Ferromanyetik Ve Antiferromanyetik Etkileşmeli Anizotropik Xxz Heısenberg Spin Zincirlerinde Kuantum Olguları: Renormalizasyon Grubu Çözümü

Durgun Duran

Ozan Sabahattin Sarıyer

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2007

Alev Şahintaş

Yasemin Isik

Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.

Mehmet Keçeci

Hilbert Uzayları Üzerinden Kuantum Mekaniğini Anlamak: Kuantum Hesaplamada Uygulamalar Mehmet Keçeci ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9937-9839 Received: 25.03.2026 Özet/Abstract: Hilbert uzayları, kuantum mekaniksel sistemlerin betimlenmesi için temel matematiksel çerçeveyi sağlar. İç çarpım ve tamlıkla karakterize edilen bu yapı, kuantum durumlarının vektörler, fiziksel gözlemlenebilirlerin ise öz-eşlenik (self-adjoint) operatörler olarak temsil edilmesine olanak tanır. Süperpozisyon ve dolanıklık (dolaşıklık) gibi temel kuantum olguları, bu formalizm içerisinde doğal bir ifade bulur. Bir kuantum sisteminin aynı anda birden çok durumda bulunabilmesi olarak tanımlanan süperpozisyon, Hilbert uzayındaki taban vektörlerinin doğrusal kombinasyonlarıyla temsil edilir. Kuantum sistemleri arasındaki klasik olmayan bir korelasyon olan dolanıklık ise Hilbert uzaylarının tensör çarpımında ayrıştırılamaz (non-separable) durum vektörleriyle betimlenir. Bu kavramlar, bilginin temel birimi olan kübitin (qubit), durumu iki boyutlu karmaşık bir Hilbert uzayında (ℂ²) bir vektör olarak tanımlanan iki seviyeli bir kuantum sistemi olduğu kuantum hesaplamada merkezi bir öneme sahiptir. Kübitler üzerinde işlemler gerçekleştiren kuantum kapıları, bu durum vektörlerine etki eden üniter operatörlerle temsil edilir. Başta Shor ve Grover algoritmaları olmak üzere kuantum hesaplamanın gücü, Hilbert uzayı çerçevesinde içkin (doğal) olarak betimlenen süperpozisyon ve dolanıklıktan yararlanma becerisinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, Hilbert uzaylarının kapsamlı bir şekilde anlaşılması, kuantum mekaniğinin ilkelerini kavramak ve kuantum bilgi ile hesaplama alanını ilerletmek için vazgeçilmezdir [1, 7]. Klasik bitlerden kuantum kübitlerine ve klasik mantıksal (lojik) kapılarından kuantum üniter işlemlere geçiş, tamamen Hilbert uzaylarının sağladığı matematiksel özelliklere dayanmaktadır. Anahtar Kelimeler/Keywords: Hilbert Uzayı, Kuantum Hesaplama, Kübit, Süperpozisyon, Dolanıklık, Üniter Dinamik, Kuantum Mekaniği, Fonksiyonel Analiz, Operatör Teorisi, Dirac Gösterimi, Kuantum Durumları, Lineer Operatörler, Kuantum Algoritmaları, Kuantum Bilgi.

G USHA KIRAN

"Bu çalışma, modern fiziğin 'ölçüm problemi' (çift yarık deneyi) ile evrensel ölçekteki anomalileri (karanlık madde etkileşimleri) İki Öz Teorisi çerçevesinde birleştirmektedir. Teoriye göre; sensörün gözlemci etkisi fotonun yapısını değiştirmez, aksine lokal alandaki 'İlk Öz'ü (Karanlık Madde) uykuda olduğu durağan halinden çıkarıp yoğunlaşmaya zorlar. Yüksek gerilim hattı yakınındaki antenin sinyal bozulması ve kütleçekimsel merceklenme, bu alan yoğunlaşmasının makro ve kozmik ölçekteki ispatıdır. Sistem; atom altı seviyeden galaktik ölçeğe kadar, İlk Öz ve İkinci Öz'ün etkileşimiyle çalışan birleşik bir mekanizmaya dayanmaktadır."