Μελετάμε το κβαντικό ανάλογο του κρυπτογραφικού προβλήματος της δίκαιης ανταλλαγής. Σε μία δίκαιη ανταλλαγή θέλουμε να εξασφαλίσουμε ότι δύο πρόσωπα είτε θα ανταλλάξουν τα μυστικά τους, είτε κανείς από τους δύο δε θα μάθει το μυστικό του άλλου. Πιο συγκεκριμένα τα δύο αυτά πρόσωπα, έστω η Αλίκη και ο Βασίλης (Α και Β), αλληλεπιδρούν μεταξύ τους τρέχοντας ένα πρωτόκολλο δίκαιης ανταλλαγής. Απαιτούμε δύο βασικές ιδιότητες: Ορθότητα: Όταν και οι δύο παίκτες παίζουν τίμια (ακολουθούν το πρωτόκολλο) τότε στο τέλος μαθαίνουν και οι δύο το μυστικό. Πληρότητα: Όταν ένας από τους δύο παίκτες (έστω η Αλίκη) αποκλίνει αυθαίρετα από το πρωτόκολλο (δηλαδή κλέβει με οποιοδήποτε τρόπο), τότε είτε θα πρέπει και οι δύο να μάθουν το μυστικό, είτε να μην το μάθει κανείς. Με άλλα λόγια, ακόμη κι αν κλέβει η Αλίκη, να μη βρεθεί σε μειονεκτική θέση ο Βασίλης. Προτείνουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τη λύση του προβλήματος. Στην πρώτη προσέγγιση, δίνουμε έναν παραπλήσιο ορισμό, αυτόν της ταυτόχρονης ανταλλαγής. Σε ένα τέτοιο πρωτόκολλο, απαιτούμε το εξής: σε κάθε στιγμή του πρωτοκόλλου, η πιθανότητα η Αλίκη να μαντέψει το μυστικό του Βασίλη είναι σχεδόν ίδια με την πιθανότητα ο Βασίλης να μαντέψει το μυστικό της Αλίκης. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εξασφαλίσουμε ασφάλεια από πληροφοριοθεωρητικής σκοπιάς: κατασκευάζουμε κβαντικό πρωτόκολλο τέτοιο ώστε ακόμα και ένας υπολογιστικά παντοδύναμος παίχτης να μην μπορεί να το παραβιάσει. Τονίζουμε ότι με τις κλασσικές μεθόδους είναι αδύνατο να επιτύχουμε απόλυτη ασφάλεια. Στη δεύτερη προσέγγιση χρησιμοποιούμε έναν αρκετά διαφορετικό ορισμό, αυτόν του Coin Ripping. Εδώ, η Αλίκη θέλει να ανταλλάξει χρήματα με κάποιο προϊόν. Χρησιμοποιώντας κάποια πρόσφατα αποτελέσματα όπως ασφαλή κβαντικά νομίσματα δημοσίου κλειδιού και αποδείξεις μηδενικής γνώσης ασφαλείς ενάντια σε κβαντικούς αντιπάλους δημιουργούμε ένα πρωτόκολλο τέτοιο ώστε: Αν η Αλίκη κλέψει τότε το καλύτερο που μπορεί να πετύχει είναι να πάρει το προϊόν και να αποτρέψει τον Βασίλη από το να πληρωθεί, αλλά η ίδια θα το χάσει το χαρτονόμισμά της. Αν ο Βασίλης κλέψει τότε το καλύτερο που μπορεί να πετύχει είναι να αναγκάσει την Αλίκη να χάσει το χαρτονόμισμά της, αλλά ο ίδιος δε θα το αποκτήσει. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει στρατηγική που να τους ευνοήσει αλλά υπάρχει στρατηγική που μπορεί να βλάψει τον αντίπαλο. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εξασφαλίσουμε υπολογιστική ασφάλεια: ένας πολυωνυμικά φραγμένος κβαντικός αντίπαλος έχει αμελητέα πιθανότητα να το παραβιάσει. Τονίζουμε ότι με τις κλασσικές μεθόδους δεν μπορούμε να επιτύχουμε κάτι τέτοιο καθώς δεν υπάρχει σχήμα που να εξασφαλίζει την δημόσια επαλήθευση ενός νομίσματος (είναι απαραίτητη η χρήση κάποια έμπιστης αρχής που θα μπορεί να επαληθεύσει τη γνησιότητα των νομισμάτων).
