Demostramos que la evolucion temporal del oscilador armonico dos-dimensional no conmutativo, da origen a estados enredados. Esto es logrado a nivel del operador de evolucion utilizando una aproximacion algebraica. La medida de la entropia y los estados de maximo enredamiento tambien son considerados en este contexto.
Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante
los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el
operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las
propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y
la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo
matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una
representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador
armonico.
Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su
analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los
estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de
minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg,
y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad
generalizada de Schrodinger.
Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los
operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los
estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan
correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de
las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los
estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los
estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos.
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los
estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en
el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes
y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de
acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En esta tesis se ha examinado el problema de la caracterización de medidas locales en un sistema cuántico bipartito correlacionado, y cómo esta medida afecta al sistema remoto. Hemos visto que el estado remoto luego de la medida queda determinado por el tensor de correlación, y por supuesto por la medida local efectuada. Mientras que en el caso de estados puros el estado remoto luego de la medida es siempre puro -aunque dependiente de la medida- esto no es cierto en el caso de estados mixtos, donde el estado remoto permanece en general mixto, e incluso su grado de pureza depende de la medida efectuada. Cabe señalar que estas correlaciones no implican ninguna comunicación super-lumínica. La entropía condicional del estado remoto depende así de la medida efectuada, y su mínimo tiene significados e implicancias importantes. En primer lugar, la entropía condicional mínima determina la discordia cuántica, que es una medida de correlaciones cuánticas más allá del entrelazamiento para estados mixtos, y que coincide con la entropía de entrelazamiento en estados puros. En segundo lugar esta entropía condicional mínima determina el entrelazamiento de uno de los subsistemas con un tercer sistema que purifica el conjunto. La entropía condicional mínima puede utilizarse pues para la determinación del entrelazamiento. No obstante, la determinación de la medida que minimiza la entropía condicional es un problema NP completo, muy difícil de resolver incluso en sistemas de dimensión reducida, siendo una determinación analítica solo posible para sistemas qudit-qubit y para determinadas entropías tales como la entropía cuadrática. En esta tesis se ha abordado la caracterización de medidas locales en un sistema de un qutrit y examinado el conjunto de estados pos-medidos en un sistema qutrit-qubit correlacionado, considerando tanto estados entrelazados como separables. Encontramos que en general los estados pos-medidos ya no forman un elipsoide como sucede cuando se mide en el qubit, sino que generan un volumen que puede resultar delimitado por superficies no convencionales. Se han también examinado casos particulares, como por ejemplo sistemas clásicamente correlacionados donde el conjunto de estados pos-medidos se reduce a un segmento, y el caso de estados puros entrelazados donde se obtiene la esfera de Bloch, como es de esperar. También estudiamos el problema de determinar la medida minimizante sobre un sistema local. Se mostró que la misma queda determinada por el tensor de correlación, y que en el caso de conjuntos de estados pos-medidos cuya topología es compleja, la misma está dirigida sobre los ejes principales de simetría. Asímismo estudiamos el significado físico de la medida minimizante, siendo en el caso de la mezcla de dos estados alineados aquella que preserva las simetrías del sistema. Finalmente hemos logrado determinar en forma analítica la medida minimizante para estados separables de rango dos completamente generales en sistemas bipartitos de dimensión arbitraria. Dicha medida óptima preserva la simetría del sistema, y en el caso de dos espines 's' no constituye una medida de spin (incluso para valores muy grandes de 's'). También se obtuvo una expresión analítica para la mínima entropía condicional cuadrática. En el caso de dos espines 's' este valor permanece finito aún para valores grandes de 's' si el ángulo de apertura es suficientemente pequeño. Con este valor mínimo es posible determinar la discordia.
