L'objet de cette these est l'etude de nouvelles approches non-perturbatives dans le formalisme de la quantification stochastique de parisi et wu. Ce schema de quantification offre en particulier la possibilite d'utiliser une procedure variationnelle specifique. La premiere partie de ce travail est consacree a la mise au point d'une methode de resolution des equations de minimisation correspondantes, basee sur une technique de developpement en 1/n. Les differentes contributions peuvent etre alors obtenues sous forme analytique, ce qui debouche sur de nouvelles expressions non-perturbatives pour l'energie propre et les fonctions de correlation de la theorie. La seconde partie porte sur les nouvelles perspectives offertes par la quantification stochastique dans le domaine de la quantification des systemes non-lineaires. Le fait que le schema de quantification de parisi et wu repose sur une equation d'evolution classique permet en effet d'aborder le probleme du calcul des corrections semi-classiques autour des solutions instantons sous un angle nouveau. En particulier, l'utilisation de developpements en perturbations singuliers aboutit a une mesure de l'effet des fluctuations anharmoniques
L'objet de cette these est l'etude de nouvelles approches non-perturbatives dans le formalisme de la quantification stochastique de parisi et wu. Ce schema de quantification offre en particulier la possibilite d'utiliser une procedure variationnelle specifique. La premiere partie de ce travail est consacree a la mise au point d'une methode de resolution des equations de minimisation correspondantes, basee sur une technique de developpement en 1/n. Les differentes contributions peuvent etre alors obtenues sous forme analytique, ce qui debouche sur de nouvelles expressions non-perturbatives pour l'energie propre et les fonctions de correlation de la theorie. La seconde partie porte sur les nouvelles perspectives offertes par la quantification stochastique dans le domaine de la quantification des systemes non-lineaires. Le fait que le schema de quantification de parisi et wu repose sur une equation d'evolution classique permet en effet d'aborder le probleme du calcul des corrections semi-classiques autour des solutions instantons sous un angle nouveau. En particulier, l'utilisation de developpements en perturbations singuliers aboutit a une mesure de l'effet des fluctuations anharmoniques
Ce memoire est divise en trois grandes parties. La premiere est consacree essentiellement a l'etude des produits en probabilites quantiques. Nous donnons une classification complete a l'aide du produit universel defini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les differentes categories d'algebres associatives. Ceci nous permet aussi de definir la notion d'independance stochastique non-commutative. En particulier nous demontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booleen. La seconde partie est motivee directement par la premiere. Elle est consacree a l'etude des processus de Levy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept generalise la theorie des processus de Levy sur les algebres de Hopf (groupes quantiques) ou la seule notion d'independance est donnee par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Levy sur un groupe dual est determine par son generateur. Comme application directe, nous donnons une realisation des processus de Levy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booleen). La troisieme partie est consacree au developpement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booleen. En particulier nous introduisons l'integrale stochastique et nous donnons une formule d'Ito quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'equation differentielle stochastique quantique au sens de R. L. Hudson et K. R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes completement positifs.
Ce mémoire est divisé en trois grandes parties. La première est consacrée essentiellement à l'étude des produits en probabilités quantiques. Nous donnons une classification complète à l'aide du produit universel défini par un ensemble d'axiomes canoniques dans les différentes catégories d'algèbres associatives. Ceci nous permet aussi de définir la notion d'indépendance stochastique non-commutative. En particulier nous démontrons que les seuls produits sont les produits tensoriel (classique), libre et booléen. La seconde partie est motivée directement par la première. Elle est consacrée à l'étude des processus de Lévy sur les groupes duaux de D. Voiculescu. Ce nouveau concept généralise la théorie des processus de Lévy sur les algèbres de Hopf (groupes quantiques) où la seule notion d'indépendance est donnée par le produit tensoriel. Ce principe nous fournit l'outil principal pour montrer qu'un processus de Lévy sur un groupe dual est déterminé par son générateur. Comme application directe, nous donnons une réalisation des processus de Lévy additifs sur les trois espaces de Fock (bosonique, libre et booléen). La troisième partie est consacrée au développement du calcul stochastique quantique sur l'espace de Fock booléen. En particulier nous introduisons l'intégrale stochastique et nous donnons une formule d'Itô quantique. Nous construisons aussi les solutions de l'équation différentielle stochastique quantique au sens de R.L. Hudson et K.R. Parthasarathy. Finalement nous construisons les dilatations des semi-groupes complètement positifs.