Μελετάμε το κβαντικό ανάλογο του κρυπτογραφικού προβλήματος της δίκαιης ανταλλαγής. Σε μία δίκαιη ανταλλαγή θέλουμε να εξασφαλίσουμε ότι δύο πρόσωπα είτε θα ανταλλάξουν τα μυστικά τους, είτε κανείς από τους δύο δε θα μάθει το μυστικό του άλλου. Πιο συγκεκριμένα τα δύο αυτά πρόσωπα, έστω η Αλίκη και ο Βασίλης (Α και Β), αλληλεπιδρούν μεταξύ τους τρέχοντας ένα πρωτόκολλο δίκαιης ανταλλαγής. Απαιτούμε δύο βασικές ιδιότητες: Ορθότητα: Όταν και οι δύο παίκτες παίζουν τίμια (ακολουθούν το πρωτόκολλο) τότε στο τέλος μαθαίνουν και οι δύο το μυστικό. Πληρότητα: Όταν ένας από τους δύο παίκτες (έστω η Αλίκη) αποκλίνει αυθαίρετα από το πρωτόκολλο (δηλαδή κλέβει με οποιοδήποτε τρόπο), τότε είτε θα πρέπει και οι δύο να μάθουν το μυστικό, είτε να μην το μάθει κανείς. Με άλλα λόγια, ακόμη κι αν κλέβει η Αλίκη, να μη βρεθεί σε μειονεκτική θέση ο Βασίλης. Προτείνουμε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τη λύση του προβλήματος. Στην πρώτη προσέγγιση, δίνουμε έναν παραπλήσιο ορισμό, αυτόν της ταυτόχρονης ανταλλαγής. Σε ένα τέτοιο πρωτόκολλο, απαιτούμε το εξής: σε κάθε στιγμή του πρωτοκόλλου, η πιθανότητα η Αλίκη να μαντέψει το μυστικό του Βασίλη είναι σχεδόν ίδια με την πιθανότητα ο Βασίλης να μαντέψει το μυστικό της Αλίκης. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εξασφαλίσουμε ασφάλεια από πληροφοριοθεωρητικής σκοπιάς: κατασκευάζουμε κβαντικό πρωτόκολλο τέτοιο ώστε ακόμα και ένας υπολογιστικά παντοδύναμος παίχτης να μην μπορεί να το παραβιάσει. Τονίζουμε ότι με τις κλασσικές μεθόδους είναι αδύνατο να επιτύχουμε απόλυτη ασφάλεια. Στη δεύτερη προσέγγιση χρησιμοποιούμε έναν αρκετά διαφορετικό ορισμό, αυτόν του Coin Ripping. Εδώ, η Αλίκη θέλει να ανταλλάξει χρήματα με κάποιο προϊόν. Χρησιμοποιώντας κάποια πρόσφατα αποτελέσματα όπως ασφαλή κβαντικά νομίσματα δημοσίου κλειδιού και αποδείξεις μηδενικής γνώσης ασφαλείς ενάντια σε κβαντικούς αντιπάλους δημιουργούμε ένα πρωτόκολλο τέτοιο ώστε: Αν η Αλίκη κλέψει τότε το καλύτερο που μπορεί να πετύχει είναι να πάρει το προϊόν και να αποτρέψει τον Βασίλη από το να πληρωθεί, αλλά η ίδια θα το χάσει το χαρτονόμισμά της. Αν ο Βασίλης κλέψει τότε το καλύτερο που μπορεί να πετύχει είναι να αναγκάσει την Αλίκη να χάσει το χαρτονόμισμά της, αλλά ο ίδιος δε θα το αποκτήσει. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει στρατηγική που να τους ευνοήσει αλλά υπάρχει στρατηγική που μπορεί να βλάψει τον αντίπαλο. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να εξασφαλίσουμε υπολογιστική ασφάλεια: ένας πολυωνυμικά φραγμένος κβαντικός αντίπαλος έχει αμελητέα πιθανότητα να το παραβιάσει. Τονίζουμε ότι με τις κλασσικές μεθόδους δεν μπορούμε να επιτύχουμε κάτι τέτοιο καθώς δεν υπάρχει σχήμα που να εξασφαλίζει την δημόσια επαλήθευση ενός νομίσματος (είναι απαραίτητη η χρήση κάποια έμπιστης αρχής που θα μπορεί να επαληθεύσει τη γνησιότητα των νομισμάτων).
