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Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

Uncertainty principle and joint distributions of observables

Sylvia Pulmannová, Anatolij Dvurečenskij

Published Jan 1, 1985• 12 citations
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Abstract

Connections between Heisenberg uncertainty relations and the existence of joint probability distributions of corresponding observables in the frame of quantum logics are investigated. It is shown that, provided the set of physical states is sufficient, uncertainly relations imply the nonexistence of joint probability distributions in any state On etudie la relation entre les relations d'incertitude de Heisenberg et l'existence de distributions de probabilites multiples des observables correspondants dans le cadre des logiques quantiques. On montre que, si l'ensemble des etats physiques est suffisant, les relations d'incertitude impliquent la non existence des distributions de probabilite multiples dans quelque etat que ce soit

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Uncertainty relations and state spaces

Sylvia Pulmannová

We show that on a quantum logic L which has a sufficient set of states S(L) with the property: for every two noncompatible elements a, b of L there is a state s∈S(L) such that s(a)=s(b)=1, the uncertainty relations cannot be satisfied for any pair of observables on L On montre que si une logique quantique L a un ensemble d'etats S(L) assez grand, alors la relation d'incertitude ne peut etre satisfaite pour aucune paire d'observables de L

•Jan 1, 1988•1 citation

La distribution de Kirkwood-Dirac comme outil de l'information quantique

Christopher Langrenez

Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.

•Jun 30, 2025•0 citations

Heisenberg's Uncertainty Principle

Heisenberg's uncertainty principle is usually taken to express a limitation of operational possibilities imposed by quantum mechanics.Here we demonstrate that the full content of this principle also includes its positive role as a condition ensuring that mutually exclusive experimental options can be reconciled if an appropriate trade-off is accepted.The uncertainty principle is shown to appear in three manifestations, in the form of uncertainty relations: for the widths of the position and momentum distributions in any quantum state; for the inaccuracies of any joint measurement of these quantities; and for the inaccuracy of a measurement of one of the quantities and the ensuing disturbance in the distribution of the other quantity.Whilst conceptually distinct, these three kinds of uncertainty relations are shown to be closely related formally.Finally, we survey models and experimental implementations of joint measurements of position and momentum and comment briefly on the status of experimental tests of the uncertainty principle.

WORLD SCIENTIFIC eBooks•May 1, 2000•0 citations

Kirkwood-Dirac distribution as a tool in quantum information

Christopher Langrenez

Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.

•Jun 30, 2025•0 citations

Joint distributions, the uncertainty principle and positive distributions

Leon W. Cohen

We examine the construction of joint probabilities for non-commuting observables. We show that there are indications in standard quantum mechanics that imply the existence of conditional expectation values, which in turn implies the existence of a joint distribution. We also argue that the uncertainty principle has no bearing on the existence of joint distributions but only constrains the marginal distributions. In addition, we show that within classical probability theory there are mathematical quantities that are similar to quantum mechanical wave functions. This is shown by generalising a theorem of Khinchin on the necessary and sufficient conditions for a function to be a characteristic function.

Mathematical Structures in Computer Science•Mar 28, 2014•0 citations

A Remark on Joint Probability Distributions for Quantum Observables

Slawomir Bugajski

A simple formal result concerning joint probability distributions in quantum mechanics is obtained. It is shown that some relatively weak properties of the joint distributions cannot be satisfied in the scope of standard quantum mechanics.

