La suficiencia de la lógica bivalente para la física de los cuantos LAS INVESTIGACIONES lógicas en este siglo han ampliado el horizonte no sólo de la lógica formal, sino también de la epistemología, por ejemplo, con respecto al concepto "verdad"."2 + 2 = 4" puede ser verdadero o falso, pero "tertium non datur" según la lógica clásica.Una lógica en que las proposiciones pueden ser solamente verdaderas o falsas, o, en otras pala bras, una lógica que tiene dos "valores veritativos" ( verdad y falsedad) se llama "bivalente".La lógica clásica fue concebida, en principio, como bivalente, pero no lo era hasta las últimas consecuencias; no era "estrictamente" biva lente.Sólo sistemas de la lógica simbólica, como por ejemplo el de los Principia M athematica ele Whitehead y Russell, son estrictamente bivalentes.El pensamiento común con sus medios tonos distingue entre "La vir tud es verde", "La virtud no es verde" y !'No es el caso que fa virtud es verde", afirmando sólo la última proposición, mientras que en un is tema estrictamente bivalente deben afirmarse o la primera o las dos últi mas proposiciones ( si se supone la existencia formal de la virtud) .Puesta ante la alternativa entre "La virtud es verde" y "La virtud no es verde", la lógica clásica ( es decir, la mayoría de sus representantes) elude la respuesta declarando ambas proposiciones como no significativas, mientras que -en completa inconsecuencia-concede significado a la proposición "No es el caso que la virtud es verde".En el fondo habían entrado aquí consideraciones correspondientes a una lógica trivalente y se había efectuado una tripartición entre lo que es verde, lo que no es verde y lo de lo cual no se puede afirmar que es verde, ni que no es verde.El pasto en la primavera es verde, el pasto seco en pleno verano no es verde, y de la virtud no se puede afirmar que sea o no sea verde.Claro está, que tales consideraciones estaban reñidas con el prin cipio del tercero excluído; para salvar este último había que apelar al "no significativo".Sin embargo, no toda apelación al "no significativo" indica una va lencia superior escondida.Como en un sistema formal no toda combina ción de símbolos es significativa, sino se establecen condiciones bajo las cuales una expresión simbólica es "bien formada", es decir, significati a, así tampoco toda combinación de palabras es de antemano significativa y [ 18 ] 1luÜciencia de Ía lógica bivaiente para Ía física de los étiaritos / Revista de Filoso/ia también en este caso hay que establecer condiciones.La simple introduc ción de una valencia superior no puede dar significado a una acumulación de palabras, aunque ésta sea "comprensible".En esta exposición se habla sobre sistemas lógicos.Ellos son el mate rial de la investigación y los consideramos expresados en lenguaje prima rio ( object language), mientras que las investigaciones mismas se des arrollan en metalenguaje con respecto al lenguaje de estos sistemas.Nuestro metalenguaje en estas páginas será siempre bivalente, aunque hablamos sobre sistemas de valencia superior.Simbolizamos el sistema bivalente de Whitehead y Russell por "L 2 ", b lógica trivalente de Reichenbach por "L 3 ", y en general un sistema lógico con n (n es un número natural mayor de 1), alores veritativos por "L n "• Convenimos en trabajar, en esta exposición, únicamente con sistemas ló gicos en que los valores veritativos pueden ordenarse según el "grado de verdad" 1 , simbolizando por "W 1 " el valor con el grado más alto de ver dad, por "\IV 2 ", "W 3 ", etc., los valores intermedios ( si los hay) y final mente por "W 11 " el valor veritativo con el grado más bajo de verdad ( con el grado más alto de falsedad).En L 2 tenemos "n = 2", en L 3 "n = 3", etc.1 Lo indicado más adelante sobre L 8 y Les no cambiaría si estos sistemas no cumpliesen con aquélla convención.G. Birkhoff, por ejemplo, sugiere siste más especiales sin e5te ordenamiento.