Η σύγχρονη κβαντική επιστήμη και τεχνολογία υπόσχονται στο εγγύς μέλλον την ανάπτυξη συσκευών ικανών να φέρουν επανάσταση σε τομείς όπως η πληροφορική, οι επικοινωνίες, οι αισθητήρες και η αποθήκευση ενέργειας, αξιοποιώντας τις αρχές της κβαντομηχανικής. Στην καρδιά αυτών των εξωτικών εφαρμογών βρίσκεται το πρόβλημα της αποτελεσματικής προετοιμασίας των κβαντικών καταστάσεων. Αυτή η διατριβή αξιοποιεί προηγμένες μεθόδους από τον κβαντικό βέλτιστο έλεγχο για να αντιμετωπίσει βασικές προκλήσεις στην προετοιμασία κβαντικών καταστάσεων, δίνοντας έμφαση στην αναδυόμενη εφαρμογή της κβαντικής αποθήκευσης ενέργειας, προχωρώντας από απλούστερα συστήματα σε συστήματα υψηλότερης πολυπλοκότητας. Ξεκινάμε λύνοντας το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου ελάχιστου χρόνου για τη δημιουργία μιας ομοιόμορφης υπέρθεσης σε ένα κβαντικό σύστημα δύο επιπέδων, μια κατάσταση που χρησιμοποιείται εκτενώς στον αλγόριθμο κβαντικής αναζήτησης του Grover, χρησιμοποιώντας μόνο ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου περιορισμένου πλάτους. Εξάγουμε αυστηρά βέλτιστες ακολουθίες παλμών τύπου bang-bang για όλους τους λόγους μέγιστου πλάτους ελέγχου και σταθεράς αποσυντονισμού του κβαντικού ψηφίου. Στη συνέχεια, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα της αποτελεσματικής μεταφοράς πληθυσμού σε ένα ατομικό σύστημα τριών επιπέδων τύπου Λ με απώλειες, το οποίο είναι σημαντικό για την κβαντική ανίχνευση. Απεικονίζουμε αυτό το πρόβλημα στο απλούστερο πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου ενός κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, το οποίο μπορεί να λυθεί αναλυτικά, και στη συνέχεια επιβεβαιώνουμε αριθμητικά ότι αυτή η λύση μπορεί να επιτύχει σχεδόν βέλτιστη μεταφορά πληθυσμού στο αρχικό κβαντικό σύστημα, προσεγγίζοντας τη βέλτιστη απόδοση για μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες. Ακολούθως, στρέφουμε την προσοχή μας στο πρόβλημα της ταχείας φόρτισης κβαντικών μπαταριών, συσκευών που εκμεταλλεύονται τις αρχές της κβαντομηχανικής για την αποθήκευση ενέργειας, αποτελούμενες από συζευγμένα σπιν με αλληλεπίδραση Ising μεταξύ των πλησιέστερων γειτόνων. Μελετάμε δύο κβαντικές μπαταρίες, ένα ζεύγος σπιν και μια αλυσίδα τριών σπιν, στο συνηθισμένο πειραματικό πλαίσιο του πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού με σταθερό διαμήκες πεδίο και εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με χρονικά εξαρτώμενο πλάτος και φάση. Και για τα δύο συστήματα αναδεικνύουμε τον κρίσιμο ρόλο που παίζει ο λόγος της σύζευξης Ising προς το σταθερό διαμήκες πεδίο στον προσδιορισμό της αρχικής θεμελιώδους κατάστασης και της βέλτιστης διαδικασίας φόρτισης. Για ένα εγκάρσιο πεδίο ελέγχου με φέρουσα συχνότητα που επιλέγεται για να φέρει σε συντονισμό την αρχική κατάσταση με την κατάσταση-στόχο της υψηλότερης ενέργειας, όπου όλα τα σπιν βρίσκονται στην άνω κατάσταση, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Στην περίπτωση ασθενούς σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι αυτή με όλα τα σπιν κάτω, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου είναι σταθερά ίσο με τη μέγιστη επιτρεπτή τιμή καθ' όλη τη διάρκεια και η φάση διαμορφώνεται κατάλληλα με τον χρόνο, ενώ η διάρκεια πλήρους φόρτισης τείνει προς το μηδέν καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους. Στην περίπτωση ισχυρής σύζευξης, όπου η αρχική θεμελιώδης κατάσταση είναι μια κατάσταση Bell για το ζεύγος σπιν και η κατάσταση Dicke |W> μίας διέγερσης για την αλυσίδα με τα τρία σπιν, το βέλτιστο πλάτος ελέγχου μπορεί να περιέχει ιδιάζοντα διαστήματα κατά τα οποία μηδενίζεται, οπότε και η φάση του πεδίου σε αυτά δεν παίζει ρόλο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο χρόνος πλήρους φόρτισης φαίνεται να τείνει σε μια μη μηδενική τιμή καθώς αυξάνεται το άνω όριο του πλάτους ελέγχου. Συνολικά, τα αποτελέσματα που προέκυψαν από αυτή τη διατριβή ενοποιούν τις θεωρητικές γνώσεις από τον βέλτιστο έλεγχο με σημαντικές εφαρμογές στις κβαντικές τεχνολογίες.
