Renormierungsgruppenstudie zum Hubbard Modell: Das zweidimensionale Hubbardmodell mit abstoßender Wechselwirkung wird häufi g als e ffektives Modell für die Hochtemperatur-Supraleiter der Kupratfamilie betrachtet. Wir untersuchen dieses Modell bei Van-Hove-Teilchendichte anhand der funktionalen Renormierungsgruppe, in ihrer Formulierung für irreduzible Vertizes und in der Level-zwei-Trunkierung. Mit der vor kurzem entwickelten Austauschparametrisierung für den Wechselwirkungs- Vertex können wir bereits vorhandene Arbeiten erweitern und die fließende Selbstenergie sowie den frequenzabhängigen Wechselwirkungs-Vertex detailliert analysieren. Die Verformung der Fermilinie durch elektronische Wechselwirkungen bleibt klein und hat geringe Auswirkungen. Die frequenzabhängige Selbstenergie kann dagegen zu drastischen E ffekten führen, die ihren Ursprung im stark reduzierten Quasiteilchen-Gewicht am Van-Hove- Punkt haben. Wir erhalten die selbe Landschaft von Instabilitäten der Fermi Flüssigkeit wie in der stationären Parametrisierung. In der Parameterregion von konkurrierendem Ferromagneten und d-Wellen-Supraleiter deuten unsere Ergebnisse auf einen quantenkritischen Punkt hin. In dieser Region weicht die Frequenzabhängigkeit der Selbstenergie am Van-Hove- Punkt von der Fermi Flüssigkeits-Form ab. Anhand unserer diskreten RG Daten schlagen wir weiterhin für die Transferfrequenzabhängigkeit der Austauschpropagatoren eine funktionale Form vor, die einen wesentlich größeren Gültigkeitsbereich als die üblichen Lorentzkurven aufweist.
Renormierungsgruppenstudie zum Hubbard Modell: Das zweidimensionale Hubbardmodell mit abstoßender Wechselwirkung wird häufi g als e ffektives Modell für die Hochtemperatur-Supraleiter der Kupratfamilie betrachtet. Wir untersuchen dieses Modell bei Van-Hove-Teilchendichte anhand der funktionalen Renormierungsgruppe, in ihrer Formulierung für irreduzible Vertizes und in der Level-zwei-Trunkierung. Mit der vor kurzem entwickelten Austauschparametrisierung für den Wechselwirkungs- Vertex können wir bereits vorhandene Arbeiten erweitern und die fließende Selbstenergie sowie den frequenzabhängigen Wechselwirkungs-Vertex detailliert analysieren. Die Verformung der Fermilinie durch elektronische Wechselwirkungen bleibt klein und hat geringe Auswirkungen. Die frequenzabhängige Selbstenergie kann dagegen zu drastischen E ffekten führen, die ihren Ursprung im stark reduzierten Quasiteilchen-Gewicht am Van-Hove- Punkt haben. Wir erhalten die selbe Landschaft von Instabilitäten der Fermi Flüssigkeit wie in der stationären Parametrisierung. In der Parameterregion von konkurrierendem Ferromagneten und d-Wellen-Supraleiter deuten unsere Ergebnisse auf einen quantenkritischen Punkt hin. In dieser Region weicht die Frequenzabhängigkeit der Selbstenergie am Van-Hove- Punkt von der Fermi Flüssigkeits-Form ab. Anhand unserer diskreten RG Daten schlagen wir weiterhin für die Transferfrequenzabhängigkeit der Austauschpropagatoren eine funktionale Form vor, die einen wesentlich größeren Gültigkeitsbereich als die üblichen Lorentzkurven aufweist.