La suficiencia de la lógica bivalente para la física de los cuantos LAS INVESTIGACIONES lógicas en este siglo han ampliado el horizonte no sólo de la lógica formal, sino también de la epistemología, por ejemplo, con respecto al concepto "verdad"."2 + 2 = 4" puede ser verdadero o falso, pero "tertium non datur" según la lógica clásica.Una lógica en que las proposiciones pueden ser solamente verdaderas o falsas, o, en otras pala bras, una lógica que tiene dos "valores veritativos" ( verdad y falsedad) se llama "bivalente".La lógica clásica fue concebida, en principio, como bivalente, pero no lo era hasta las últimas consecuencias; no era "estrictamente" biva lente.Sólo sistemas de la lógica simbólica, como por ejemplo el de los Principia M athematica ele Whitehead y Russell, son estrictamente bivalentes.El pensamiento común con sus medios tonos distingue entre "La vir tud es verde", "La virtud no es verde" y !'No es el caso que fa virtud es verde", afirmando sólo la última proposición, mientras que en un is tema estrictamente bivalente deben afirmarse o la primera o las dos últi mas proposiciones ( si se supone la existencia formal de la virtud) .Puesta ante la alternativa entre "La virtud es verde" y "La virtud no es verde", la lógica clásica ( es decir, la mayoría de sus representantes) elude la respuesta declarando ambas proposiciones como no significativas, mientras que -en completa inconsecuencia-concede significado a la proposición "No es el caso que la virtud es verde".En el fondo habían entrado aquí consideraciones correspondientes a una lógica trivalente y se había efectuado una tripartición entre lo que es verde, lo que no es verde y lo de lo cual no se puede afirmar que es verde, ni que no es verde.El pasto en la primavera es verde, el pasto seco en pleno verano no es verde, y de la virtud no se puede afirmar que sea o no sea verde.Claro está, que tales consideraciones estaban reñidas con el prin cipio del tercero excluído; para salvar este último había que apelar al "no significativo".Sin embargo, no toda apelación al "no significativo" indica una va lencia superior escondida.Como en un sistema formal no toda combina ción de símbolos es significativa, sino se establecen condiciones bajo las cuales una expresión simbólica es "bien formada", es decir, significati a, así tampoco toda combinación de palabras es de antemano significativa y [ 18 ] 1luÜciencia de Ía lógica bivaiente para Ía física de los étiaritos / Revista de Filoso/ia también en este caso hay que establecer condiciones.La simple introduc ción de una valencia superior no puede dar significado a una acumulación de palabras, aunque ésta sea "comprensible".En esta exposición se habla sobre sistemas lógicos.Ellos son el mate rial de la investigación y los consideramos expresados en lenguaje prima rio ( object language), mientras que las investigaciones mismas se des arrollan en metalenguaje con respecto al lenguaje de estos sistemas.Nuestro metalenguaje en estas páginas será siempre bivalente, aunque hablamos sobre sistemas de valencia superior.Simbolizamos el sistema bivalente de Whitehead y Russell por "L 2 ", b lógica trivalente de Reichenbach por "L 3 ", y en general un sistema lógico con n (n es un número natural mayor de 1), alores veritativos por "L n "• Convenimos en trabajar, en esta exposición, únicamente con sistemas ló gicos en que los valores veritativos pueden ordenarse según el "grado de verdad" 1 , simbolizando por "W 1 " el valor con el grado más alto de ver dad, por "\IV 2 ", "W 3 ", etc., los valores intermedios ( si los hay) y final mente por "W 11 " el valor veritativo con el grado más bajo de verdad ( con el grado más alto de falsedad).En L 2 tenemos "n = 2", en L 3 "n = 3", etc.1 Lo indicado más adelante sobre L 8 y Les no cambiaría si estos sistemas no cumpliesen con aquélla convención.G. Birkhoff, por ejemplo, sugiere siste más especiales sin e5te ordenamiento.