Στις επικοινωνίες ανάμεσα σε ανοιχτά συστήματα υπάρχουν τέσσερις κύριες κατηγορίες απειλών: Μη εξουσιοδοτημένη απόκτηση της πληροφορίας, Μη εξουσιοδοτημένη τροποποίηση της πληροφορίας, Πλαστοπροσωπία χρήστη, Αποκήρυξη της επικοινωνίας. Ο βασικός μηχανισμός για την παροχή ασφάλειας με τα χαρακτηριστικά που περιγράφηκαν πιο πάνω είναι η κρυπτογραφία. Οι συμμετρικοί αλγόριθμοι κρυπτογραφίας είναι πολύ ασφαλείς, γρήγοροι και έχουν διαδεδομένη χρήση. Ωστόσο, υπάρχουν διάφορες ελλείψεις που σχετίζονται με σχήματα συμμετρικού κλειδιού, όπως το πρόβλημα της διανομής κλειδιού, το μεγάλο πλήθος των κλειδιών που απαιτούνται και επίσης δεν παρέχουν καμία προστασία ενάντια σε επιθέσεις της επικοινωνίας. Τα παραπάνω προβλήματα λύνονται με τη χρήση ασύμμετρων αλγορίθμων ή αλλιώς δημοσίου κλειδιού σε καλά σχεδιασμένα πρωτόκολλα ασφάλειας και ανταλλαγής κλειδιού. Υπάρχουν τρεις κυρίαρχες οικογένειες αλγορίθμων δημοσίου κλειδιού οι οποίες έχουν πρακτικό αντίκρισμα. Μπορούν να ταξινομηθούν με βάση το υπολογιστικό πρόβλημα που τις χαρακτηρίζουν: Συστήματα παραγοντοποίησης ακεραίου, Συστήματα διακριτού λογαρίθμου, Συστήματα ελλειπτικών καμπυλών. Κάθε μία από αυτές τις τρεις οικογένειες μπορούν να παρέχουν τους βασικούς μηχανισμούς δημοσίου κλειδιού, όπως της εγκαθίδρυσης κλειδιού, της μη αποποίησης μέσω ψηφιακών υπογραφών και της κρυπτογράφησης δεδομένων. Ο RSA ανήκει στη κατηγορία των κρυπτογραφικών συστημάτων παραγοντοποίησης ακεραίου και είναι κατάλληλος για κρυπτογράφηση/αποκρυπτογράφηση δεδομένων, για την δημιουργία ψηφιακών υπογραφών και την επαλήθευσή τους καθώς και για την ασφαλή μεταφορά κλειδιών. Ο αλγόριθμος Diffie-Hellman Key Exchange (DHKE) ανήκει στη κατηγορία των κρυπτογραφικών συστημάτων διακριτού λογαρίθμου και αποτελεί μία εντυπωσιακή εφαρμογή του προβλήματος του διακριτού λογαρίθμου. Η θεμελιώδης αυτή τεχνική συμφωνίας κλειδιού υλοποιείται σε πολλά ανοιχτά και εμπορικά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα όπως, στο SSH (Secure Shell) και στο IPsec (Internet Protocol Security). Στη τρίτη κατηγορία ανήκει το Elliptic Curve Diffie-Hellman ECDH το οποίο βρίσκεται σε πλήρη αναλογία με τον παραδοσιακό DHKE που αναφέραμε προηγουμένως, μόνο που εδώ πραγματοποιείται ανταλλαγή κλειδιού χρησιμοποιώντας ελλειπτικές καμπύλες. Κάποια από τα πιο γνωστά πρωτόκολλα ασφάλειας πρωτοκόλλων που χρησιμοποιούνται σήμερα κατά κόρον και χρησιμοποιούν ανταλλαγή και εγκαθίδρυση κλειδιού είναι το IPSec σε συνδυασμό με το IKE και το SSL. Ο βασικός στόχος οποιουδήποτε πρωτοκόλλου εγκαθίδρυσης επικυρωμένου κλειδιού είναι να διανέμει δεδομένα κλειδιού με ασφαλή τρόπο χρησιμοποιώντας πρωτόκολλα με έμμεση πιστοποίηση κλειδιού, με ρητή επιβεβαίωση κλειδιού κ.α. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής και με σκοπό τη πρακτική μελέτη κάποιων από των πιο διαδεδομένων πρωτοκόλλων κρυπτογράφησης που παρουσιάστηκε και αναλύθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, αναπτύχθηκε μια εφαρμογή σε Java SE. Χρησιμοποιήθηκαν κυρίως το πλαίσιο ανάπτυξης Java Cryptography Architecture (JCA), το περιβάλλον ανάπτυξης λογισμικού netbeans, καθώς και κρυπτογραφικές βιβλιοθήκες JCE provider, και τη συλλογή Bouncy Castle.
