Fonctions caracteristiques des operateurs du fock. Loi des grands nombres et theoreme de la limite centrale pour les distributions sur l'espace de wiener. Formules de stokes et d'ito pour un processus anticipatif a deux parametres a trajectoires non monotones
Cette these se compose de trois parties. Premiere partie: fonctions caracteristique des operateurs du fock et analyse differentielle gaussienne. Soit (, h, ) un espace de wiener complexe muni d'une conjugaison: z,hz. Dans ce travail, a l'aide du systeme de weyl defini sur fockh, on definit la fonction caracteristique associee a tout operateur de fockh de trace egale a 1. Ensuite, on montre que l'on peut prolonger cette definition a tout operateur de hilbert-schmidt de fockh et que la correspondance k,l#h#. #s(fockh)k#c,l#2() est une isometrie. Enfin, on applique ceci pour caracteriser les etats quasi-libre representees par une loi quantique. Deuxieme partie: loi des grands nombres et theoreme de la limite centrale pour les distributions sur l'espace de wiener. Dans ce travail on definit une notion d'independance pour les distributions de meyer-watanabe et on montre le theoreme de la limite centrale pour ces distributions. On definit egalement une notion de pseudo-convergence et on donnera une version du theoreme de la limite centrale pour cette classe de distributions. Troisieme partie: formules de stokes et d'ito pour un processus anticipatif a deux parametres a trajectoires non monotones. A l'aide d'une nouvelle classe de distributions sur l'espace de wiener et le calcul stochastique non adapte, nous definissons une integrale de skorohod sur le bord d d'un domaine tres regulier de r#d, puis nous etablissons une formule de stokes-skorohod pour un champ stochastique regulier. Enfin, nous deduisons une formule de green stochastique non adaptee. D'autre part, par la meme classe de distributions, nous demontrons une formule d'ito pour un processus stochastique anticipatif a deux parametres a trajectoires non monotones.
Cette these se compose de trois parties. Premiere partie: fonctions caracteristique des operateurs du fock et analyse differentielle gaussienne. Soit (, h, ) un espace de wiener complexe muni d'une conjugaison: z,hz. Dans ce travail, a l'aide du systeme de weyl defini sur fockh, on definit la fonction caracteristique associee a tout operateur de fockh de trace egale a 1. Ensuite, on montre que l'on peut prolonger cette definition a tout operateur de hilbert-schmidt de fockh et que la correspondance k,l#h#. #s(fockh)k#c,l#2() est une isometrie. Enfin, on applique ceci pour caracteriser les etats quasi-libre representees par une loi quantique. Deuxieme partie: loi des grands nombres et theoreme de la limite centrale pour les distributions sur l'espace de wiener. Dans ce travail on definit une notion d'independance pour les distributions de meyer-watanabe et on montre le theoreme de la limite centrale pour ces distributions. On definit egalement une notion de pseudo-convergence et on donnera une version du theoreme de la limite centrale pour cette classe de distributions. Troisieme partie: formules de stokes et d'ito pour un processus anticipatif a deux parametres a trajectoires non monotones. A l'aide d'une nouvelle classe de distributions sur l'espace de wiener et le calcul stochastique non adapte, nous definissons une integrale de skorohod sur le bord d d'un domaine tres regulier de r#d, puis nous etablissons une formule de stokes-skorohod pour un champ stochastique regulier. Enfin, nous deduisons une formule de green stochastique non adaptee. D'autre part, par la meme classe de distributions, nous demontrons une formule d'ito pour un processus stochastique anticipatif a deux parametres a trajectoires non monotones.