Die funktionale Renormierungsgruppe (fRG) wird in der kondensierten Materie schon seit langem für qualitative Untersuchungen korrelierter Elektronensysteme angewandt. In dieser Arbeit wird diese Methode durch die Implementierung einer effizienten Parametrisierung der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung und der multiloop Erweiterung, welche die übliche Hierarchietrunkierung in fRG umgeht und die Parquet Näherung erfüllt, verbessert. Diese Weiterentwicklung führt zu endlichen Suszeptibilitäten für alle untersuchten Temperaturen, sodass, im Einklang mit dem Mermin-Wagner Theorem, keine spontane Symmetriebrechung bei endlichen Temperaturen auftritt. Außerdem wird eine detaillierte Analyse der Selbstenergie und Suszeptibilitäten im 2D Hubbard Modell durchgeführt. Diese zeigt, dass zuverlässige quantitative Ergebnisse berechnet werden können. Allerdings muss für den exakten Vergleich zwischen fRG und Parquet eine neue Selbstenergie-Flussgleichung eingeführt werden, falls die Impulsabhängigkeit der effektiven Wechselwirkung durch Truncated Unity parametrisiert wurde. Um dies zu erklären, konzentriert sich diese Arbeit auf die Selbstenergie, welche Wechselwirkungseffekte auf dem Einteilchenpropagator beschreibt. Durch diagrammatische Argumente wird gezeigt, wie die herkömmliche Flussgleichung bei endlicher Anzahl von Formfaktoren in der Truncated Unity Impulsparametrisierung genäherte Diagramme erzeugt. Die exakte Schwinger-Dyson Gleichung dient als Vorbild für die neue Flussgleichung, welche dieses Problem behebt und zu einer sehr guten Übereinstimmung zwischen den direkten und nachträglich berechneten Ergebnissen des fRG Flusses als auch zwischen der fRG und der selbstkonsistenten Parquet Methode führt. Der Vergleich zwischen fRG Ergebnissen und der numerisch exakten determinant Quantum Monte Carlo Methode zeigt ferner eine sehr gute Übereinstimmung bis zu mittleren Wechselwirkungsstärken. Des Weiteren wird gezeigt, dass der Schwinger-Dyson inspirierte Fluss eine impulsabhängige Spektrallücke (Pseudogap) im halbgefüllten 2D Hubbard Modell hervorrufen kann, während diese in der herkömmlichen Flussgleichung nicht beobachtet wird. Die diagrammatische Analyse des flussabhängigen Auftretens zeigt außerdem, dass auch in fRG der Grund für diese bedeutende in Hochtemperatur-Supraleitern auftretende Eigenschaft in langreichweitigen antiferromagnetischen Fluktuationen liegt. Die hier eingeführten Fortschritte der fRG legen den Grundstein für weiterführende qualitative Analysen und quantitative Rechnungen im 2D Hubbard Model als auch in weiteren allgemeineren Systemen.
Das zweidimensionale Hubbard Modell gilt als vielversprechendes, effektives Modell zur Beschreibung der Freiheitsgrade der Elektronen in den Kupferoxidschichten von Hochtemperatursupraleitern. Wir stellen einen Zugang zu diesem Modell mithilfe der funktionalen Renormierungsgruppe mit Fokus auf Antiferromagnetismus und d-Wellensupraleitung vor. Um die relevanten Freiheitsgrade auf allen Längenskalen explizit zugänglich zu machen, führen wir zusammengesetzte bosonische Felder ein, welche die Wechselwirkung zwischen den Fermionen vermitteln. Das spontane Brechen einer Symmetrie spiegelt sich in einem nichtverschwindenden Erwartungswert eines bosonischen Feldes wieder. Wir zeigen wie durch Spinwellenfluktuationen eine d-Wellenkopplung erzeugt wird. Des Weiteren berechnen wir die höchste Temperatur, bei der die Wechselwirkungsstärke der Elektronen im Renormierungsgruppenfluss divergiert sowohl für Antiferromagnetismus als auch für d-Wellensupraleitung über einen weiten Dotierungsbereich. Diese "pseudokritische" Temperatur signalisiert das Einsetzen von lokaler Ordnung. Außerdem wird die Temperaturabhängigkeit der d-Wellensupraleitung in einem vereinfachten Modell, welches sich durch eine Kopplung lediglich im d-Wellenkanal auszeichnet, studiert. Wir finden einen Phasenübergang vom Kosterlitz-Thouless-Typ.
