Die Entropie eines Zustandes

Igor Bjelaković

In der vorliegenden Dissertationsschrift werden einige Grenzwertsätze für die mittlere von-Neumann-Entropie und die mittlere relative Entropie für ergodische Quantenzustände auf quasi-lokalen C*-Algebren bewiesen. Für die mittlere von-Neumann-Entropie konnte bewiesen werden, dass das vollständige quantenmechanische Analogon des Satzes von Shannon-McMillan gültig ist. Aufbauend auf diesem Ergebnis konnte die Gültigkeit der relativen AEP (asymptotic equipartition property) für die mittlere relative Entropie eines ergodischen Quantenzustandes bezüglich eines stationären Produktzustandes nachgewiesen werden, woraus dann das Lemma von Stein hergeleitet werden konnte. Diese Ergebnisse liefern eine operationale Deutung der relativen Entropie als ein statistisches Unterscheidungsmaß auf der Menge der Zustände. Diese Deutung erlaubt es, erstmalig einen neuen,einfachen und intuitiven Beweis fuer die Monotonie der relativen Entropie anzugeben, der mit informationstheoretischen Mitteln auskommt.

Elke Scheer

Johannes Peters

Otte, Alexander

Die Quanteninformationsverarbeitung mit der eventuellen Möglichkeit eines Quantencomputers als Höhepunkt bezieht ihre Überlegenheit gegenüber jeglicher klassischer Informationsverarbeitung aus der besonderen Struktur ihres Zustandsraums. Erst durch die Unterteilung in Subsysteme und der damit einhergehenden Aufprägund einer Struktur des Zustandsraums wird die Identifikation der Informationseinheiten - Qubits - ermöglicht. Bei Systemen, die sich klassisch verhalten, kann jeder Zustand durch eine Summe der lokalen Eigenschaften der Subsysteme alleine beschrieben werden. Bei quantenmechanischen Systemen jedoch können Zustände auftreten, die nicht mehr durch die Summe ihrer lokalen Eigenschaften alleine darstellbar sind - es handelt sich dann um 'verschränkte' Zustände. All die außergewöhnlichen Phänomene wie Quantencomputing, Quantenteleportation sowie die Verletzung der Bellschen Ungleichung haben ihre Ursache in der Nicht-Separabilität vieler Quantenzustände. Es ist deshalb von außerordentlicher Bedeutung zu wissen, wann ein Zustand separabel ist und wann nicht. Diese bisher ungelöste Frage nach der Separabilität eines Zustands in einem Quantennetzwerk ist die zentrale Motivation, die dieser Abhandlung zu Grunde liegt.

G. Bakker

Eckhard Rebhan

Die Konstruktion vollständig symmetrischer bzw. vollständig antisymmetrischer Zustände durch Superposition von Viel-Teilchen-Zuständen, bei denen formal zwischen — an sich ununterscheidbaren — identischen Teilchen unterschieden wird, ist einerseits konzeptionell unbefriedigend und andererseits auch umständlich. Es gibt jedoch auch eine Darstellung ohne dieses Manko. Bei dieser wird das System identischer Teilchen nicht mehr durch Permutationen konkreter, aus Ein-Teilchen-Zuständen aufgebauter Viel-Teilchen-Zustände beschrieben, sondern es wird nur noch angegeben, mit wievielen Teilchen jeder mögliche Ein-Teilchen-Zustand besetzt ist. Es wird sich zeigen, daß die derart charakterisierten Zustände durch die sukzessive Einwirkung von Erzeugungs-operatoren auf einen Vakuumzustand erzeugt werden können. Wir beschränken unsere Beschäftigung mit dieser Darstellung zunächst auf den Fall, daß die Ein-Teilchen-Zustände der betrachteten identischen Teilchen vollständig durch die Eigenzustände eines Operators mit diskretem Spektrum beschrieben werden können. Wie die dabei erzielten Ergebnisse auf den Fall eines kontinuierlichen Spektrums übertragen werden können, ist evident und wird bei der Einführung von Feldoperatoren demonstriert.