cuántica”, nace de la idea de desarrollar un nuevo acercamiento didáctico para introducir algunos conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en manera simple y convincente. Este acercamiento se inspira en recientes tentativas de volver a formular esta teoría según los principios físicos elementales. Esto tiene la ventaja de no utilizar el formalismo matemático de los espacios de Hibert y de los operadores Hermitianos y de sacar en manera intuitiva y razonable los conceptos fundamentales de indeterminación y “entanglement”. No se trata de simple divulgación, sino de una introducción que permite, a través de un aparato matemático sencillo y con conceptos físicos elementales , presentar los conceptos de medida y de probabilidad y de formular, además, predicciones cuantitativas sobre los sistemas cuánticos más elementales: los sistemas a dos estados entre los que podemos poner el “spin”. Por este nuevo acercamiento me he inspirado a los trabajos de Lucien Hardy, que demostró como el formalismo de la Mecánica Cuántica se pueda también deducir sin partir de axiomas abstractos, sino basándose sobre postulados razonables y con un significado claro. En particular se han sacado algunos conceptos fundamentales de la Mecánica Cuántica, basándose en los conceptos elementales de “bit” (a unidad de información) y de vector. Este estudio se ha desarrollado también con el objetivo de valorar la eficacia de las nuevas fórmulas introducidas en relación a las competencias de base de los estudiantes a los que se ha presentado. El grupo seleccionado para mi investigación está constituido de 125 estudiantes entre 17 y 23 años de edad, de ambos sexos, del quinto año de dos Institutos de bachillerato con especialidad en ciencias de dos ciudades de Sicilia, Messina y Caltanissetta. La investigación se ha efectuado en el laboratorio de informática del Instituto “Seguenza” (Sicilia-Italia) y en el aula Magna del Instituto “Mottura” (Sicilia-Italia) durante las clases de enseñanza curricular. Las fases de la investigación fueron tres: fase “pre test”, fase de “training” y fase “post test”. En la fase “pre test” se ha suministrado el cuestionario sobre el conocimiento primario del asunto, para comprobar el nivel de partida de todos los estudiantes. En la segunda fase, fase de “training”, por lo que se refiere al Instituto “Seguenza” de Messina, cada clase se ha tratado individualmente. Para cada clase se han presentado unas “slides” que contenían el texto y las imágenes, coadyuvadas por mi explicación. La explicación del asunto de la tesis ha durado una hora, incluso las respuestas a las preguntas obtenidas de la observación de las “slides”. Después de la fase de aprendizaje, a los participantes de la investigación se ha administrado un “retest” que sirvió a comprobar la eficacia de la nueva didáctica introducida. Los resultados se han analizado con el programa SPSS, construyendo las tablas de frecuencias y los gráficos, con el objeto de describir, por sexo y por escuela, los resultados de cada pregunta de los cuestionarios. Luego, con las tablas de contingencia sobresalieron algunas correlaciones significativas entre las respuestas de los estudiantes de las dos escuelas. Este estudio ha demostrado que examinando la comparación “pre test” / “re test” con el test de Wilcoxon (dado que las variables pretest y retest son numéricas), se consigue una relación altamente significativa por el Instituto de Messina. O sea, no obstante las evaluaciones en matemáticas y física no fuesen altas y el resultado del pretest insuficiente, los estudiantes han desarrollado bien el retest, demostrando la facilidad y validez del nuevo acercamiento didáctico. Para los estudiantes de Caltanissetta, donde la muestra considerada era inferior, los estudiantes habían sacado notas más altas en matemáticas y física y los resultados del pretest han resultado mejores. El resultado de godas formas muy positivo del retest parece menos que significativo.