A escala humana, nos encontramos inmersos en un mundo puramente clásico, donde las ecuaciones de movimiento y trayectorias se pueden controlar y predecir de manera determinista.Sin embargo, este mundo tangible y ordenado deriva de, a priori, el caos de la física cuántica y la estadística.¿Cómo puede evolucionar un sistema cuántico a los sistemas clásicos que acostumbramos a ver en nuestro día a día?Una de las explicaciones más aceptadas en la actualidad es el fenómeno conocido como decoherencia cuántica.En este trabajo nos dedicaremos a estudiar este fenómeno, deduciendo y aplicando la ecuación maestra de evolución temporal para resolver distintos sistemas cuánticos: oscilador armónico, sistema atómico de dos niveles y dos osciladores armónicos acoplados.Todos ellos inmersos en un baño que interactúa con los sistemas pequeños y que origina el fenómeno de decoherencia.Analizaremos la evolución de los elementos del operador densidad de los sistemas mencionados, es decir, se estudiará la evolución de las poblaciones (elementos diagonales) y las coherencias (elementos no diagonales).Éstas últimas son las responsables de la pérdida de las propiedades cuánticas del sistema.
EL OBJETO DE ESTA MEMORIA ES CONTRIBUIR AL CONOCIMIENTO
DEL DESORDEN INTERNO DE LOS SISTEMAS FISICOS CONSTITUIDOS
POR UN NUMERO FINITO DE PARTICULAS, MEDIANTE EL ESTUDIO
DE DENSIDAD MONOPARTICULAR DEL SISTEMA, ESTE ESTUDIO SE
LLEVA A CABO UTILIZANDO EL CONCEPTO DE ENTROPIA DE
INFORMACION.
SE EMPIEZA ABORTANDO LA DETERMINACION ANALITICA DE ESTA
MAGNITUD EN LOS SISTEMAS MONOPARTICULARES, CONCRETAMENTE
EN EL OSCILADOR ARMONICO Y EL ATOMO DE HIDROGENO, USANDO
PARA ELLO UN NUEVO CONCEPTO MATEMATICO, EL DE ENTROPIA DE
UN SISTEMA DE POLINOMIOS ORTOGONALES.
SE CONTINUA ESTUDIANDO LA ENTROPIA EN SISTEMAS DE MUCHAS
PARTICULAS. PARA ELLO SE UTILIZA LA TEORIA DE
DESIGUALDADES, QUE PERMITE OBTENER RELACIONES ENTRE LA
ENTROPIA Y DISTINTAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES. TAMBIEN SE
USA EL PRINCIPIO DE MAXIMA ENTROPIA PARA OBTENER
ESTIMACIONES DE LAS DENSIDADES DE CARGA Y MOMENTO, ASI
COMO DEL PERFIL DE CONPTOM, ATOMICOS. POR ULTIMO, SE
REALIZA UN ESTUDIO NUMERICO DE LA ENTROPIA DEL ESTADO
FUNDAMENTAL DE TODOS LOS ATOMOS DE LA TABLA PERIODICA.
En este trabajo de Fin de Máster estudiamos el fenómeno de la sincronización en sistemas de osciladores armónicos cuánticos acoplados en presencia de disipación.Un primer estudio de dos osciladores con diferentes frecuencias enseña que, independientemente de la intensidad del acoplamiento, los osciladores no sincronizan en presencia de entornos independientes.La condición que posibilita la emergencia de sincronización espontánea es la presencia de un entorno común.Asociada a este fenomeno se encuentra una mayor robustez de las correlaciones cuánticas entre osciladores, dependiendo de la relación entre sus diferentes frecuencias naturales y el valor de la constante de acoplamiento entre ellos.Extendiendo el análisis al caso mas complejo de N osciladores, determinamos las condiciones más generales necesarias para la aparición de este fenómeno a través de la relación entre las tasas de disipación de los automodos.Esta descripción nos permite establecer una correspondencia clara con la conservación de las correlaciones, centrándonos en el análisis de la dinámica del entrelazamiento y discord.El estudio del caso de tres osciladores nos permite identificar la rica tipologia de comportamientos que pueden surgir y determinar la influencia de las condiciones de contorno (cadena abierta o cerrada).Demostramos además la existencia de regiones de parámetros (así como la manera de obtenerlas en cadenas genéricas) donde el sistema no termaliza, dando lugar a una conservación asintótica de las correlaciones.En este contexto calculamos analíticamente el entrelazamiento entre osciladores resonantes en los extremos de la cadena abierta, obteniendo un diagrama de fases para su existencia asintótica dependiendo de la temperatura y compresión del estado inicial del sistema.Encontramos en este diagrama que el entrelazamiento se podrá mantener asintóticamente hasta altas temperaturas.