Der Umfang dieser Arbeit sind kryptographische Anwendungen von Lernproblemen zu welchen Learning Parity with Noise (LPN), Learning with Errors (LWE) und Learning with Rounding (LWR) zählen. Es hat sich herausgestellt, dass LPN eine wichtige Rolle in der Lern Theorie spielt. Aus Sicht der Kryptographie spielen LPN, LWE und LWR eine bedeutende Rolle. Nach aktuellen Wissen sind sie dazu in der Lage zahlreiche kryptographische Primitiven zu realisieren, sodass ihre Sicherheit auch in der Gegenwart von Quantencomputern gewährleistet ist. In dieser Arbeit wird aufgezeigt, dass LWR mindestens so schwer ist wie LWE. Es werden Protokolle für sichere Benutzer und Nachrichtenauthentifizierung vorgestellt, deren Sicherheit auf Pseudo-Zufalls Funktionen oder nicht-deterministische Varianten basiert, und es werden Chosen-Chiphertext sichere Public-Key-Verschlüsselung basierend auf Subset-Sum oder LPN konstruiert.
Der Umfang dieser Arbeit sind kryptographische Anwendungen von Lernproblemen zu welchen Learning Parity with Noise (LPN), Learning with Errors (LWE) und Learning with Rounding (LWR) zählen. Es hat sich herausgestellt, dass LPN eine wichtige Rolle in der Lern Theorie spielt. Aus Sicht der Kryptographie spielen LPN, LWE und LWR eine bedeutende Rolle. Nach aktuellen Wissen sind sie dazu in der Lage zahlreiche kryptographische Primitiven zu realisieren, sodass ihre Sicherheit auch in der Gegenwart von Quantencomputern gewährleistet ist. In dieser Arbeit wird aufgezeigt, dass LWR mindestens so schwer ist wie LWE. Es werden Protokolle für sichere Benutzer und Nachrichtenauthentifizierung vorgestellt, deren Sicherheit auf Pseudo-Zufalls Funktionen oder nicht-deterministische Varianten basiert, und es werden Chosen-Chiphertext sichere Public-Key-Verschlüsselung basierend auf Subset-Sum oder LPN konstruiert.
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].
Moderne Kryptographie erlaubt nicht nur, personenbezogene Daten im Internet zu schützen oder sich für bestimmte Dienste zu authentifizieren, sondern ermöglicht auch das Auswerten einer Funktion auf geheimen Eingaben mehrerer Parteien, ohne dass dabei etwas über diese Eingaben gelernt werden kann (mit der Ausnahme von Informationen, die aus der Ausgabe und eigenen Eingaben effizient abgeleitet werden können). Kryptographische Protokolle dieser Art werden sichere Mehrparteienberechnung genannt und eignen sich für ein breites Anwendungsspektrum, wie z.B. geheime Abstimmungen und Auktionen. Um die Sicherheit solcher Protokolle zu beweisen, werden Annahmen benötigt, die oft komplexitätstheoretischer Natur sind, beispielsweise, dass es schwierig ist, hinreichend große Zahlen zu faktorisieren. Sicherheitsannahmen, die auf physikalischen Prinzipien basieren, bieten im Gegensatz zu komplexitätstheoretischen Annahmen jedoch einige Vorteile: die Protokolle sind meist konzeptionell einfacher, die Sicherheit ist unabhängig von den Berechnungskapazitäten des Angreifers, und die Funktionsweise und Sicherheit ist oft für den Menschen leichter nachvollziehbar. (Zum Beispiel forderte das Bundesverfassungsgericht: „Beim Einsatz elektronischer Wahlgeräte müssen die wesentlichen Schritte der Wahlhandlung und der Ergebnisermittlung vom Bürger zuverlässig und ohne besondere Sachkenntnis überprüft werden können.“ (BVerfG, Urteil des Zweiten Senats vom 03. März 2009)). Beispiele für solche Annahmen sind physikalisch getrennte oder unkorrumpierbare Hardware-Komponenten (vgl. Broadnax et al., 2018), Write-Only-Geräte für Logging, oder frei zu rubbelnde Felder, wie man sie von PIN-Briefen kennt. Auch die aus der Quantentheorie folgende Nicht-Duplizierbarkeit von Quantenzuständen ist eine physikalische Sicherheitsannahme, die z.B. verwendet wird, um nicht-klonbares „Quantengeld“ zu realisieren. In der vorliegenden Dissertation geht es neben Protokollen, die die Sicherheit und Isolation bestimmter einfacher Hardware-Komponenten als Vertrauensanker verwenden, im Besonderen um kryptographischen Protokolle für die sichere Mehrparteienberechnung, die mit Hilfe physikalischer Spielkarten durchgeführt werden. Die Sicherheitsannahme besteht darin, dass die Karten ununterscheidbare Rückseiten haben und, dass bestimmte Mischoperationen sicher durchgeführt werden können. Eine Anwendung dieser Protokolle liegt also in der Veranschaulichung von Kryptographie und in der Ermöglichung sicherer Mehrparteienberechnungen, die gänzlich ohne Computer ausgeführt werden können. Ein Ziel in diesem Bereich der Kryptographie ist es, Protokolle anzugeben, die möglichst wenige Karten benötigen – und sie als optimal in diesem Sinne zu