Die Konstruktion vollständig symmetrischer bzw. vollständig antisymmetrischer Zustände durch Superposition von Viel-Teilchen-Zuständen, bei denen formal zwischen — an sich ununterscheidbaren — identischen Teilchen unterschieden wird, ist einerseits konzeptionell unbefriedigend und andererseits auch umständlich. Es gibt jedoch auch eine Darstellung ohne dieses Manko. Bei dieser wird das System identischer Teilchen nicht mehr durch Permutationen konkreter, aus Ein-Teilchen-Zuständen aufgebauter Viel-Teilchen-Zustände beschrieben, sondern es wird nur noch angegeben, mit wievielen Teilchen jeder mögliche Ein-Teilchen-Zustand besetzt ist. Es wird sich zeigen, daß die derart charakterisierten Zustände durch die sukzessive Einwirkung von Erzeugungs-operatoren auf einen Vakuumzustand erzeugt werden können. Wir beschränken unsere Beschäftigung mit dieser Darstellung zunächst auf den Fall, daß die Ein-Teilchen-Zustände der betrachteten identischen Teilchen vollständig durch die Eigenzustände eines Operators mit diskretem Spektrum beschrieben werden können. Wie die dabei erzielten Ergebnisse auf den Fall eines kontinuierlichen Spektrums übertragen werden können, ist evident und wird bei der Einführung von Feldoperatoren demonstriert.
Die Konstruktion vollständig symmetrischer bzw. vollständig antisymmetrischer Zustände durch Superposition von Viel-Teilchen-Zuständen, bei denen formal zwischen — an sich ununterscheidbaren — identischen Teilchen unterschieden wird, ist einerseits konzeptionell unbefriedigend und andererseits auch umständlich. Es gibt jedoch auch eine Darstellung ohne dieses Manko. Bei dieser wird das System identischer Teilchen nicht mehr durch Permutationen konkreter, aus Ein-Teilchen-Zuständen aufgebauter Viel-Teilchen-Zustände beschrieben, sondern es wird nur noch angegeben, mit wievielen Teilchen jeder mögliche Ein-Teilchen-Zustand besetzt ist. Es wird sich zeigen, daß die derart charakterisierten Zustände durch die sukzessive Einwirkung von Erzeugungs-operatoren auf einen Vakuumzustand erzeugt werden können. Wir beschränken unsere Beschäftigung mit dieser Darstellung zunächst auf den Fall, daß die Ein-Teilchen-Zustände der betrachteten identischen Teilchen vollständig durch die Eigenzustände eines Operators mit diskretem Spektrum beschrieben werden können. Wie die dabei erzielten Ergebnisse auf den Fall eines kontinuierlichen Spektrums übertragen werden können, ist evident und wird bei der Einführung von Feldoperatoren demonstriert.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In den vorangegangenen Kapiteln bezogen sich unsere Überlegungen auf Systeme, die aus genau einem Teilchen bestehen. Wir haben gelernt, wie solche Ein-Teilchen-Systeme quantenmechanisch zu beschreiben sind. Wir müssen uns nun Gedanken darüber machen, was bei der Behandlung von Mehr-Teilchen-Systemen zusätzlich zu beachten ist. Es wird sich als notwendig herausstellen, strikt die sogenannten unterscheidbaren von den ununterscheidbaren, d. h. identischen Teilchen, zu trennen. Unterscheidbar heißt, daß es irgendeine physikalische Eigenschaft gibt (Masse, Ladung, Spin,...), durch die sich die Einzelteilchen gegeneinander abheben, so daß es im Prinzip möglich ist, durch eine entsprechende Messung die Teilchen zu identifizieren. Identische Teilchen stimmen dagegen in allen ihren Eigenschaften überein, sind deshalb durch keine Messung voneinander zu unterscheiden. So sind Elektronen und Protonen aufgrund unterschiedlicher Masse und unterschiedlicher Ladung unterscheidbar, die Elektronen unter sich sowie die Protonen unter sich sind dagegen identisch.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ausbau der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie (HFB-Theorie), bzw. mit der Frage nach deren Exaktheit. Es werden sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme betrachtet, wobei auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Statistiken Wert gelegt wurde. Eine zentrale Rolle für die jeweiligen Variationsprinzipien spielen in beiden Fällen die sogenannten quasi-freien Zustände, die durch das Verschwinden ihrer höheren trunkierten Korrelationen charakterisiert sind. Dieses letzte Phänomen untersuchen wir im bosonischen Fall im Detail. Durch die Übertragung des von Bach, Lieb und Solovej erbrachten Beweises der 1:1-Relation zwischen verallgemeinerten Dichtematrizen und quasi-freien Zuständen vom fermionischen in den bosonischen Kontext, können wir die Variationsprinzipien auf den konvexen Mengen der verallgemeinerten Dichtematrizen formulieren. Wir erhalten auf diese Weise einen deutlich einfacheren und konstruktiveren Beweis als beispielsweise den bereits bekannten Beweis der 