H διπλωματική εργασία αποτελεί μια βιβλιογραφική ανασκόπηση της θεωρίας και των εφαρμογών στην περιοχή της Κρυπτογραφίας Πλεγμάτων (Lattice Cryptography). Ένας μακροπρόθεσμος στόχος στην Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού, για τη μετάβαση από τις υφιστάμενες και δοκιμασμένες μεθόδους σε προτάσεις για τις μελλοντικές γενιές επεξεργαστών (quantum-safe cryptography), είναι η αντικατάσταση των πρωταρχικών δομικών κρυπτογραφικών στοιχείων (cryptographic primitives). Προϋπόθεση για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι η εύρεση εναλλακτικών οι οποίες στηρίζονται σε μαθηματικό υπόβαθρο (provable security) και επιπλέον ικανοποιούν τις τεχνικές απαιτήσεις για πρακτική ασφάλεια (security levels) και αποδοτική υλοποίηση (efficiency properties). H Κρυπτογραφία Πλεγμάτων έχει αναδειχθεί τις τελευταίες δεκαετίες σε μια ερευνητική περιοχή που συγκεντρώνει μεγάλο ενδιαφέρον τόσο για τον πλούτο των θεωρητικών κατασκευών όσο και για τις πιο πρόσφατες επιτυχίες στις προτάσεις υλοποίησης αποδοτικών αλγορίθμων. Στο Κεφάλαιο 1 δίνεται η μαθηματική περιγραφή και οι βασικοί αλγόριθμοι για τα υπολογιστικά προβλήματα πλεγμάτων που αξιοποιούνται στην κρυπτογραφία. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται οι τεχνικές κατασκευής πρωταρχικών κρυπτογραφικών στοιχείων οι οποίες βασίζονται στα προβλήματα Learning With Errors (LWE) και Short Integer Solution (SIS) με αναγωγή σε προβλήματα πλεγμάτων. Καταγράφονται, επίσης, τα κλασικά συστήματα κρυπτογράφησης και ψηφιακών υπογραφών τα οποία έχουν μελετηθεί στον ακαδημαϊκό χώρο. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται αναφορά στις πρόσφατες προσπάθειες προτυποποίησης και σε ορισμένα σύγχρονα κρυπτογραφικά σχήματα που έχουν υλοποιηθεί. Το μεγάλο εύρος στο ακαδημαϊκό πεδίο της έρευνας καθιστά δύσκολη την εξαντλητική συγκριτική ανάλυση και πολλές πρακτικές λεπτομέρειες δεν έχουν διευκρινιστεί ακόμα. H βιομηχανία τελικά θα υιοθετήσει μόνο τις ολοκληρωμένες κρυπτογραφικές προτάσεις που έχουν διερευνηθεί και προτυποποιηθεί από την ερευνητική κοινότητα. Η συστηματική θεμελίωση και αξιολόγηση των υποσχόμενων νέων τεχνικών κρυπτογράφησης πρέπει να προηγηθεί της έρευνας και κατασκευής νέων επεξεργαστών, οι οποίοι θα επιβάλλουν ριζική αναθεώρηση της δημόσιας Κρυπτογραφίας. Στο άμεσο μέλλον αναμένεται να συγκεντρωθούν και να παρουσιαστούν σαφέστερα οι επικρατέστερες εναλλακτικές προκειμένου να καθοριστούν συγκεκριμένες κατευθύνσεις εξειδίκευσης της έρευνας · είναι βέβαιο ότι οι κατασκευές της σύγχρονης Κρυπτογραφίας Πλεγμάτων θα έχουν θέση ανάμεσα σε αυτές.
Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά τη σύγκλιση της κβαντικής υπολογιστικής με την εξόρυξη δεδομένων και τη μηχανική μάθηση, με στόχο την υπέρβαση των περιορισμών της κλασικής αρχιτεκτονικής. Στη σύγχρονη εποχή των Μεγάλων Δεδομένων, η αυξανόμενη διαστατικότητα και ο τεράστιος όγκος της πληροφορίας οδηγούν στο φαινόμενο της «κατάρας της διαστατικότητας», ενώ το όριο ταχύτητας μεταφοράς δεδομένων της αρχιτεκτονικής Von Neumann δημιουργεί σημαντικά υπολογιστικά εμπόδια. Ως απάντηση σε αυτές τις προκλήσεις, η κβαντική υπολογιστική προσφέρει ένα νέο παραδειγματικό πλαίσιο, αξιοποιώντας θεμελιώδη φαινόμενα όπως η κβαντική υπέρθεση, η διεμπλοκή και η παρέμβαση, με την υπόσχεση της εκθετικής ή πολυωνυμικής επιτάχυνσης στην επεξεργασία πολύπλοκων προτύπων. Λόγω των περιορισμών του υλικού στη σύγχρονη εποχή των θορυβωδών κβαντικών συσκευών ενδιάμεσης κλίμακας (NISQ), η έρευνα επικεντρώνεται στην ανάπτυξη και αξιολόγηση υβριδικών κβαντικο-κλασικών αλγορίθμων. Στο πλαίσιο αυτό, εξετάζονται αναλυτικά οι κβαντικές Μηχανές Διανυσμάτων Στήριξης (QSVM) για προβλήματα επιβλεπόμενης ταξινόμησης και η Κβαντική Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών μέσω παραμετροποιημένων κυκλωμάτων (VQPCA) για τη μη επιβλεπόμενη μείωση διαστατικότητας. Οι μέθοδοι αυτές μεταφέρουν το υπολογιστικά απαιτητικό τμήμα της ανάλυσης στον κβαντικό συνεπεξεργαστή, όπως τον υπολογισμό του κβαντικού πυρήνα σε εκθετικά μεγάλους χώρους Hilbert μέσω χαρτών χαρακτηριστικών, ενώ αναθέτουν την τελική βελτιστοποίηση των παραμέτρων σε κλασικούς αλγορίθμους. Η πειραματική αξιολόγηση των εν λόγω μοντέλων πραγματοποιήθηκε με χρήση του προγραμματικού πλαισίου Qiskit πάνω στο πραγματικό ιατρικό σύνολο δεδομένων Breast Cancer Wisconsin Diagnostic. Τα αποτελέσματα ανέδειξαν την υψηλή δύναμη των κβαντικών ταξινομητών, με το μοντέλο QSVM να επιτυγχάνει συνολική ορθότητα 94,74% και, κυρίως, εντυπωσιακή ανάκληση της τάξης του 98,59%. Το ποσοστό αυτό είναι κλινικά κρίσιμο, καθώς υποδηλώνει την ικανότητα του κβαντικού μοντέλου να ελαχιστοποιεί τις ψευδώς αρνητικές διαγνώσεις κακοηθών όγκων, υπερβαίνοντας παραδοσιακές δυσκολίες εντοπισμού μη γραμμικών συσχετίσεων. Παράλληλα, η προσομοίωση της VQPCA πέτυχε να προσεγγίσει την κύρια ιδιοτιμή του πίνακα συνδιακύμανσης με απόλυτο σφάλμα μόλις 0,003, επικυρώνοντας τη μαθηματική εγκυρότητα της κβαντικής εξαγωγής χαρακτηριστικών. Παρά τα υποσχόμενα αποτελέσματα, η πρακτική εφαρμογή της κβαντικής εξόρυξης δεδομένων προσκρούει σε σημαντικές τεχνολογικές προκλήσεις . Η κυριότερη αφορά το πρόβλημα της κωδικοποίησης των δεδομένων και την απουσία Κβαντικής Μνήμης Τυχαίας Προσπέλασης (QRAM), γεγονός που ακυρώνει θεωρητικά την επιτάχυνση της κβαντικής φόρτωσης. Επιπλέον, τα πειράματα κατέδειξαν την ακραία ευαισθησία των κβαντικών κυκλωμάτων στην κλιμάκωση των δεδομένων, καθώς η απουσία κατάλληλης κλασικής προεπεξεργασίας οδηγεί στο φαινόμενο της συγκέντρωσης πυρήνα (kernel concentration) και σε κατακόρυφη πτώση της ορθότητας. Συμπερασματικά, τεκμηριώνεται ότι η κλασική και η κβαντική υπολογιστική οφείλουν να λειτουργούν συμπληρωματικά, ανοίγοντας τον δρόμο για επαναστατικές εφαρμογές στην προσωποποιημένη ιατρική και την ασφαλή ανάλυση τεράστιων όγκων ετερογενούς ιατρικής πληροφορίας και όχι μόνο στο εγγύς μέλλον.