Mi trabajo de tesis con el título de “Nueva Didáctica de la Mecánica Cuántica”, nace de la idea de desarrollar un nuevo acercamiento didáctico para introducir algunos conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en manera simple y convincente. Este acercamiento se inspira en recientes tentativas de volver a formular esta teoría según los principios físicos elementales. Esto tiene la ventaja de no utilizar el formalismo matemático de los espacios de Hibert y de los operadores Hermitianos y de sacar en manera intuitiva y razonable los conceptos fundamentales de indeterminación y “entanglement”. No se trata de simple divulgación, sino de una introducción que permite, a través de un aparato matemático sencillo y con conceptos físicos elementales , presentar los conceptos de medida y de probabilidad y de formular, además, predicciones cuantitativas sobre los sistemas cuánticos más elementales: los sistemas a dos estados entre los que podemos poner el “spin”. Por este nuevo acercamiento me he inspirado a los trabajos de Lucien Hardy, que demostró como el formalismo de la Mecánica Cuántica se pueda también deducir sin partir de axiomas abstractos, sino basándose sobre postulados razonables y con un significado claro. En particular se han sacado algunos conceptos fundamentales de la Mecánica Cuántica, basándose en los conceptos elementales de “bit” (a unidad de información) y de vector. Este estudio se ha desarrollado también con el objetivo de valorar la eficacia de las nuevas fórmulas introducidas en relación a las competencias de base de los estudiantes a los que se ha presentado. El grupo seleccionado para mi investigación está constituido de 125 estudiantes entre 17 y 23 años de edad, de ambos sexos, del quinto año de dos Institutos de bachillerato con especialidad en ciencias de dos ciudades de Sicilia, Messina y Caltanissetta. La investigación se ha efectuado en el laboratorio de informática del Instituto “Seguenza” (Sicilia-Italia) y en el aula Magna del Instituto “Mottura” (Sicilia-Italia) durante las clases de enseñanza curricular. Las fases de la investigación fueron tres: fase “pre test”, fase de “training” y fase “post test”. En la fase “pre test” se ha suministrado el cuestionario sobre el conocimiento primario del asunto, para comprobar el nivel de partida de todos los estudiantes. En la segunda fase, fase de “training”, por lo que se refiere al Instituto “Seguenza” de Messina, cada clase se ha tratado individualmente. Para cada clase se han presentado unas “slides” que contenían el texto y las imágenes, coadyuvadas por mi explicación. La explicación del asunto de la tesis ha durado una hora, incluso las respuestas a las preguntas obtenidas de la observación de las “slides”. Después de la fase de aprendizaje, a los participantes de la investigación se ha administrado un “retest” que sirvió a comprobar la eficacia de la nueva didáctica introducida. Los resultados se han analizado con el programa SPSS, construyendo las tablas de frecuencias y los gráficos, con el objeto de describir, por sexo y por escuela, los resultados de cada pregunta de los cuestionarios. Luego, con las tablas de contingencia sobresalieron algunas correlaciones significativas entre las respuestas de los estudiantes de las dos escuelas. Este estudio ha demostrado que examinando la comparación “pre test” / “re test” con el test de Wilcoxon (dado que las variables pretest y retest son numéricas), se consigue una relación altamente significativa por el Instituto de Messina. O sea, no obstante las evaluaciones en matemáticas y física no fuesen altas y el resultado del pretest insuficiente, los estudiantes han desarrollado bien el retest, demostrando la facilidad y validez del nuevo acercamiento didáctico. Para los estudiantes de Caltanissetta, donde la muestra considerada era inferior, los estudiantes habían sacado notas más altas en matemáticas y física y los resultados del pretest han resultado mejores. El resultado de godas formas muy positivo del retest parece menos que significativo.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
El rapido crecimiento de una tecnologia basada en los principios de la mecanica cuantica torna imperioso el conocimiento de sus fundamentos por la mayoria de los estudiantes universitarios. Siendo una de las mayores dificultades al estudiar estos temas la creacion de la «nueva percepcion» que la mecanica cuantica implica para el mundo microscopico, desarrollamos una unidad didactica introductoria con un abordaje que denominamos fenomenologico-conceptual, con enfasis en las caracteristicas cuanticas de los sistemas. La unidad incluyo discusiones conceptuales sobre topicos como los de computacion cuantica, efecto tunel, autointerferencia de una particula, saltos cuanticos y la paradoja del gato de Schrodinger. Los resultados de la implementacion de esta estrategia con tres grupos de estudiantes de ingenieria muestran que mas de la mitad de los estudiantes participantes consiguieron una comprension razonable de los conceptos discutidos.
