Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.
Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.
Tenseurs aléatoires et modèle de Sachdev-Ye-Kitaev Dans cette thèse nous traitons de différents aspects des tenseurs aléatoires. Dans la première partie de la thèse, nous étudions la formulation des tenseurs aléatoires en termes de théorie quantique des champs nommée théorie de champs tensoriels (TFT). En particulier nous déterminons les équations de Schwinger-Dyson pour une TFT de tenseurs de rang arbitraire, munie d'un terme d'intéraction quartic melonique U(N)-invariant.Les fonctions de corrélations sont classifiées par des graphes de bords et nous utilisons l'identité de Ward-Takashi pour déterminer le système complet d'équations de Schwinger-Dyson, exactes et analytiques, vérifiées par les fonctions de corrélations avec un graphe de bord connexe.Nous analysons ensuite la limite de grand N des équations de Schwinger-Dyson à rang 3 et trouvons les facteurs appropriés en puissance de N des différents termes de l'action. Cela nous permet de résoudre les équations de Schwinger-Dyson pour la fonction à 2-points d'une TFT avec seulement une intéraction quartique mélonique, dont la solution est basée sur la fonction W de Lambert, en utilisant une expansion perturbative et la resommation de Lagrange-Bürmann. Les fonctions de corrélation à plus haut nombre de points s'obtiennent récursivement.Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons au modèle de Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) qui est très similaires aux modèles de tenseurs. Il s'agit d'un modèle composé de N fermions qui intéragissent q à la fois et dont le couplage est un tensor moyenné selon une distribution Gaussienne. Nous étudions les effets du moyennage des couplages aléatoires selon une distributions non-Gaussienne dans une version complexe du modèle SYK. En utilisant une équation de type Polchinski et l'universalité de tenseurs aléatoires Gaussiens, nous montrons que le moyennage selon une distribution non-Gaussienne correspond à l'ordre dominant en N à un moyennage Gaussien avec une variance modifiée. Nous déterminons ensuite la forme de l'action effective à tout ordre et réalisons un calcul explicite de la modification de la variance dans le cas d'une perturbation quartique.Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions une application des tenseurs aléatoires à l'étude des systèmes non-linéaire résonants. Nous nous focalisons sur un modèle typique, similaire au modèle SYK bosonique, dont le couplage tensoriel entre les modes est moyenné selon une distribution Gaussienne, ainsi que les conditions initiales. Dans la limite o`u la configuration initiale possède un grand nombre de modes excités, nous calculons la variance de normes de Sobolev qui caractérisent la représentativité du modèle moyenné pour cette classe de systèmes résonants.
L'approche du groupe de renormalisation tensoriel à la renormalisation des modèles sur réseau Le groupe de renormalisation tensoriel, initialement concu comme un outil numerique, emerge comme un cadre analytique rigoureux pour l'etude des modeles sur reseau en physique statistique. Cette these contribue a cette ligne de recherche en introduisant une serie de nouvelles techniques qui ameliorent le controle a la fois numerique et analytique sur les transformations RG. Premierement, nous developpons une methode pour trouver les points fixes des transformations RG en utilisant la methode de Newton. Cela necessite de surmonter le defi des deformations marginales qui rendent le point fixe non isole et donc inaccessible a la methode de Newton. Nous relevons ce defi en incluant une rotation dans la transformation RG, qui inverse le signe des valeurs propres marginales problematiques et isole un point fixe unique de la famille de points fixes auparavant continue. Cela nous permet de trouver des tenseurs de point fixe avec une precision sans precedent. Nous demontrons la puissance de cette technique via des calculs explicites pour les modeles d'Ising 2D et de Potts a 3 etats dans le regime critique. En utilisant l'algorithme Gilt-TNR avec une dimension de lien de 30, nous trouvons les tenseurs de point fixe critique avec une precision de 1e-9, significativement superieure a ce qui avait ete accompli auparavant. Deuxiemement, nous etudions la sensibilite des donnees CFT obtenues a partir du tenseur de point fixe a la precision du point fixe. Pour deux methodes d'extraction des donnees CFT - la matrice de transfert et la methode de l'operateur de dilatation sur reseau - nous trouvons que l'erreur dans les dimensions d'echelle des operateurs de basse energie est notablement reduite lorsque le point fixe est trouve avec une plus grande precision. L'operateur de dilatation sur reseau montre une sensibilite legerement plus grande dans cette etude.Troisiemement, nous introduisons une nouvelle transformation de renormalisation sans troncature - la transformation 2x1 - ainsi qu'une nouvelle approche pour suivre les flots RG dans des espaces de dimension infinie, que nous appelons tenseurs-chapeaux. Le principal avantage de la transformation 2x1 est sa simplicite : elle peut etre exprimee a l'aide d'un nombre relativement restreint de diagrammes. L'approche des tenseurs-chapeaux consiste a definir une boite englobante de dimension finie pour chaque tenseur et a promouvoir une transformation RG en une fonction maitresse qui regit le flot RG des boites englobantes en suivant des regles de promotion simples. En iterant la fonction maitresse numeriquement, nous etablissons la convergence vers le point fixe a haute temperature pour les tenseurs se trouvant dans un voisinage quantifiable, une amelioration substantielle par rapport aux resultats anterieurs sur la stabilite a haute temperature. Notre theoreme principal montre que les tenseurs avec des ecarts bornes par 0.02 dans 63 secteurs orthogonaux convergent vers le point fixe. Nous appliquons egalement la methode a des modeles specifiques - les modeles d'Ising 2D et XY - en obtenant des bornes explicites sur leur phase a haute temperature.Enfin, nous faisons un pas vers un RG tensoriel rigoureux dans des dimensions superieures. Nous presentons une nouvelle transformation RG sans troncature pour les reseaux de tenseurs 3D dans un voisinage du point fixe a haute temperature, dont les iterations convergent de maniere prouvable vers celui-ci. Notamment, la construction fournit une version rigoureuse de l'algorithme Loop-TNR, s'ecartant des constructions 2D anterieures qui s'inspiraient de l'algorithme TNR. Cela represente une avancee significative, car les techniques anterieures ne se generalisent pas a la 3D.