Οι ραγδαίες εξελίξεις στην επιστήμη της Κβαντικής Υπολογιστικής απειλούν τα θεμέλια ασφάλειας των κλασικών κρυπτογραφικών συστημάτων, καθιστώντας αναγκαία τη δημιουργία και την ανάπτυξη μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων. Αυτή η διατριβή διερευνά τα θεωρητικά θεμέλια, τις πρακτικές υλοποιήσεις και τις αξιολογήσεις απόδοσης μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων που έχουν σχεδιαστεί για να αντέχουν τις ικανότητες των κβαντικών αντιπάλων. Η έρευνά μας περιλαμβάνει τέτοια πιθανά κρυπτογραφικά πρωτόκολλα, με ιδιαίτερη έμφαση στους αλγόριθμους που βασίζονται σε δικτυωτά και επικεντρώνεται στην ασφάλεια, την αποτελεσματικότητά τους και τη δυνατότητα εφαρμογής τους στην καθημερινότητα. Οι αρχικές ενότητες της διατριβής παρέχουν μια ολοκληρωμένη ανασκόπηση των μαθηματικών θεμελίων της μετα-κβαντικής κρυπτογραφίας, περιγράφοντας λεπτομερώς τα τρωτά σημεία των σημερινών συστημάτων όπως το RSA υπό κβαντικές επιθέσεις, ιδιαίτερα εκείνα που αφορούν τον αλγόριθμο του Shor. Αναλύουμε τις θεμελιώδεις ισχυρές υποθέσεις που στηρίζουν τους μετακβαντικούς αλγόριθμους, όπως το δυσεπίλυτα προβλήματα των δικτυωτών, που δημιουργούν μια ισχυρή θεωρητική βάση για την ασφάλειά τους. Ο πυρήνας της διατριβής είναι αφιερωμένος στην περιγραφή και αξιολόγηση συγκεκριμένων μετακβαντικών κρυπτογραφικών αλγορίθμων που βασίζονται σε δικτυωτά. Η διατριβή εμβαθύνει στις θεωρητικές βάσεις, τις πρακτικές υλοποιήσεις και τις βελτιστοποιήσεις απόδοσης κρυπτογραφικών σχημάτων που βασίζονται σε δικτυωτά, με ιδιαίτερη έμφαση στη δυνατότητα εφαρμογής τους σε έναν μετα-κβαντικό κόσμο. Η έρευνα περιλαμβάνει μια ολοκληρωμένη ανάλυση των μαθηματικών κατασκευών που κρύβουν προβλήματα δικτυωτών,την εφαρμογή τους, την ανάπτυξη ισχυρών κρυπτογραφικών πρωτοκόλλων και την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας και της ασφάλειάς τους. Εξετάζουμε το σχεδιασμό και την υλοποίηση σχημάτων κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού, όπως τα κρυπτοσυστήματα GGH, NTRU, LWE και Ring-LWE, όπως και ψηφιακών υπογραφών, επισημαίνοντας τις ιδιότητες ασφαλείας και την πρακτική τους απόδοση. ΤοLearning With Errors έχει συγκεντρώσει ιδιαίτερη προσοχή λόγω των ισχυρών αποδείξεων ασφαλείας και της ευελιξίας του στην κατασκευή κρυπτογραφικών σχημάτων. Επιπλέον, η παρούσα διατριβή διερευνά τις θεωρητικές βάσεις και τις πρακτικές εφαρμογές κρυπτογραφικών σχημάτων που βασίζονται στο πρόβλημα Learning With Errors (LWE). Στο δεύτερο και κύριο μέρος, αναπτύσσουμε ένα νέο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο βασισμένο