Zeitschrift für Naturforschung A•Nov 1, 1978•4 citations
Connections between Heisenberg uncertainty relations and the existence of joint probability distributions of corresponding observables in the frame of quantum logics are investigated. It is shown that, provided the set of physical states is sufficient, uncertainly relations imply the nonexistence of joint probability distributions in any state On etudie la relation entre les relations d'incertitude de Heisenberg et l'existence de distributions de probabilites multiples des observables correspondants dans le cadre des logiques quantiques. On montre que, si l'ensemble des etats physiques est suffisant, les relations d'incertitude impliquent la non existence des distributions de probabilite multiples dans quelque etat que ce soit
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
Heisenberg's uncertainty principle is usually taken to express a limitation of operational possibilities imposed by quantum mechanics.Here we demonstrate that the full content of this principle also includes its positive role as a condition ensuring that mutually exclusive experimental options can be reconciled if an appropriate trade-off is accepted.The uncertainty principle is shown to appear in three manifestations, in the form of uncertainty relations: for the widths of the position and momentum distributions in any quantum state; for the inaccuracies of any joint measurement of these quantities; and for the inaccuracy of a measurement of one of the quantities and the ensuing disturbance in the distribution of the other quantity.Whilst conceptually distinct, these three kinds of uncertainty relations are shown to be closely related formally.Finally, we survey models and experimental implementations of joint measurements of position and momentum and comment briefly on the status of experimental tests of the uncertainty principle.
Dans cette thèse, on étudie les représentations quasi-probabilistes de la mécanique quantique dites de Kirkwood-Dirac sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Pour deux bases orthonormées de l'espace de Hilbert, on associe à chaque état quantique sa distribution de quasi-probabilité de Kirkwood-Dirac, qui est une mesure complexe de masse un. L'intérêt croissant pour la distribution de Kirkwood-Dirac s'explique par l'émergence de l'étude de systèmes quantiques discrets où les valeurs non positives de la quasi-probabilité sont liées à l'obtention d'avantages quantiques. Une tâche importante est donc d'identifier, pour deux bases fixées, l'ensemble convexe des états dont la distribution de Kirkwood-Dirac est partout positive, appelés états Kirkwood-Dirac positifs. Il s'agit d'identifier l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs purs, puis de vérifier si leur enveloppe convexe épuise tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Un premier résultat de la thèse est structurel : il montre que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les seuls états purs Kirkwood-Dirac positifs sont les états des deux bases et que leur enveloppe convexe contient tous les états Kirkwood-Dirac positifs. Ce résultat permet d'identifier les observables dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel et les observables positives dont le symbole de Kirkwood-Dirac est positif. De plus, on prouve que, pour presque tous les choix de deux bases orthonormées, les unitaires préservant l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs sont triviaux. Ces résultats impliquent que les représentations de Kirkwood-Dirac de la mécanique quantique ne pourront pas, avec probabilité un, être utilisées pour simuler efficacement de manière classique des circuits quantiques non triviaux.Dans de nombreuses situations, les deux bases utilisées pour construire la représentation quasi-probabiliste de Kirkwood-Dirac sont explicites et directement liées à une situation physique spécifique. La structure de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs peut alors être plus complexe. Une classe d'exemples est fournie par les deux bases naturellement associées à la transformée de Fourier sur un groupe abélien fini, dont la transformée de Fourier discrète est un exemple important. Dans ce cadre, on identifie l'ensemble des états purs Kirkwood-Dirac positifs qui sont classifiés à l'aide de sous-groupes du groupe de Heisenberg associé au groupe abélien. De plus, tout opérateur auto-adjoint dont le symbole de Kirkwood-Dirac est réel s'écrit comme une combinaison linéaire réelle des projecteurs de rang un associés aux états purs Kirkwood-Dirac positifs. Dans le cas particulier du groupe cyclique dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier, on montre que les états Kirkwood-Dirac positifs sont uniquement les combinaisons convexes des états purs Kirkwood-Dirac positifs. D'autres exemples sont donnés pour lesquels des états Kirkwood-Dirac positifs ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs, exhibant une géométrie plus complexe que celles décrites précédemment.Pour déterminer si un état donné n'appartient pas à l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs, on construit habituellement des témoins de non-positivité. Dans cette thèse, on construit, par une méthode de toit convexe, deux tels témoins : le toit convexe du support d'incertitude et le toit convexe de la Kirkwood-Dirac non-positivité. Ces témoins fournissent des critères (nécessaires et) suffisants pour déterminer si un état quantique n'appartient pas à l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs. Le premier étend aux états mixtes le lien entre une valeur élevée du support d'incertitude et la Kirkwood-Dirac non-positivité de l'état. Le second permet de distinguer l'enveloppe convexe des états purs Kirkwood-Dirac positifs de l'ensemble des états Kirkwood-Dirac positifs qui ne s'écrivent pas comme une combinaison convexe d'états purs Kirkwood-Dirac positifs.
We examine the construction of joint probabilities for non-commuting observables. We show that there are indications in standard quantum mechanics that imply the existence of conditional expectation values, which in turn implies the existence of a joint distribution. We also argue that the uncertainty principle has no bearing on the existence of joint distributions but only constrains the marginal distributions. In addition, we show that within classical probability theory there are mathematical quantities that are similar to quantum mechanical wave functions. This is shown by generalising a theorem of Khinchin on the necessary and sufficient conditions for a function to be a characteristic function.