DESDE EL AÑO 1927, en que Heisenberg formuló su "relación de insegu ridad" no ha cedido la discusión en torno .a la causalidad.Existen excelentes trabajos que señalan el desarrollo.de toda esta problemática y sus correlaciones con diversos campos, de modo que este artículo pue de limitarse a un punto especial que sin embargo es decisivo: la proble mática de la causalidad respecto a sistemas totalmente formalizados.El análisis formal y la dilucidación consiguiente ele Jos términos y problemas, no sólo de aquellos que pertenecen a la ciencia respectiva sino también de los de la metaciencia correspondiente, puede aplicarse asimismo a la problemática de la causalidad.Procedamos como si dis pusiéramos de una ciencia empírica, la física, totalmente formalizada.En principio la trataremos independientemente de los trabajos de Hei senberg, sólo al final se incluye la inseguridad en las consideraciones.El presente artículo, aunque se ocupa de cuestiones de formalización, se desarrolla en un metalenguaje no formalizado que, sin embargo, deja ver claramente lo esencial de toda esta problemática.El sistema fi (la física formalizada) es un conjunto de teoremas.Los teoremas, que son expresiones, corresponderían así a los "principios", "leyes", etc., y a lo que se "deduce" de ellos; están formulados en el lenguaje de la lógica simbólica (del sistema superior de funciones) *'.Según procedimientos corrientes de la lógica simbólica, todos los teore mas pueden reformularse de tal modo que tengan la forma "Fa,�' y, ... ", donde la letra "F" denota una función proposicional n-posicional de orden k y "a", "W', "y", etc., constantes o variables libres, sean indi viduales o de funciones proposicionales de orden menor que k.Esto pue de hacerse cualquiera que sea el carácter que se atribuya a las "leyes" (causal, estadístico, etc.), de modo que en el fondo todas las leyes tienen trivialmente un carácter funcional.Si, en el ejemplo arriba menciona do, �' y, etc., están en relación unívoca con a, podemos escribir además
Carlos de la IslaA margen de cualquier balance secular o milenario, la impresión predominante en el mundo actual parece ser de incertidumbre, temor y perplejidad:El orgullo de la ciencia monolítica construida sobre la absolutez y objetividad del conocimiento quedó humillado por el principio de incertidumbre.Lo que parecía una muralla indestructible de verdad sin mancha de subjetividad, se convierte ahora en "un universo que se parece cada vez menos a una máq uina y cada vez más a un gran pensamiento" (J.Jeans).La relación objeto-sujeto se ciñe tanto que las características de algunas entidades sub-atómicas "ni siquiera existen antes de que sean determinadas" (D.Finkelstein).En este ámbito "la observación produce lo que está midiendo" (P.Jordan).Estos grandes descubrimientos, que definen el valor subjetivo del conocimiento, han cond ucido a muchos científicos a la aceptación de una actitud pragmática frente a la ciencia: Si la adaequatio intellectus et rei es tan nebulosa hagamos, dicen, una interpretación del mundo que nos funcione: "verdad funcional".Otros científicos han preferido el camino de B. Russell, quien peregrinaba de la lógica a las matemáticas, de la ciencia a la filosofía, para construir un método de lógica-matemática que culminara en la evidente mostración de que "lo que es, es ... y no puede ser y no ser en cuanto es tal ser".Esfuerzo que en el balance de los resultados termina con aquella elucidan te afirmación: "La dificultad para descubrir la verdad no significa que no haya verdad que descubrir."Algo muy semejante acontece en la historia reciente de la filosofía: Todos los dramas y vergüenza del Occidente contemporáneo se atribuyen a la crisis de la razón.El pensamiento de Occidente reconoce la paternidad socrática, que engendró el sostén de la época moderna que se identifica con construc-9