στο LWE κρυπτοσύστημα, το οποίο περιλαμβάνει πρωτόκολλο ανταλλαγής κλειδιών και ένα σχήμα κρυπτογράφησης δημόσιου κλειδιού. Ο κρυπτογραφικός μας αλγόριθμος εφαρμόζεται, αναλύεται αυστηρά ως προς την ασφάλεια και την αποτελεσματικότητά του, με έμφαση στη δυνατότητα εφαρμογής του. Εισάγουμε μια βελτιστοποίηση του LWE, κατασκευάζοντας ένα πιο σύνθετο κρυπτογραφικό πρωτόκολλο για κρυπτογράφηση one-to-oneκαι το σχήμα μας είναι ένα σύστημα που βασίζεται στο LWE και εφαρμόζεται σε σύγχρονες πλατφόρμες που χρησιμοποιούν κρυπτογράφηση. Αυτές οι εφαρμογές απεικονίζουν την ευελιξία και τις δυνατότητες του LWE ως θεμελιώδους εργαλείου στο ευρύτερο τοπίο της κρυπτογραφικής έρευνας.Αυτή η διατριβή συμβάλλει στην πρόοδο της κρυπτογραφίας με βάση τα δικτυωτά παρέχοντας θεωρητικές γνώσεις, πρακτικές υλοποιήσεις και ένα καινοτόμο βελτιστοποιημένο κρυπτοσύστημα βασισμένο στο Learning with Errors. Τα ευρήματα μας υποστηρίζουν την υιοθέτηση κρυπτογραφικών συστημάτων που βασίζονται στο LWE ως ακρογωνιαίο λίθο της ασφαλούς επικοινωνίας στη μετα-κβαντική εποχή.
Η κατασκευή ενός ολοκληρωμένου κβαντικού υπολογιστή αποτελεί μια πρόκληση για τη σύγχρονη επιστήμη. Ο κβαντικός υπολογιστής μας δίνει την ελπίδα πως κάποια στιγμή στο κοντινό μέλλον, θα είμαστε σε θέση να λύνουμε προβλήματα ταχύτερα και πιο αποδοτικά από ότι κάνει ένας κλασσικός υπολογιστής σήμερα. Για παράδειγμα, ο κβαντικός αλγόριθμος παραγοντοποίησης του Shor [3] πετυχαίνει εκθετική επιτάχυνση έναντι του κλασσικού, κάτι που σημαίνει πως η χρήση του πρωτόκολλου κρυπτογράφησης RSA δεν θα είναι όσο ασφαλής είναι σήμερα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα μεγάλες αλλαγές στις επικοινωνίες και στις συναλλαγές στο προσεχές μέλλον. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα περιγράψουμε τις αρχές που πρέπει να πληρεί ένα κβαντικό σύστημα για να θεωρηθεί κβαντικός υπολογιστής, πώς υλοποιούμε ένα qubit που είναι η μονάδα πληροφορίας του και τέλος θα μιλήσουμε για το πώς κωδικοποιούμε την κβαντική πληροφορία ώστε να είμαστε σε θέση να τη διορθώσουμε. Αρχίζουμε με τη διατύπωση των αρχών της κβαντικής μηχανικής , όπως προκύπτουν από την πειραματική διαδικασία. Συνεχίζουμε με την υπεραγωγιμότητα, το φαινόμενο που μας επιτρέπει να χειριζόμαστε μακροσκοπικά της κβαντικές ιδιότητες της ύλης, όπως και κάποια ακόμα φαινόμενα, όπως αυτό του Meissner, που μας δίνουν τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε το κυκλώμα που υλοποιεί το qubit. Τέλος, περιγράφουμε θεωρητικά ένα καθολικό σύνολο από κβαντικές πύλες και τα κυκλώματα διόρθωσης λαθών κβαντικού κώδικα.