Le Theoreme de Noether de la mecanique lagrangienne classique, dans le cas des lagrangiens quadratiques par rapport aux vitesses, est etendu a une classe de processus de diffusion a valeurs dans R 3 , dont la matrice de diffusion est proportionnelle a l'identite. Lorsque la constante de proportionnalite se reduit a zero, nous retrouvons le theoreme usuel. Nous montrons que ce resultat s'interprete en terme d'integrale de Feynman dans le cadre de la mecanique quantique non relativiste. Par prolongement analytique par rapport a la variable temporelle, ce resultat fournit un nouveau Theoreme concernant les symetries de la mecanique quantique usuelle.
Le Theoreme de Noether de la mecanique lagrangienne classique, dans le cas des lagrangiens quadratiques par rapport aux vitesses, est etendu a une classe de processus de diffusion a valeurs dans R 3 , dont la matrice de diffusion est proportionnelle a l'identite. Lorsque la constante de proportionnalite se reduit a zero, nous retrouvons le theoreme usuel. Nous montrons que ce resultat s'interprete en terme d'integrale de Feynman dans le cadre de la mecanique quantique non relativiste. Par prolongement analytique par rapport a la variable temporelle, ce resultat fournit un nouveau Theoreme concernant les symetries de la mecanique quantique usuelle.
For the largest class of physical systems having a classical analog, a new rigorous, but not probabilistic, Lagrangian version of nonrelativistic quantum mechanics is given, in terms of a notion of regularized action function. As a consequence of the study of the symmetries of this action, an associated Nœther theorem is obtained. All the quantum symmetries resulting from the canonical quantization procedure follow in this way, as well as a number of symmetries which are new even for the case of the simplest systems. The method is based on the study of a corresponding Lie algebra and an analytical continuation in the time parameter of the probabilistic construction given in paper I of this work. Generically, the associated quantum first integrals are time dependent and the probabilistic model provides a natural interpretation of the new symmetries. Various examples illustrate the physical relevance of our results.
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence
Outre l'etude d'une classe de potentiels quasi-exactement soluble, ce travail contient des resultats originaux obtenus dans le cadre des integrales de parcours : 1) le propagateur relatif a une particule confinee dans un secteur a ete obtenu dans le formalisme de Feynman et dans l'espace des phases, la particule etant soumise a un potentiel harmonique et a un potentiel coulombien. Il a ete etabli que pour certaines valeurs de l'angle d'ouverture, le propagateur est la somme de termes correspondant aux contributions de tous les parcours classiques. La singularite coulombienne engendrant l'effondrement du propagateur, a pu etre rejetee a l'infini moyennant une transformation spatio-temporelle, ramenant ainsi le probleme a celui, bien connu, du potentiel de Poschel-Teller modifie. 2. La ressemblance formelle existant entre les integrales de parcours et les integrales de Wiener, a permis de resoudre de nombreux problemes de la physique statistique. Nous avons ainsi remplace dans nos calculs, le potentiel quantique de depart, par un potentiel effectif classique harmonique. Cette approximation nous a permis d'etudier, dans divers systemes de coordonnees, l'energie libre et la densite de particules d'un systeme soumis a des familles de potentiels de type coulombien perturbe et oscillateur anharmonique, en tenant compte de l'isotropie, ou de l'anisotropie de la pulsation du potentiel effectif classique. 3. Le propagateur relatif au lagrangien quadratique en vitesse a pu etre obtenu par la methode polygonale, en exploitant la forme doublement quadratique du lagrangien, qui a permis d'ecrire l'action sous forme matricielle, et d'obtenir, par integrations successives, la forme habituelle du propagateur
We present an old and regretfully forgotten method by Jacobi which allows one to find many Lagrangians of simple classical models and also of nonconservative systems. We underline that the knowledge of Lie symmetries generates Jacobi last multipliers and each of the latter yields a Lagrangian. Then it is shown that Noether's theorem can identify among those Lagrangians the physical Lagrangian(s) that will successfully lead to quantization. The preservation of the Noether symmetries as Lie symmetries of the corresponding Schrödinger equation is the key that takes classical mechanics into quantum mechanics. Some examples are presented.