RESUMEN: La esencia de este trabajo es examinar los fundamentos de la física a través del concepto de simetría. ¿Qué define una simetría en física? Esa es la pregunta inicial. El Cap. 1 está dedicado a desarrollar esta pregunta en el contexto de la mecánica clásica, y la respuesta se logra a través del teorema de Noether: las simetrías se representan en mecánica clásica por medio de transformaciones canónicas. Se establece pues la profunda relación entre el concepto de simetría y las leyes de conservación. El Cap. 2 está dedicado a desarrollar esta misma pregunta, pero esta vez en el contexto de la teoría cuántica, y además, bajo el influjo de las ideas de Asher Peres. «Los fenómenos cuánticos no suceden en un espacio de Hilbert, suceden en un laboratorio», dice en el prefacio de su libro. Tal como se propone allí, en el Cap. 2 se desarrolla la pregunta en teoría cuántica con un enfoque pragmático y estrictamente instrumentalista. Con la ayuda de experimentos conceptuales se intenta adivinar la respuesta, y al fin, a través del teorema de Wigner, se logra una en que se acentúa el valor de la observación: las simetrías se representan en teoría cuántica por medio de transformaciones unitarias y antiunitarias, i.e., aquellas que preservan las probabilidades de transición. Sin embargo, en particular, ¿por qué la evolución temporal tiene que ser unitaria? Esta será una pregunta recurrente. En el Cap. 3 se relaja la severidad de aquel enfoque instrumentalista y se procura plantear la primera pregunta en el contexto de los sistemas abiertos y en relación con los conceptos de información y entropía. Como sabemos, el concepto de entropía surgió originalmente en la termodinámica clásica y luego fue introducido en la teoría de la información por Shannon. Sin embargo, debido a su estrecha relación, es interesante que la asimetría entre pasado y futuro, intrínseca en el procesamiento de información, es equivalente a la flecha de tiempo que surge en los fenómenos termodinámicos irreversibles [8]. En este contexto, se propone un teorema que sugiere que un sistema es informacionalmente aislado si y solo si da lo mismo si el tiempo fluye en un sentido o en otro: un “mundo sin fricción” en que la entropía es constante, la de los sistemas y la del universo. Pero faltan ingredientes, la evolución temporal generalizada para sistemas abiertos y el análisis del proceso de medición. ¿Por qué se asume unitaria la evolución temporal en teoría cuántica? ¿Qué es una medición? ¿Es la medición un proceso irreversible? Estas son preguntas esenciales. La parte final del Cap. 3 se dedica justamente a sazonar aquel teorema y a examinar estas preguntas a través de la reinterpretación del teorema de Kraus y del teorema de Neumark. Así que la discusión final es sobre asimetría temporal.
El análisis de los vínculos que pueden ser establecidos entre la lógica cuántica, las semánticas no deterministas de Nmatrices y las teorías de cuasiconjuntos es el núcleo central de este trabajo. La necesidad de tal análisis ha surgido de forma natural luego de que la relación entre Nmatrices y lógica cuántica quedó explicitada en un trabajo previo: los estados cuánticos, entendidos como medida de probabilidad, pueden ser interpretados como valuaciones de una cierta Nmatriz para el retículo cuántico de proyectores. El Teorema de Kochen-Specker priva a la lógica cuántica de veritativo funcionalidad, pero no de admitir una semántica no determinista Nmatricial. Esto es, la semántica de Nmatrices es compatible con los requerimientos semánticos y algebraicos del retículo de proyectores cuánticos. Si tenemos en cuenta que las teorías de cuasiconjuntos (Quasi-sets y Quasets) han surgido motivadas por la ontología cuántica, que las teorías de conjuntos están fuertemente vinculadas con la lógica y que originalmente uno de los objetivos de la teoría de quasets QST era brindar una semántica para los entes cuánticos, entonces el puente establecido entre la lógica cuántica y las semánticas no deterministas puede ser visto como el detonador que inicia la búsqueda de vínculos entre estas teorías. Por un lado, la lógica cuántica de Birkhoff y von Neumann está comprometida con la representación de espacios de Hilbert de la Mecánica cuántica. Por otro lado, esta representación (como quedará claro más adelante) está comprometida con una ontología de individuos. Por lo tanto, la lógica cuántica y la ontología están vinculadas a través del formalismo de espacios de Hilbert. Como dijimos, las teorías de cuasiconjuntos han surgido motivadas por la ontología de los entes del micromundo. Esto implica que los cuasiconjuntos y la lógica cuántica mantendrían de forma indirecta cierta relación.