Ce memoire est divise en trois grandes parties. La premiere est consacree essentiellement a l'etude des produits en probabilites quantiques. Nous donnons une classification complete a l'aide du produit universel defini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les differentes categories d'algebres associatives. Ceci nous permet aussi de definir la notion d'independance stochastique non-commutative. En particulier nous demontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booleen. La seconde partie est motivee directement par la premiere. Elle est consacree a l'etude des processus de Levy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept generalise la theorie des processus de Levy sur les algebres de Hopf (groupes quantiques) ou la seule notion d'independance est donnee par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Levy sur un groupe dual est determine par son generateur. Comme application directe, nous donnons une realisation des processus de Levy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booleen). La troisieme partie est consacree au developpement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booleen. En particulier nous introduisons l'integrale stochastique et nous donnons une formule d'Ito quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'equation differentielle stochastique quantique au sens de R. L. Hudson et K. R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes completement positifs.
Ce mémoire est divisé en trois grandes parties. La première est consacrée essentiellement à l'étude des produits en probabilités quantiques. Nous donnons une classification complète à l'aide du produit universel défini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les différentes catégories d'algèbres associatives. Ceci nous permet aussi de définir la notion d'indépendance stochastique non-commutative. En particulier nous démontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booléen. La seconde partie est motivée directement par la première. Elle est consacrée à l'étude des processus de Lévy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept généralise la théorie des processus de Lévy sur les algèbres de Hopf (groupes quantiques) où la seule notion d'indépendance est donnée par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Lévy sur un groupe dual est déterminé par son générateur. Comme application directe, nous donnons une réalisation des processus de Lévy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booléen). La troisième partie est consacrée au développement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booléen. En particulier nous introduisons l'intégrale stochastique et nous donnons une formule d'Itô quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'équation différentielle stochastique quantique au sens de R.L. Hudson et K.R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes complètement positifs.
Depuis sa première définition par Hudson et Parthasarathy en 1984, l'intégration stochastique quantique offre un outil puissant pour la description de certaines évolutions en physique quantique. De nombreuses questions restent ouvertes cependant, en particulier dans le domaine de la représentabilité intégrale des opérateurs. La définition récente par Attal d'une méthode complètement explicite de l'approximation de l'espace de Fock usuel par un analogue discret a justifié l'intérêt d'une bonne connaissance du calcul stochastique quantique à temps discret. Nous définissons rigoureusement un tel calcul stochastique et obtenons une caractérisation des opérateurs admettant des représentations intégrales ou des représentations sous la forme de noyau de Maassen-Meyer, avec des expressions explicites dans les deux cas. Ces résultats nous permettent de préciser complètement le lien entre le calcul à temps discret et le calcul à temps continu et en particulier de montrer que la formule d'Itô quantique de composition des intégrales se déduit rigoureusement de relations de commutation, par exemple des relations de commutation entre matrices de Pauli. Nous appliquons ensuite nos résultats pour obtenir une caractérisation, dans l'espace de Fock usuel, des opérateurs qui sont représentables en intégrales stochastiques quantiques parmi les classes fondamentales que sont les opérateurs de seconde quantification et de seconde quantification différentielle. Enfin, nous utilisons ces techniques pour obtenir des résultats de convergence de solutions d'équations aux différences vers des équations différentielles stochastiques quantiques. Ces résultats nous permettent de montrer qu'une évolution en mécanique quantique obtenue par des interactions répétées est déterminée, à la limite, par une équation de Langevin quantique. Cette équation de Langevin décrit un couplage entre un ``petit système'' et un ``réservoir'', ce réservoir et les coefficients de l'équation se déduisant explicitement de l'interaction que l'on répète. Ces résultats permettent en particulier d'obtenir une description rigoureuse des mesures en continu et des approximations de ``coarse graining'' en optique quantique.