In den letzten Jahren haben Quantenpunkte viel Aufmerksamkeit erhalten, da ihre magnetischen Eigenschaften für Spintronik Geräte benutzt oder ein in einem Quantenpunkt eingesperrter Spin als Qubit für einen Quantencomputer verwendet werden könnte. In dieser Arbeit untersuchen wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften von verschiedenen Quantenstörstellensystemen (QIS). Als erstes wird das Kondo-Modell betrachtet, in dem das lokale magnetische Moment einer Störstelle über eine Heisenberg-Wechselwirkung an ein fermionisches Bad gekoppelt ist. Wir untersuchen, wie die Kondokorrelationen aufgebaut werden und wie sie sich durch das Leitungsband ausbreiten. Die Nichtgleichgewichtsergebnisse zeigen, dass die meisten Korrelationen sich innerhalb eines Lichtkegels ausbreiten, der bestimmt ist durch die Fermi-Geschwindigkeit. Interessanterweise sehen wir auch Korrelationen außerhalb des Lichtkegels. Mittels einer Störungstheorie in zweiter Ordnung in der Kopplung, können wir zeigen, dass diese Korrelationen mit den intrinsischen Korrelationen des Fermi-Sees zusammenhängen. Weiterhin stellen wir ein Experiment vor, in dem Metall-Molekül-Komplexe durch Reaktion von einem PTCDA Molekül, das auf einer Au(111) Oberfläche adsorbiert, mit einem einzelnen Au Atom gebildet werden. Dies führt zur Entstehung von Radikalen. Der beobachtete Kondoeffekt in den Rastertunnelmikroskopie (STM) Spektren ist ein eindeutiger Beweis für die Bildung eines lokalen Momentes. Die physikalisch korrekte Beschreibung der Bildung des lokalen Momentes und des Kondoeffekt ist jedoch mit der Dichtefunktionaltheorie (DFT) nicht möglich. Daher verwenden wir einen kombinierten DFT + Numerische Renormierungsgruppen (NRG) Ansatz, in dem wir die Ergebnisse der DFT als “ab initio” Eingangs-Parameter für unsere NRG verwenden. Wir zeigen, dass die Ergebnisse des Experiments und der NRG ohne Anpassungen der Modellparameter sehr gut übereinstimmen. Wenn zwei Au Atome auf benachbarten PTCDA Molekülen adsorbieren, weist das Spektrum in manchen Fällen eine Lücke um die Fermi-Energie, anstatt einer Kondoresonanz auf. Indem wir das System auf ein Zwei-Störstellen-Anderson-Modell (TIAM) abbilden, können wir zeigen, dass diese Lücke durch die starke nichtmagnetische chemische Wechselwirkung zwischen den beiden Komplexen entsteht. Mittels unserer NRG Ergebnisse liefern wir eine ausführliche Analyse des auftretenden Quantenphasenübergangs (QPT). Am Schluss betrachten wir die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtseigenschaften des Zwei-Störstellen-Kondo-Modells (TIKM), welches einen QPT aufweist, wenn man die Energieabhängigkeit der Kopplungen an das Leitungsband vernachlässigt. Wir zeigen, dass es möglich ist, diesen QPT in dem voll energieabhängigen Modell mittels passenden Potentialstreutermen wiederherzustellen. Danach wird die Zeitdynamik nach einem Quench in der direkten Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen den beiden Störstellenspins untersucht. Es wird gezeigt, dass eine ausreichend große antiferromagnetische Wechselwirkung die Thermalisierung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion verhindert, da in diesem Fall die Störstellen vom Leitungsband entkoppeln.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.
Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung und Analyse von Einund Zwei-Teilchen-Funktionen stark korrelierter Elektronensysteme. Gerade die Analyse der Zwei-Teilchen-Funktionen legt die Einfuhrung neuer bosonischer Quasiteilchen, den -tonen, nahe. Dies geschieht durch Anwendung von Modellsystemen, konkret, dem Hubbard, erweiterten Hubbard und Pariser-Parr-Pople Modell, sowie auf Basis unterschiedlicher Methoden. Mit der Determinanten-Quanten-Monte-Carlo-Simulation wird die Ein-Teilchen Vertexfunktion, die Selbstenergie , bestimmt. Dabei wird eine Darstellung ausgearbeitet, welche den zweidimensionalen Impulsvektor k auf die eindimensionale Dispersionsrelation k abbildet, d.h. k k . Dies erm öglicht eine vollständige, intuitive Darstellung und somit Rückführung der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse. Die Analyse von Zwei-Teilchen-Funktionen erfolgt durch den Parquetformalismus in der Parquetnäherung. Ferner, wird die Wechselwirkung zwischen den Elektronen erweitert, sodass z.B. das eindimensionale Benzolmolekül in der Pariser-Parr-Pople N äherung oder das zweidimensionale erweiterte Hubbard Modell simuliert werden kann. Bei immer stärker werdenden Ladungsdichtefluktuationen wird hierbei ein verstärkter Einfluss der Zwei-Teilchen-Vertexfunktion beobachtet,während die Ein-Teilchen-Vertexfunktion weniger stark korreliert. Die Zwei-Teilchen-Vertexfunktion wird mittels der optischen Leitfähigkeit weiter analysiert. Diese Vertexkorrekturen sind dabei von transversalen Teilchen-Loch Anregungen verursacht. Da diese mit einem Impulsvektor q = (, ..) verbunden sind, koppelt das einund ausgehende Lichtquantum an je zwei Elektron-Loch-Paare. Für stark korrelierte Elektronensysteme scheint dies von allgemeiner Gültigkeit zu sein und motiviert deshalb die Einführung der entsprechenden Polaritonen als -tonen.