Bruit et capacité d'apprentissage en apprentissage automatique quantique Cette thèse est consacrée à l'exploration de l'interface entre l'informatique quantique et l'apprentissage automatique, en mettant l'accent sur les effets du bruit et de la décohérence. Dans la première partie, nous étudions l'utilisation de systèmes quantiques ouverts pour la réalisation de tâches classiques de reconnaissance des formes. En particulier, nous nous intéressons à l'impact du bruit sur les machines à noyau quantique dans une configuration de calcul à réservoir. Les modèles que nous considérons sont basés sur l'utilisation d'un système quantique de grande taille et non contrôlé, un réservoir, qui est excité par un signal d'entrée à traiter. Des mesures sont ensuite effectuées sur le système et une combinaison linéaire des résultats est optimisée afin de réaliser la tâche souhaitée. Dans le cadre théorique associé aux méthodes à noyau, nous analysons l'effet de la dissipation sur l'expressivité de ces modèles. Nous montrons que le bruit affectant le réservoir peut agir comme une régularisation implicite qui aide à prévenir l'ajustement excessif. Ces résultats sont accompagnés d'une étude numérique d'un ensemble de machines à noyaux bruitées basées sur des chaînes de spins quantiques sujets à de la décohérence, et dont l'évolution markovienne est décrite par une équation maîtresse de type Lindblad. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous concentrons sur les algorithmes quantiques variationnels. Nous y présentons un schéma de simulation classique efficace pour estimer des quantités moyennées à la sortie d'un circuit quantique paramétré dont les paramètres de rotation sont choisis aléatoirement. Nous étudions d'abord les canaux quantiques associés aux moyennes de rotations aléatoires d'un et de deux qubits autour d'un axe Z. Sous certaines hypothèses, nous montrons que ces canaux peuvent être décomposés en sommes convexes de canaux associés à des transformations unitaires de Clifford. Ce résultat peut être interprété comme un effet de décohérence artificiel induit par le choix aléatoire des angles de rotation. Il nous permet construire un schéma de simulation efficace basé sur le célèbre théorème de Gottesman-Knill. Cette méthode permet notamment d'estimer efficacement l'amplitude moyenne du gradient de la fonction de coût par des simulations classiques avec une complexité polynomiale en le nombre de qubits. Elle peut donc être utilisée pour explorer des stratégies de conception de circuits variationnels quantiques permettant d'éviter les difficultés d'entrainement due à une disparition du gradient.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
On developpe une approche theorique qui permet d'aborder l'etude de la dynamique des systemes stochastiques, constitues en particulier par des molecules organiques en solution. L'originalite de ce travail reside en ce que, loin de recourir aux methodes de decompositions spectrales largement utilisees dans ce domaine, nous avons etabli systematiquement les solutions formelles des equations d'evolution de la matrice densite. De ce fait, les processus de dephasage ont ete pris en compte, tant pour la contribution qui resulte des relaxations que pour celle associee au dephase pur. Dans un premier temps, nous avons determine l'evolution libre d'un systeme a trois niveaux dont les etats sont couples par des perturbations stochastiques diagonales et non diagonales. Cette etude a ete faite dans le cadre de la limite markovienne ou celle du bruit faiblement colore. Nous avons considere ensuite le cas d'un etat radiant interagissant par le biais de perturbations stochastiques, avec les etats d'une autre configuration electronique inferieure. La encore, nous avons determine l'evolution libre d'un tel systeme. Enfin, on presente une etude dynamique des systemes stochastiques sous champs afin d'interpreter les processus optiques non lineaires. Il nous a semble interessant de savoir si le comportement d'un systeme, dont un etat excite radiant couple stochastiquement a un etat non radiant, differerait notablement de ce qui est obtenu en modulation de frequence. Nous avons etabli que, pour une perturbation stochastique non diagonale, le profil de raie reste toujours lorentzien
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.