5. Zufallszahlen und Quanten-Monte-Carlo Verfahren

Wolfgang von der Linden

Arthur March

Wolfgang von der Linden

Abstract Monte‐Carlo‐Simulationen sind ein etabliertes und hilfreiches Verfahren bei der Behandlung von Problemen der klassischen statistischen Physik. Obwohl seit Mitte dieses Jahrhunderts ebenso bekannt ist, wie auch quantenmechanische Probleme mit stochastischen Mitteln behandelt werden können, ging die Entwicklung der Quanten‐Monte‐Carlo‐Verfahren weitaus langsamer voran. Erst in den letzten Jahren ist es gelungen, diese Methoden erfolgreich in der Festkörperphysik einzusetzen. Insbesondere die Entdeckung der Hochtemperatur‐Supraleiter — und das damit verbundene Interesse an Modellen für stark wechselwirkende Fermionen — hat zu einem vermehrten Einsatz von Quanten‐Monte‐Carlo‐Verfahren geführt. Ihnen kam nicht zuletzt die enorme Leistungsfähigkeit der heutigen Großrechner zugute, und sie werden sicherlich mit der neuen Generation der Teraflop‐Maschinen weiter an Bedeutung gewinnen. Im Zuge dieser neueren Entwicklungen ist es gelungen, die Algorithmen zu verbessern und ein tieferes Verständnis dieser Verfahren, ihrer Anwendbarkeit und Grenzen zu erlangen.

Sebastian Manten

Es ist eine Verfahren entwickelt worden, das es ermoglicht auf Standard-Gauss-Basissatzen aufbauende Ab-Initio-Wellenfunktionen direkt in Guidance-Funktionen des Fix-Knoten-Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahrens (FN-DQMC) zu ubernehmen. Die Genauigkeit des FN-DQMC-Verfahrens ist anschliesend fur auf Hartree-Fock-Funktionen aufbauende Guidance-Funktionen systematisch untersucht worden, indem Reaktionsenthalpien und Multipolmomente kleiner Molekule berechnet wurden. Um die Effizienz des FN-DQMC-Verfahrens fur Rechnungen an grosen Molekulen zu verbessern, ist eine lokale DQMC-Variante (LDQMC) entwickelt worden, die eine verbesserte Skalierung der Rechenzeiten mit der Elektronenzahl gegenuber dem Standardverfahren aufweist. Die LDQMC-Methode baut dabei im Wesentlichen auf lokalisierten Molekulorbitalen und kurzreichweitigen Korrelationstermen auf. Des Weiteren wurde ein auf dem DQMC-Verfahren zur Berechnung von Multipolmomenten aufbauender Ansatz eingefuhrt, der die Berechnung von verteilten Multipolmomenten fur praktisch beliebige, topologische Gebietsaufteilungen der Molekule ermoglicht. Die Methode ist anhand einer einfachen Gebietsaufteilung demonstriert worden.

Franck Jedrzejewski

Feil, Wolfgang

Das Projektor-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren (PQMC) liefert den Grundzustand des Hubbard-Modells in Form einer Linearkombination von Slaterdeterminanten. In der Arbeit wurde der Einfluß des Vorzeichens des Skalarproduktes zwischen den Slaterdeterminanten auf die quantenmechanischen Erwartungswerte des PQMC durch Vergleich mit alternativen Grundzustandrechnungen untersucht. Ein Implementierung des Verfahrens mittels einer Multi-Precision-Library ergab, daß sich negative Vorzeichen nicht alleine mit numerischen Instabilitäten der Fließkommarechnung erklären lassen. Weiterhin wird in der Arbeit zum ersten Mal in aller Ausführlichkeit mit Verteilungen über die Monte-Carlo-Beiträge zu den quantenmechanischen Observablen argumentiert. Diese Darstellung verdeutlicht, daß eine mögliche langreichweitige supraleitende Korrelation des Grundzustandes sich allenfalls über einige wenige Slaterdeterminanten mit allerdings großem Betrag zum entsprechenden Erwartungswert ergibt.