O estudo de sistemas fortemente interagentes constitui um desafio a fisica teorica. Sua analise permite o entendimento de importantes fenomenos coletivos da materia, que abrangem tanto aplicacoes diversas quanto especulacoes teoricas. Este trabalho visa estudar de maneira introdutoria alguns desses fenomenos. Em particular, vamos investigar como o efeito da topologia do espaco de Hilbert associado a esses sistemas quânticos interfere em suas propriedades. Nos dois primeiros capitulos discutiremos os aspectos basicos de sistemas fermionicos interagentes, no contexto da teoria do liquido de Fermi, e desenvolveremos a partir de fundamentos da mecânica quântica, o conceito de fases topologicas. Por fim, estabeleceremos uma conexao entre as duas teorias para iniciar a construcao de uma teoria topologica do liquido de Fermi, a partir da qual, e possivel explicar resultados ja verificados experimentalmente. Na conclusao, ressaltaremos a possibilidade de investigacoes futuras nessa area.
O estudo de sistemas fortemente interagentes constitui um desafio a fisica teorica. Sua analise permite o entendimento de importantes fenomenos coletivos da materia, que abrangem tanto aplicacoes diversas quanto especulacoes teoricas. Este trabalho visa estudar de maneira introdutoria alguns desses fenomenos. Em particular, vamos investigar como o efeito da topologia do espaco de Hilbert associado a esses sistemas quânticos interfere em suas propriedades. Nos dois primeiros capitulos discutiremos os aspectos basicos de sistemas fermionicos interagentes, no contexto da teoria do liquido de Fermi, e desenvolveremos a partir de fundamentos da mecânica quântica, o conceito de fases topologicas. Por fim, estabeleceremos uma conexao entre as duas teorias para iniciar a construcao de uma teoria topologica do liquido de Fermi, a partir da qual, e possivel explicar resultados ja verificados experimentalmente. Na conclusao, ressaltaremos a possibilidade de investigacoes futuras nessa area.
Resumo Este artigo explora a Teoria das Perturbações no contexto de operadores espectrais, com foco em suas ramificações para a análise da estabilidade de sistemas quânticos complexos. Através de uma abordagem rigorosa da análise funcional, investigamos como pequenas modificações nos operadores (Hamiltonianos) que governam um sistema podem alterar suas propriedades espectrais, ou seja, seus autovalores (níveis de energia) e autovetores (estados quânticos). Começamos com uma revisão dos fundamentos de espaços de Hilbert e operadores auto-adjuntos ilimitados, essenciais para a formulação da mecânica quântica. Em seguida, detalhamos os principais teoremas da teoria de perturbação, incluindo perturbações limitadas, relativamente limitadas e analíticas, discutindo as condições sob as quais a auto-adjuntura e a estrutura espectral de um operador são preservadas ou alteradas de maneira controlável. A metodologia adotada é puramente teórica e analítica, baseada na dedução formal de resultados e na exploração das condições de validade dos teoremas clássicos de Kato e Rellich. Os resultados demonstram a robustez de certas características espectrais sob perturbações específicas e fornecem ferramentas indispensáveis para a compreensão da física de sistemas onde interações não podem ser tratadas exatamente. Concluímos com uma discussão sobre as implicações práticas e teóricas da teoria, bem como as direções para pesquisas futuras em sistemas quânticos abertos e de muitos corpos.
A teoria quântica de campos pode ser vista como um conjunto de métodos e idéias que além de sua importância no estudo das partículas elementares, tem sido amplamente usada em outras áreas. Em especial, ela constitui uma ferramenta indispensável no estudo moderno de transições de fases e fenômenos críticos. A origem dessa constante relação entre a teoria de campos e a matéria condensada deve-se ao fato que, apesar de suas diferenças superficiais, ambas tratam de problemas envolvendo um grande número de graus de liberdade. Assim, não é surpreendente que as mesmas técnicas possam ser úteis nos dois campos. Este trabalho trata de problemas nessas duas áreas e está essencialmente divido em duas partes. A primeira parte é dedicada ao estudo de teorias de campos com uma anisotropia entre o espaço e o tempo, o que implica uma quebra da simetria de Lorentz. Uma das motivações para considerar esse tipo de teoria vem justamente do estudo de transições de fase em sistemas da matéria condensada. Análises do grupo de renormalização com ênfase na possibilidade de restauração da simetria de Lorentz e também uma discussão sobre identidades de Ward são realizadas. Na segunda parte, a atenção é voltada para a mecânica estatística mas com uma abordagem típica da teoria de campos, em especial, voltada para o estudo de transições de fase clássicas e quânticas a partir da versão quantizada do modelo esférico e de sua extensão supersimétrica.
Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
Em magnetismo quântico, a presença de interações de troca competitivas e frustração geométrica pode suprimir o surgimento de ordem magnética de longo alcance, permitindo assim o aparecimento de novas fases da matéria, como os Líquidos de Spin Quânticos. Esses estados são caracterizados pelo conceito de ordem topológica, que está associado à degenerescência topológica do estado fundamental, a padrões de emaranhamento de longo alcance e a excitações de baixa energia fracionárias. Essas características são naturalmente incorporadas pelas teorias de pártons, nas quais operadores de spin são substituídos por bilineares fermiônicos. Além disso, introduz-se um vínculo de ocupação simples para recuperar o espaço de Hilbert físico. Para impô-lo, pode-se aplicar a projeção de Gutzwiller à respectiva solução de teoria de campo médio, criando uma correspondência entre estados fermiônicos Gaussianos e fases de Líquidos de Spin Quânticos. Neste trabalho, formulamos tais teorias e as investigamos numericamente por meio de Estados Produto de Matrizes (Matrix Product States MPS). No formalismo de códigos estabilizadores, estudamos as condições sob as quais um estado projetado possui ordem topológica. Construímos um exemplo de dois estados fermiônicos isolantes triviais que são adiabaticamente conectados, enquanto os estados projetados correspondentes passam por uma transição de fase capturada pela entropia de emaranhamento topológica, alertando contra a classificação de Líquidos de Spin Quânticos baseada exclusivamente em seus estados fermiônicos correspondentes. Além disso, introduzimos um novo algoritmo numérico para o estudo de funções de onda projetadas. A abordagem explora o formalismo da matriz de correlação de estados fermiônicos Gaussianos para determinar o tensor local do MPS em cada sítio. Ao evitar o cálculo de determinantes de Slater e permitir o uso de simetrias translacionais para obter representações de MPS infinito do estado alvo, o método proposto supera limitações de abordagens anteriores, como demonstrado por cálculos ilustrativos no modelo de HaldaneShastry. Esperamos que esses desenvolvimentos contribuam para reduzir a lacuna entre a descrição por pártons de Líquidos de Spin Quânticos e métodos numéricos variacionais para sistemas fortemente correlacionados.
Nesta tese nós discutimos duas fases topológicas não-abelianas da matéria e como teoria de campos conforme pode ser aplicada para melhor entendê-las. Nosso primeiro tópico é um supercondutor topológico realizado por um efeito Hall quântico anômalo submetido à um potencial de formação de pares. Para este modelo, primeiro nós prevemos a existência de excitações não massivas por meio de um argumento simples de fios quânticos. Apesar da perturbação não-relativística, a contribuição dominante na ação efetiva é a soma de termos de Chern-Simons relativísticos. Feito isto, nós deduzimos a teoria efetiva de borda usando a equivalência entre o Chern-Simons e sua teoria conforme induzida na borda. Além disso, nós discutimos o líquido de spins (2 + 1)-dimensional usando o formalismo de fios quânticos. Para isto, nós usamos bosonização não-Abeliana para obter uma ação efetiva de baixas energias escrita a partir de termos deWess-Zumino-Witten, a partir do qual nós discutimos a estrutura de pontos fixos da teoria. Por fim, nós calculamos a contribuição a um loop na função C e comparamos com a carga central nos pontos fixos
Inicialmente, os conceitos fundamentais e a problemática básica subjacentes ao Controle de Sistemas Quânticos são apresentados, destacando-se, por exemplo, as questões físicas e dinâmicas envolvidas, os principais tipos e metodologias de controle no contexto quântico, bem como aplicações existentes e potenciais de Controle Quântico, muitas das quais situando-se na vanguarda da Ciência e da Tecnologia. Segue-se uma exposição do arcabouço teórico básico e do formalismo padrão da Mecânica Quântica, tendo em vista prover os elementos necessários à compreensão de sistemas quânticos, sua dinâmica e seu controle. O conceito de Controlabilidade é, então, apresentado no contexto de Sistemas Quânticos. Em seqüência, os fundamentos do Controle Quântico Ótimo são desenvolvidos como uma extensão da Teoria Clássica de Controle Ótimo, apresentando-se exemplos de aplicações. Ao problema da transferência de estados quânticos para um estado-alvo em tempo mínimo é devotada especial atenção, dada sua grande relevância em aplicações tecnológicas de ponta, como em Computação Quântica e Processamento de Informação Quântica. A partir de limitações físicas que são inerentes a qualquer sistema quântico, no tocante ao tempo mínimo necessário para que ocorra uma transição de estados, propõem-se Fatores de Mérito para quantificar a eficiência dos controles quânticos ótimos que minimizam o tempo de transferência de estados. Exemplos de aplicação, estudos teóricos e estudos de casos são levados a cabo para a definição dos Fatores de Mérito associados. Este trabalho termina com estudos relativos a uma possível formulação da Teoria de Controle Quântico Ótimo em termos de Integrais de Trajetória para o tratamento de sistemas quânticos contínuos, em especial, o controle espaço-temporal de partículas quânticas. Um possível emprego do Efeito Aharonov-Bohm é também discutido como estratégia de Controle Quântico.