Nous nous intéressons dans cette thèse à certains modèles mathématiques permettant une description de systèmes ouverts classiques et quantiques. Dans l'étude de ces systèmes en interaction avec un environnement, nous montrons que la dynamique induite par l'environnement sur le système donne lieu à l'apparition de bruits. Dans une première partie de la thèse, dédiée aux systèmes classiques, le modèle décrit est le schéma d'interactions répétées. Etant à la fois hamiltonien et markovien, ce modèle en temps discret permet d'implémenter facilement la dissipation dans des systèmes physiques. Nous expliquons comment le mettre en place pour des systèmes physiques avant d'en étudier la limite en temps continu. Nous montrons la convergence Lp et presque sûre de l'évolution de certains systèmes vers la solution d'une équation différentielle stochastique, à travers l'étude de la limite de la perturbation d'un schéma d'Euler stochastique. Dans une seconde partie de la thèse sur les systèmes quantiques, nous nous intéressons dans un premier temps aux actions d'environnements quantiques sur des systèmes quantiques aboutissant à des bruits classiques. A cette fin, nous introduisons certains opérateurs unitaires appelés « classiques », que nous caractérisons à l'aide de variables aléatoires dites obtuses. Nous mettons en valeur comment ces variables classiques apparaissent naturellement dans ce cadre quantique à travers des 3-tenseurs possédant des symétries particulières. Nous prouvons notamment que ces 3-tenseurs sont exactement ceux diagonalisables dans une base orthonormée. Dans un second temps, nous étudions la limite en temps continu d'une variante des interactions répétées quantiques dans le cas particulier d'un système biparti, c'est-à-dire composé de deux systèmes isolés sans interaction entre eux. Nous montrons qu'à la limite du temps continu, une interaction entre ces sous-systèmes apparaît explicitement sous forme d'un hamiltonien d'interaction; cette interaction résulte de l'action de l'environnement et de l'intrication qu'il crée
Nous nous intéressons dans cette thèse à certains modèles mathématiques permettant une description de systèmes ouverts classiques et quantiques. Dans l'étude de ces systèmes en interaction avec un environnement, nous montrons que la dynamique induite par l'environnement sur le système donne lieu à l'apparition de bruits. Dans une première partie de la thèse, dédiée aux systèmes classiques, le modèle décrit est le schéma d'interactions répétées. Etant à la fois hamiltonien et markovien, ce modèle en temps discret permet d'implémenter facilement la dissipation dans des systèmes physiques. Nous expliquons comment le mettre en place pour des systèmes physiques avant d'en étudier la limite en temps continu. Nous montrons la convergence Lp et presque sûre de l'évolution de certains systèmes vers la solution d'une équation différentielle stochastique, à travers l'étude de la limite de la perturbation d'un schéma d'Euler stochastique. Dans une seconde partie de la thèse sur les systèmes quantiques, nous nous intéressons dans un premier temps aux actions d'environnements quantiques sur des systèmes quantiques aboutissant à des bruits classiques. A cette fin, nous introduisons certains opérateurs unitaires appelés « classiques », que nous caractérisons à l'aide de variables aléatoires dites obtuses. Nous mettons en valeur comment ces variables classiques apparaissent naturellement dans ce cadre quantique à travers des 3-tenseurs possédant des symétries particulières. Nous prouvons notamment que ces 3-tenseurs sont exactement ceux diagonalisables dans une base orthonormée. Dans un second temps, nous étudions la limite en temps continu d'une variante des interactions répétées quantiques dans le cas particulier d'un système biparti, c'est-à-dire composé de deux systèmes isolés sans interaction entre eux. Nous montrons qu'à la limite du temps continu, une interaction entre ces sous-systèmes apparaît explicitement sous forme d'un hamiltonien d'interaction; cette interaction résulte de l'action de l'environnement et de l'intrication qu'il crée
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