Desirant etablir une theorie mathematique qui contienne le cas usuel (commutatif) et le cas bosonique (des relations canoniques de commutation) on travaille sur l'algebre des polynomes sur un espace de hilbert alterne w dont on deforme le produit en fonction d'un parametre positif h qui vaut 0 pour le cas usuel et 1 pour le cas bosonique. On appelle algebre de heisenberg et on note hb l'algebre obtenue ; on la munit d'une topologie d'algebre a involution et on complete, ce qui nous permet de travailler avec des exponentielles. En particulier l'algebre a involution v des exponentielles unitaires est dans ce complete, et on peut y definir des etats par leur transformee de fourier (par un theoreme generalisant celui de bochner), et meme par leur transformee de laplace. On generalise aussi quelques resultats grace a l'application symbole (chapitre 1). On utilise essentiellement la generalisation e de l'etat gaussien centre de variance un reel positif quelconque, et on note l2(hb) le complete de hb pour le produit scalaire defini par e. V est dans l'algebre des operateurs bornes de l2(hb) et on note m sa fermeture faible. E definit un produit scalaire sur m et on a l2(hb) = l2(m) ; de plus, dans le cas h = 1, m est l'algebre de von neumann sur laquelle sont generalement obtenus les resultats concernant le cas bosonique ; on peut ainsi utiliser les esperances conditionnelles et l'integration stochastique definies par barnett, streater et wilde, qui se generalisent a tout h positif. D'autre part, on peut relever dans hb tout element w de wd (la somme de d copies de w) par tout polynome usuel de dimension 2d. Ceci nous permet de generaliser la propriete de markov, puis d'etudier les processus de bessel et les diffusions gaussiennes non commutatifs, ainsi que les semi-groupes associes (chapitre 2). On conclut par la generalisation de la formule de ito et par des exemples d'application, comme la resolution de certaines equations differentielles (stochastiques ou non) (chapitre 3).
Dans l'optique de la mecanique stochastique, une formulation probabiliste de la mecanique quantique dans l'espace des phases est proposee. Notre approche utilise la fonction de wigner qui offre, dans un cadre general, une description d'un systeme quantique dans l'espace des phases. Alors que la mecanique stochastique ne considere que les etats purs du systeme, les proprietes de la fonction introduite par wigner nous permettent de traiter les etats de melange aussi bien que les etats purs. Apres avoir precise, en premiere partie, les proprietes essentielles de cette fonction et rappele son lien avec les operateurs de weyl, nous donnons dans une deuxieme partie une analyse heuristique de la mecanique quantique en terme de fluide. L'interpretation habituelle de la fonction de wigner comme etant une densite dans l'espace des phases, nous amene a considerer le cas d'un systeme soumis a l'action d'une force derivant d'un potentiel qui est la transformee de fourier d'une mesure bornee. Nous montrons que l'on peut alors envisager la fonction de wigner comme une difference de deux fonctions positives telles qu'a chacune de ces fonctions soit associe un processus de markov. Notre conception de fluide quantique consiste a interpreter ces deux fonctions comme etant les densites d'un fluide compose de deux types de particules differents mais dans lequel seule la difference de ces densites est observee. L'evolution de chaque type de particule est alors donnee par le processus de markov associe. Dans le cas particulier ou l'espace de hilbert du systeme est de dimension finie, une telle construction de processus peut alors rigoureusement etre effectuee. Cette etude est realisee dans une troisieme partie ou la dimension n de l'espace de hilbert est supposee impaire. La raison d'un tel choix est due au fait que le groupe des residus modulo n, que nous utilisons, possede dans ce cas une racine carree. Nous construisons, en premier lieu, une theorie des operateurs de weyl et des fonctions de wigner discretises. En augmentant l'espace des phases discretise d'une variable dichotomique egale a +1 ou -1, nous prouvons l'existence d'un processus de markov evoluant dans cet espace, tel que la fonction de wigner soit egale a la valeur moyenne partielle de cette variable dichotomique. Dans un article ecrit en collaboration avec p. Combe, m. Sirugue et m. Sirugue-collin, nous montcrons que ce formalisme peut etre applique a l'etude d'un spin entier. Enfin, en appendice, nous donnons les proprietes des processus de markov qui sont utiles a notre expose
Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.