Es pensado que la Mecánica Cuántica es una de las teorías fundamentales en la física. Esta teoría no solo ha permitido el estudio detenido de las propiedades de la naturaleza a una escala atómica, sino que también ha logrado una asombrosa convergencia con gran parte de las teorías clásicas. Un rasgo distintivo de la Mecánica Cuántica es su naturaleza probabilística, lo que implica que no puede prever con absoluta certeza el resultado de un experimento, sino tan solo asignar una probabilidad específica a su ocurrencia. En virtud de esta característica, la Mecánica Cuántica introduce un contexto donde llevar a cabo una medición se convierte en un proceso intrínseco. A pesar de ello, ninguno de sus fundamentos aborda explícitamente la definición de lo que constituye una medición cuántica. Aunque este procedimiento evidencia tanto la naturaleza probabilística a pequeña escala como el carácter determinista del ámbito macroscópico, surge de manera pertinente la pregunta: ¿qué se entiende por medición? O, al menos, ¿cómo llevar a cabo una medición? Diversos esfuerzos han sido realizados con el fin de construir un marco conceptual riguroso que describa el proceso de medición cuántica. En este estudio, se examinará detenidamente el esquema de medición propuesto por von Neumann interpretado a partir de la interacción entre el sistema principal y su entorno, así como los posibles tipos de mediciones que pueden surgir en estos sistemas. Sin embargo, al adentrarnos en el ámbito de la Teoría Cuántica de Campos y buscar realizar mediciones en este contexto, es imperativo ampliar la noción de medición de acuerdo con los principios de localidad y causalidad. Por ende, al establecer un marco claramente definido para las mediciones, también se delinean ciertas operaciones que son físicamente permitidas. Este trabajo se propone examinar los protocolos de medición en campos relativistas con el objetivo de comprender el protocolo propuesto por Fewster y Verch como una generalización de la teoría de medición cuántica no relativista.
El Objetivo general de éste trabajo es reformular la fundamentación estadística de la mecánica cuántica tomando como elementos las "propiedades físicas" en lugar de las magnitudes en general. Procuramos demostrar cuánto más sencillos de demostrar y directamente interpretables aparecen muchos resultados de la mayor importancia, sin que se pierda generalidad. Por supuesto tomamos como punto de referencia el formidable libro de J. von Neumann: "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik", tan lleno de ideas aún no suficientemente explotadas y que es el cimiento obligado de cuanto edificio teórico se ha pretendido levantar en la Mecánica Cuántica. Además de la reformulación antes mencionada, hemos conseguido varios resultados particulares nuevos; entre otros la demostración de que el método Koopman (7) de tratar sistemas dinámicos puede aplicarse a la estadística cuántica, y por lo tanto valen también para ella ciertas demostraciones del teorema ergódico. Hacemos también una verificación del mismo mediante la comparación de una sucesión real de mediciones con una "cadena de Markov" y damos la formulación cuántica del concepto de "transitividad métrica". Hemos también simplificado la demostración de algunos teoremas y en especial generalizado para espectros continuos el referente a la ley de distribución de Maxwell. Exponemos también, aunque sin detalles, dos ideas que nos parecen de gran importancia; la relación topológica entre espacios "complementarios" (coordenadas e impulsos por ejemplo), que aunque implícita en numerosos trabajos no hemos visto nunca enunciada claramente, y la distinción entre el tiempo del sistema y del observador, que permite recobrar la simetría relativista. Nueva es también la comparación entre la lógica propia de las proyecciones, la lógica usual y la de tres valores, y además el concepto de "conjunción estadística" que exponemos en un apéndice. Teníamos también intención de utilizar el concepto estadístico de función característica de una distribución, pero encontramos que ese tema ya había sido tratado, justamente en otro trabajo de tesis, por Arnous (1), en 1947. De todos modos hemos agregado un pequeño apéndice comentando su contenido. En cambio hemos renunciado a la inclusión de un resumen de la parte matemática, pues su volumen estaría fuera de proporción con el resto del trabajo y porque existen obras sumamente claras y apropiadas para referencia, como el capítulo correspondiente del libro de v. Neumann y otras obras que se citan en una bibliografía especial. Aunque por comodidad nuestras fórmulas se refieren concretamente al espacio de Hilbert de las funciones de la clase L² (cuadrado del módulo sumable), valen siempre, con obvias modificaciones, para otros espacios de uso común. Los teoremas que daremos por conocidos pueden encontrarse en su mayor parte en el Capítulo II del libro de v. Neumann, pero en general trataremos de dar referencias explícitas.
El propósito de este trabajo es presentar una idea de lo que abarca el estudio de la mecánica cuántica realizando un recorrido histórico de los antecedentes y los hechos que dieron origen al nacimiento de esta nueva teoría que rompería con los esquemas y las leyes físicas que predominaban en aquella época. Se mencionará también cómo se fue desarrollando esta teoría con el pasar de los años y se concluye el artículo mostrando unas aplicaciones de esta nueva rama de la física en el planteamiento de algunos problemas físicos y alguna aplicación en el desarrollo de tecnología. Para desarrollar este trabajo se realizó un resumen de varios capítulos de textos citados en la parte de las referencias bibliográficas.