Cette thèse se trouve à l'intersection de la théorie des matrices aléatoires, des probabilités libres et de la théorie de l'information quantique. La plus grande partie des travaux présentés se concentrent sur les aspects probabilistes de l'information quantique et, en particulier, sur l'usage des matrices aléatoires dans différents modèles en théorie quantique. Une autre partie de cette thèse est dédiée à la théorie des probabilités libres et à ses liens avec les matrices aléatoires et l'information quantique. En théorie quantique de l'information, il existe différents modèles de matrices densités aléatoires. On s'intéresse, dans l'esprit de la théorie des matrices aléatoires, au comportement asymptotique des matrices densités, dans la limite où la taille du système converge vers l'infini. Le point de vue pris dans cette thèse est celui des systèmes quantiques ouverts, où l'espace qui nous intéresse est couplé avec l'environnement et le système composé se trouve dans un état pur uniforme. En prenant la trace partielle sur l'environnement, on obtient des matrices densités aléatoires que l'on étudie dans deux régimes asymptotiques. En exploitant des liens avec l'ensemble des matrices aléatoires dites de Wishart, on obtient les densités spectrales limites et les fluctuations des valeurs propres extrémales. En collaboration avec Clément Pellegrini, on étudie des interactions répétées entre un système quantique et une chaîne de systèmes auxiliaires. Nous avons introduit des éléments aléatoires dans ce modèle, soit en considérant que les états de la chaîne sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, soit en choisissant, à chaque interaction, une matrice unitaire d'interaction aléatoire uniforme. On s'intéresse aux propriétés asymptotiques des matrices, après un grand nombre d'interactions. Au passage, on introduit un nouveau modèle de matrices densités aléatoires que l'on compare avec les modèles existants dans la littérature. Un problème qui occupe une place centrale dans cette thèse est la conjecture de Nielsen sur la catalyse en théorie quantique de l'information. En collaboration avec Guillaume Aubrun, nous avons progressé vers la preuve de cette conjecture et nous l'avons par la suite généralisée dans différentes directions. L'outil principal utilisé dans ces travaux nous vient de la théorie des probabilités : la théorie des grandes déviations nous permet de comparer stochastiquement des puissances de convolution des mesures de probabilités. Les techniques introduites et le lien avec la théorie des grandes déviations nous ont permis de voir ce problème sous un autre angle et de donner aux théoriciens de l'information quantique un outil de travail puissant. Enfin, toujours en lien avec les matrices aléatoires, cette thèse a donné lieu à deux travaux en probabilités libres. Les ensembles de matrices aléatoires sont des exemples importants et simples où l'on peut observer l'indépendance libre; il est donc naturel de se demander s'il est possible d'obtenir la notion de liberté avec des matrices déterministes. Une telle construction a été proposée par Philippe Biane, en utilisant des sommes de transpositions dans l'algèbre du groupe symétrique. Avec Florent Benaych-Georges, on a pu généraliser les résultats de P. Biane à des cycles quelconques. Notre approche est combinatoire ce qui nous a permis d'aboutir à des formules explicites pour les moments et les cumulants libres des variables à la limite. Grâce à cette même approche nous avons élaboré un modèle analogue en probabilités classiques en remplaçant le groupe symétrique par le groupe abélien des parties d'un ensemble fini, muni de l'opération de différence symétrique. En collaboration avec Stéphane Attal, nous avons construit une approximation de l'espace de Fock libre (qui joue un rôle central en théorie des probabilités non-commutatives) par un produit libre dénombrable d'espaces discrets. Cette idée généralise au cas libre une construction similaire pour l'espace de Fock symétrique, introduite et étudié par S. Attal. En même temps nous avons obtenu une approximation des opérateurs fondamentaux de création, d'annihilation et de jauge par des opérateurs construits à partir des matrices de taille 2. En utilisant ces constructions sont ensuite utilisées pour retrouver quelques approximations connues du mouvement brownien libre et du processus de Poisson libre. Tous ces résultats se généralisent au cas des espaces de Fock de multiplicité supérieure, qui permettent d'approcher des processus multidimensionnels. En conclusion, l'ensemble des travaux scientifiques présentés dans cette thèse se situe à l'intersection de trois grandes directions: les matrices aléatoires, les probabilités libres et la théorie quantique de l'information, l'accent étant mis sur les interactions et sur les liens entre ces domaines.