beweisen. Abhängig von Anforderungen an das Laufzeitverhalten (endliche vs. lediglich im Erwartungswert endliche Laufzeit) und an die Praktikabilität der eingesetzten Mischoperationen, ergeben sich unterschiedliche untere Schranken für die mindestens benötigte Kartenanzahl. Im Rahmen der Arbeit wird für jede Kombination dieser Anforderungen ein UND-Protokoll – ein logisches UND zweier in Karten codierter Bits; dieses ist zusammen mit der Negation und dem Kopieren von Bits hinreichend für die Realisierung allgemeiner Schaltkreise – konstruiert oder in der Literatur identifiziert, das mit der minimalen Anzahl an Karten auskommt, und dies auch als Karten-minimal bewiesen. Insgesamt ist UND mit vier (für erwartet endliche Laufzeit (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Koch, 2018)), fünf (für praktikable Mischoperationen oder endliche Laufzeit (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Koch, 2018)) oder sechs Karten (für endliche Laufzeit und gleichzeitig praktikable Mischoperationen (Kastner et al., 2017)) möglich und optimal. Für die notwendigen Struktureinsichten wurden so-genannte „Zustandsdiagramme“ mit zugehörigen Kalkülregeln entwickelt, die eine graphenbasierte Darstellung aller möglichen Protokolldurchläufe darstellen und an denen Korrektheit und Sicherheit der Protokolle direkt ablesbar sind (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Kastner et al., 2017). Dieser Kalkül hat seitdem eine breite Verwendung in der bereichsrelevanten Literatur gefunden. (Beweise für untere Schranken bzgl. der Kartenanzahl werden durch den Kalkül zu Beweisen, die zeigen, dass bestimmte Protokollzustände in einer bestimmten kombinatorischen Graphenstruktur nicht erreichbar sind.) Mit Hilfe des Kalküls wurden Begriffe der Spielkartenkryptographie als C-Programm formalisiert und (unter bestimmten Einschränkungen) mit einem „Software Bounded Model Checking“-Ansatz die Längenminimalität eines kartenminimalen UND-Protokolls bewiesen (Koch, Schrempp und Kirsten, 2019). Darüber hinaus werden konzeptionell einfache Protokolle für den Fall einer sicheren Mehrparteienberechnung angegeben, bei der sogar zusätzlich die zu berechnende Funktion geheim bleiben soll (Koch und Walzer, 2018), und zwar für jedes der folgenden Berechnungsmodelle: (universelle) Schaltkreise, binäre Entscheidungsdiagramme, Turingmaschinen und RAM-Maschinen. Es wird zudem untersucht, wie Karten-basierte Protokolle so ausgeführt werden können, dass die einzige Interaktion darin besteht, dass andere Parteien die korrekte Ausführung überwachen. Dies ermöglicht eine (schwach interaktive) Programm-Obfuszierung, bei der eine Partei ein durch Karten codiertes Programm auf eigenen Eingaben ausführen kann, ohne etwas über dessen interne Funktionsweise zu lernen, das über das Ein-/Ausgabeverhalten hinaus geht. Dies ist ohne derartige physikalische Annahmen i.A. nicht möglich. Zusätzlich wird eine Sicherheit gegen Angreifer, die auch vom Protokoll abweichen dürfen, formalisiert und es wird eine Methode angegeben um unter möglichst schwachen Sicherheitsannahmen ein passiv sicheres Protokoll mechanisch in ein aktiv sicheres zu transformieren (Koch und Walzer, 2017). Eine weitere, in der Dissertation untersuchte physikalische Sicherheitsannahme, ist die Annahme primitiver, unkorrumpierbarer Hardware-Bausteine, wie z.B. einen TAN-Generator. Dies ermöglicht z.B. eine sichere Authentifikation des menschlichen Nutzers über ein korrumpiertes Terminal, ohne dass der Nutzer selbst kryptographische Berechnungen durchführen muss (z.B. große Primzahlen zu multiplizieren). Dies wird am Beispiel des Geldabhebens an einem korrumpierten Geldautomaten mit Hilfe eines als sicher angenommenen zweiten Geräts (Achenbach et al., 2019) und mit möglichst schwachen Anforderungen an die vorhandenen Kommunikationskanäle gelöst. Da das angegebene Protokoll auch sicher ist, wenn es beliebig mit anderen gleichzeitig laufenden Protokollen ausgeführt wird (also sogenannte Universelle Komponierbarkeit aufweist), es modular entworfen wurde, und die Sicherheitsannahme glaubwürdig ist, ist die Funktionsweise für den Menschen transparent und nachvollziehbar. Insgesamt bildet die Arbeit durch die verschiedenen Karten-basierten Protokolle, Kalküle und systematisierten Beweise für untere Schranken bzgl. der Kartenanzahl, sowie durch Ergebnisse zur sicheren Verwendung eines nicht-vertrauenswürdigen Terminals, und einer Einordnung dieser in eine systematische Darstellung der verschiedenen, in der Kryptographie verwendeten physikalischen Annahmen, einen wesentlichen Beitrag zur physikalisch-basierten Kryptographie.