Die Entdeckung des Quanten-Hall (QH) Effekts stellt die erste Beobachtung von topologischen Phasen in Quantensystemen dar: Physikalische (Transport-) Eigenschaften eines Festkörpers nehmen exakt ganzzahlige Werte an, unabhängig von mikroskopischen Details des Materials. Symmetriegeschützte topologische Zustände wurden mittlerweile vollständig klassifiziert und weitere topologische Ordnungen im Experiment beobachtet. Fragen bezüglich des Zusammenspiels von topologischen Eigenschaften und starker Teilchen-Wechselwirkung bleiben jedoch unbeantwortet: Interaktionen liegen dem fraktionalen QH-Effekt zugrunde und es wird vermutet, dass sie anyonische Anregungen hervorrufen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern bieten vielversprechende Möglichkeiten, um diese Theorien zu überprüfen. Die Realisierung topologischer Bandstrukturen und starker Wechselwirkung in diesen Experimenten stellt jedoch nach wie vor Schwierigkeiten dar. In dieser Arbeit untersuchen wir alternative Wege, um topologische Eigenschaften in Vielteilchensystemen zu realisieren und zu messen. Unserem Ansatz liegt die Analogie von 2D QH-Modellen, wie dem Hofstadter-Modell, und Familien von 1D Systemen, also topologischen Pumpen, zugrunde. Mittels numerischer Methoden untersuchen wir, ob es ähnliche Zusammenhänge in stark interagierenden Systemen gibt. Wir verwenden den DMRG Algorithmus, um Grundzustände wechselwirkender Gittermodelle zu finden. Dadurch beobachten wir Quantenphasenübergänge von einzelnen, endlichen Modellen, sowie topologische Phasenübergänge der Familien von Grundzuständen. Der erste Teil beschäftigt sich mit Familien von 1D Modellen. Wir stellen fest, dass das Hinzufügen von Wechselwirkungen zu Mott-isolierenden Phasen für halbgefüllte Bänder führt, welche nicht triviale topologische Eigenschaften haben können. Außerdem beobachten wir, dass Teilchen-Interaktion bereits existierende topologische Eigenschaften ändern kann: Einige Systeme unserer Familie entsprechen dem AB_2 ionischen Hubbard-Modell, welches einen wechselwirkungsbedingten, zweifachen Phasenübergang zu einem stark korrelierten Isolator aufweist. Für starke Wechselwirkungen ist die transportierte Ladung auch topologisch quantisiert, jedoch ändern sich Vorzeichen und Betrag der Chern-Zahl. Wir bestimmen den topologischen Index durch numerische Integration der Vielteilchen Berry-Krümmung und zeigen, dass er auch mittels des Massenzentrums gemessen werden kann. Im zweiten Teil behandeln wir die Beziehung von interagierenden 1D Ladungspumpen und wechselwirkenden 2D QH-Modellen. Um beide Systeme numerisch zu untersuchen betrachten wir das Hofstadter-Modell auf einem Zylinder und drücken es in gemischter Real- und Impulsraumbasis aus. In dieser können wir die Verbindung der interagierenden 1D und 2D Modelle parametrisieren. Die zylindrische Geometrie erlaubt uns außerdem topologische Eigenschaften zu bestimmen, indem wir permanente Ströme als Antwort auf ein lineares Potential berechnen. Wir können den topologischen Übergang der 1D Ladungspumpen reproduzieren, aber das Hofstadter-Hubbard-Modell bleibt durch einen topologischen Phasenübergang von stark wechselwirkenden 1D Systemen getrennt. Zwischen den 1D und 2D Hubbard Modellen finden wir ferromagnetische Grundzustände, welche einige topologische Eigenschaften erklären könnten.