1:1-Relation von Araki. Außerdem verallgemeinern wir auf den Fall nichtverschwindender Einpunktsfunktionen. Parallel entwickeln wir für beide Statistiken die mächtige Methode der kohärenten Zustände, wobei auch hier auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Fälle Wert gelegt wird. Dieser Teil der Arbeit kulminiert in der Berechnung des generierenden Funktionals von Gibbszuständen allgemeiner quadratischer Operatoren, die die Teilchenzahl möglicherweise nicht erhalten. Im bosonischen Fall können wir dieses Resultat benutzen, um die Quasi-Freiheit dieser Zustände zu zeigen. Wir beschäftigen uns dann mit der Behandlung wechselwirkender Vielteilchensysteme mit periodischen Randbedingungen. Hierbei betrachten wir Wechselwirkungen, die ähnlich wie das Coulomb Potential, als gewichtetes Mittel eines Produktes von lokalisierten Funktionen geschrieben werden können. Anders als etwa Fefferman und de la Llave oder Hainzel und Seiringer, nehmen wir als Lokalisierungsfunktionen periodifizierte Gaußfunktionen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Approximationsfehler der HFB-Theorie zu kontrollieren sei. Eine wichtige Rolle spielen hierbei die sogenannten Korrelationsungleichungen, die es erlauben Erwartungswerte in quartischen Ausdrücken in den Teilchenvernichtern und Erzeugern möglichst ausschließlich durch quadratische solche abzuschätzen. Im fermionischen Fall stellt sich heraus, dass insbesondere normalgeordnete quartische Ausdrücke zu kontrollieren sind. Wir leiten eine entsprechende Korrelationsungleichung her, die allgemeiner als die von Bach sowie von Graf und Solovej verwendete ist, und benützen diese um die Grundzustandsenergie des fermionischen Jellium Modells nach unten abzuschätzen. Wir erhalten hierbei ein ähnliches Resultat wie das bereits bekannte. Im bosonischen Fall gelingt es lediglich eine Korrelationsungleichung herzuleiten, auf deren rechter Seite auch quartische Erwartungswerte des Typs des Quadrates des Teilchenzahloperators vorkommen. Dies überrascht jedoch nicht.
Für lokale Wechselwirkungen zwischen asymptotisch freien Teilchen bietet die QED eine äußerst exakte Beschreibung. Anders sieht es jedoch für gebundene Teilchen aus, wo die Teilchen "kontinuierlich" wechselwirken. Für zwei Teilchen existiert zwar die Bethe-Salpeter-Gleichung, die jedoch diverse Interpretationsprobleme aufwirft; für mehr als zwei gebundene Teilchen gibt es noch keine ausgereiften Ansätze. Für gebundene Mehrteilchenprobleme werden deshalb Energiewerte gewöhnlich zuerst semiklassisch berechnet und dann die entsprechenden QED-Korrekturen hinzu addiert. In der vorliegenden Dissertation werden gebundene Mehrteilchenprobleme auf der Grundlage der Relativistischen Schrödinger Theorie (RST) untersucht. Hierbei handelt es sich um einen alternativen fluiddynamischen Ansatz, der auf einer grundlegend anderen Struktur als die konventionelle Quantenmechanik basiert, indem nämlich zur Beschreibung von Mehrteilchenzuständen keine Produktstruktur sondern eine Summenstruktur (Whitney-Summe) verwendet wird. Zudem wird im Rahmen der RST von einer erweiterten Strukturgruppe Gebrauch gemacht, die es ermöglicht, die Austauschwechselwirkungen zwischen identischen Teilchen und die elektromagnetischen Wechselwirkungen auf dieselbe Weise zu behandeln. Dieser Ansatz ermöglicht es auch, QED-analoge Korrekturen, wie z.B. der Selbstwechselwirkung, auf nicht-störungstheoretische Weise in die Theorie zu integrieren. In der hier vorliegenden Arbeit wird nun der allgemeine RST-Ansatz auf den Fall heliumähnlicher Ionen spezialisiert. Es zeigt sich dabei, dass für den semiklassischen Fall ohne Selbstwechselwirkungskorrekturen die mithilfe der RST gewonnenen Wechselwirkungs- und Ionisierungsenergien in derselben Größenordnung liegen wie konventionelle Rechnungen. Die Einbeziehung von Selbstwechselwirkungskorrekturen erfolgt im konventionellen Fall durch Addition dieser Korrekturen zu den semiklassischen Berechnungen, wohingegen bei der RST die Theorie selbst eine Möglichkeit bietet, die Selbstwechselwirkungen exakt zu behandeln, indem man den RST-Selbstwechselwirkungsparameter ungleich Null wählt. Vergleicht man nun die konventionellen Berechnungen und die analogen RST-Ergebnisse mit den experimentellen Daten, so zeigt es sich, dass die RST-Voraussagen für die Ionisierungs-, bzw. Wechselwirkungsenergien näher an den experimentellen Daten liegen als die konventionellen Berechnungen. Die Übereinstimmung mit den experimentellen Daten wird bei wachsender Kernladungszahl (Z>30) immer besser, wenn man den Selbstwechselwirkungsparameter der RST bei einer möglichst hohen Kernladungszahl festlegt (z.B. Wismuth, Z=83).