Public-Key Kryptographie ist das Fundament der modernen Kryptographie. Quantenalgorithmen können die gängigen klassischen Verfahren basierend auf dem RSA oder dem Diffie-Hellman Problem theoretisch brechen. In dieser Arbeit werden bekannte, potentiell quantenresistente, Public-Key Verschlüsselungsverfahren verbessert und im Quantom Random Oracle Model (QROM) analysiert. Das QROM ist die natürliche Erweiterung des Random Oracle Models wenn man die Resistenz gegen Quantenangreifer betrachtet. Konkret behandelt diese Arbeit die aktive Multi-User Sicherheit von Verfahren basierend auf der Fujisaki-Okamoto Transformation. Weiterhin werden in der Arbeit effizientere Varianten des Gitter-basierten Verfahrens NTRU vorgestellt und analysiert. Zuletzt analysiert die Arbeit welche Sicherheitsannahmen notwendig und hinreichend sind um die Sicherheit von Nicht-Interaktiven Schlüsselaustauschverfahren basierend auf Gruppenwirkungen zu beweisen.
Diese Arbeit behandelt kritische Bedrohungen in realen kryptografischen Anwendungen, diem¨oglicherweise nicht sofort offensichtlich sind, aber jederzeit auftreten k¨onnen. Der Autor identifiziert und geht auf drei solche Bedrohungen ein, die die Sicherheit moderner cyber-physischer Systemnetzwerke in Frage stellen. Zunächst wird die Bedrohung durch Quantencomputer untersucht und die Notwendigkeit für kryptografische Annahmen hervorgehoben, die quantensicher sind, d.h. sie bleiben sowohl gegenüber klassischen als auch gegenüber Quantencomputern sicher. Die Arbeit des Autors geht auf diese Herausforderungen durch eine Reihe von Fortschritten ein, die womöglich quantensichere Annahmen einbeziehen. Zweitens wird in der Arbeit die Bedrohung durch interne Angreifer behandelt, die oft in der industriellen Sicherheit zweitrangig behandelt wurde. Der Autor argumentiert jedoch, dass das Vernachl¨assigen von Schutzmaßnahmen gegen interne Angreifer die Gesamtsicherheit untergräbt, da interne Komponenten kompromittiert werden k¨onnen. Dies wird durch die Entwicklung sicherer Protokolle f¨ur Anwendungen wie Kontaktverfolgung verdeutlicht, bei denen das Risiko einer landesweiten Überwachung durch interne Angreifer durch ein ”honest-but-curious” Modell gemindert wird. Dar¨uber hinaus präsentiert die Arbeit ein Protokoll f¨ur ausgelagerte Berechnungen, das es erm¨oglicht, sensible Daten sicher zu verarbeiten, auch wenn der Server mit Clients kolludieren kann. Dies geschieht durch eine formale Neubetrachtung eines Paradigmas f¨ur ausgelagerte Berechnungen, das den Schutz personenbezogener Daten vor internen Bedrohungen gewährleistet. Schließlich wird die Bedrohung durch den Zufalls-Orakel-Ansatz (Random Oracle) untersucht, der die Zuverl¨assigkeit des Einsatzes des Random Oracles in kryptografischen Konstruktionen diskutiert. Obwohl die Random Oracle Heuristik in der realen Kryptografie von unsch¨atzbarem Wert ist, ist auch Funktionen ersetzt wird. Als Reaktion darauf präsentiert die Arbeit ein sicheres Kommunikationsprotokoll, das den Bedarf an Zufalls-Orakeln vermeidet und einen formal fundierteren Ansatz für sichere Nachrichten¨ubertragungen bietet. Obwohl dieses Protokoll weniger effizient ist als seine Pendants, die auf dem Zufalls-Orakel basieren, erreicht es wesentliche Verbesserungen gegen¨uber früheren nicht-Zufalls-Orakel-Konstruktionen. Insgesamt trägt diese Arbeit zur Entwicklung kryptografischer Lösungen bei, die unbehandelte Bedrohungen in realen Anwendungen angehen und darauf abzielen, sowohl die Sicherheit als auch die praktische Anwendbarkeit kryptografischer Systeme angesichts der sich entwickelnden Herausforderungen zu verbessern.