Para poder aclarar cómo ha afectado la mecánica cuántica a los conceptos de causalidad y azar, hay que tener en cuenta que esta teoría no surgió como consecuencia de una maduración conceptual de la propia física o de los que la cultivaban. Todo lo contrario: nació y creció a contrapelo de la mentalidad dominante, y en cierto modo sigue teniendo en contra las preferencias personales de la mayoría de los que bregan con ella. Sus creadores cuestionaron y redefinieron las principales categorías de determinación, pero no por gusto, sino por necesidad. Casi todos hubieran deseado otra cosa muy diferente. Es una teoría que sólo ha contado de un modo parcial y provisional con las simpatías de sus gestores y destinatarios. Sería más exacto decir que han aprendido a resignarse a ella. Su fuerza ha residido desde el principio y hasta el presente en los hechos. El mundo es como es, no como les gustaría que fuese a los que se encargan de estudiarlo. Y hay muchos a los que no gusta la imagen resultante. A pesar de que la llamemos ciencia empírica, los que la crean casi siempre han pospuesto la experiencia a consideraciones lógicas, ontológicas e incluso estéticas. En este banquete los hechos han figurado siempre como parientes pobres, cuya presencia no se puede obviar, pero de los que se espera una presencia complaciente y discreta. Sin embargo, a veces la prima del pueblo rompe el protocolo y hace que salgan a la luz algunos conflictos soterrados. Algo parecido ocurrió en esta ocasión: la naturaleza dijo «¡No!» a la camisa de fuerza que pretendía imponérsele. Y lo hizo como ella sabe, produciendo resultados inesperados en los experimentos y suscitando fenómenos refractarios a las rutinas teóricas autorizadas. Hubo que buscar alternativas, empezando por las más aceptables y terminando por las menos gratas. La discontinuidad cuántica pertenecía a esta última clase.
ResumenEn la teoría cuántica de la medición existen dos problemas centrales: el problema de la lectura definida y el problema de la base preferida.El primer problema consiste en el hecho de que la teoría no puede dar cuenta de valores bien definidos registrados como resultados en la medición, puesto que predice que el estado final del sistema y aparato es una superposición sin valor definido.El segundo problema consiste en el hecho de que bajo ciertas circunstancias (referidas a la preparación del estado del sistema a medir) la teoría no puede dar cuenta, además, de una base bien definida de estados a la cual pertenece el resultado obtenido en la medición.Históricamente la pretendida resolución a estos problemas viene de la mano del formalismo de decoherencia, el cual se ha desarrollado como un intento de encontrar el limite clásico de la mecánica cuántica.El objetivo principal de esta tesis consiste en brindar una respuesta a los mencionados problemas sin apelar a decoherencia alguna.Respecto del problema de la base preferida presente en las correlaciones del estado final de la medición, mostraremos que, en lugar de resolverse apelando a una interacción posterior con el entorno, tal como en la teoría de la decoherencia, puede ser resuelto analizando el proceso previo a dicho estado final sin la necesidad del entorno.La esencia del procedimiento consiste en reconsiderar la medición, no como la mera correlación que se manifiesta en el estado final, sino como el proceso capaz de establecerla.Desde esta nueva perspectiva es posible diferenciar distintos procesos que conducen a distintas correlaciones, independientemente de que éstas puedan vincularse matemáticamente mediante un cambio de base.La eliminación de la ambigüedad de la base se logra al determinar qué proceso es caracterizado por el operador de evolución que conecta el estado inicial de la medición con el final.Estrictamente hablado, el problema no queda resuelto, sino más bien disuelto, al considerar que la medición involucra todo el proceso que desemboca en una correlación final, y ello sin la necesidad de agregar interacciones posteriores con sistemas como el entorno.Respecto del problema de la lectura definida nuestro objetivo es un poco más modesto.No vamos a resolver el problema estrictamente sino que, en el marco de ese problema, brindaremos una respuesta a la incompatibilidad que establece el postulado del colapso respecto de las evoluciones unitarias.La estrategia aquí es incorporar los aparatos de medición en el cálculo de las probabilidades condicionales establecidas para una secuencia de dos mediciones.Asumiendo valores definidos para la primera, demostramos que el postulado del colapso sobre el sistema puede ser derivado del propio formalismo de la teoría cuántica, aun cuando el sistema compuesto que incluye a los aparatos nunca abandona la evolución unitaria que predice la ecuación de Schrödinger