Beim Entwurf von Kryptosystemen versucht man deren Sicherheit mittels Reduktionen auf gewisse mathematische Basisprobleme zu grunden. Wer das Kryptosystem brechen kann ist damit auch in der Lage, das Basisproblem zu losen. Wird dem Angreifer nicht zugestanden, das Basisproblem zu losen, gilt das Kryptosystem als sicher. Ein Problem dieser Beweisfuhrung ist jedoch, dass Basisprobleme meist nur im Allgemeinen schwer sind. Bei der Reduktion von Kryptosystemen treten jedoch typischerweise durchschnittliche Probleminstanzen auf, die unter Umstanden sehr viel leichter zu losen sind.
Deshalb erregte das Public-Key Kryptosystem von Ajtai und Dwork einiges an Aufsehen. Ihnen war es erstmals gelungen, eine Worst-Case / Average-Case Aquivalenz zwischen dem Kryptosystem und dem zugrunde liegenden Basisproblem zu zeigen. Ajtai und Dwork beschrankten sich allerdings auf den Reduktionsbeweis. Eine formalere Beschreibung der Annahmen uber die Fahigkeiten und Absichten eines potentiellen Angreifers liefern Sicherheitsmodelle. In diesem Buch wird daher untersucht, in welchen Sicherheitsmodellen das Ajtai-Dwork-Kryptosystem als sicher gelten kann.
In der vorliegenden Arbeit wird ein effizienter Soft-Decision Algorithmus vorgeschlagen, der fur die Decodierung langer linearen Blockcodes angewendet werden kann. Im Gegensatz zu Faltungscodes kann normalerweise die zusatzliche Zuverlassigkeitsinformation in die Decodierung von Blockcodes nicht auf einfache und effiziente Weise integrierte werden. Diese Arbeit ist ein Versuch, diese Lucke zu schliesen. Eine Moglichkeit der Hard-Decision Decodierung besteht in der Verwendung von sogenannten Informationsmengen. Eine Informationsmenge gestattet es, durch Kenntnis einiger Komponenten eines Codewortes die unbekannten Stellen exakt zu berechnen. In dieser Arbeit wird ein Decodieralgorithmus vorgestellt, der auf Informationsmengen basiert. Die Zuverlassigkeitsinformationen werden derart zur Auswahl der Informationsmengen verwendet, das fur sehr lange Blockcodes eine minimale Anzahl von Operationen notwendig ist. Zur weiteren Begrenzung der durchschnittlichen Komplexitat werden einige Kriterien hergeleitet, die einen Abbruch der Iteration gestatten, wenn der Algorithmus bereits eine Maximum-Likelihood Schatzung erreicht hat. Weiterhin werden ausfuhrliche Simulationen mit dem beschriebenen Algorithmus durchgefuhrt. Um auch sehr lange Blockcodes zu simulieren, wird zunachst eine Simulationsmethode vorgeschlagen, die die wahrscheinlichsten Fehlerereignisse stark berucksichtigt. Dadurch wird es moglich, sehr lange Codes auch fur grose Signal zu Rauschverhaltnis zu simulieren. Es wird eingehend untersucht, wie sich verschiedene Abbruchkriterien auf die Komplexitat des Decodieralgorithmus auswirken. Ferner wird dieser Algorithmus fur die BCH-Codes (128,64) und (255,123) angewendet. Es zeigt sich, das selbst mit wenigen Iterationen eine deutliche Steigerung gegenuber einer BMD-Decodierung erreicht werden kann. Durch Erhohung der Anzahl der Iterationen gestattet es der vorschlagene Algorithmus beliebig dicht an die Leistungsfahigkeit eines Maximum-Likelihood-Decodierers heranzukommen.