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Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique

Propagation and local-decay properties for long-range scattering of quantum three-body systems

Monique Combescure

Published Jan 1, 1985• 1 citation
OpenAlex

Abstract

We consider quantum three-body systems interacting via long-range two-body potentials that have arbitrary |x| − e decrease at infinity and a few regularity assumptions (Hormander's potentials). We prove that, in the continuous spectral subspace of the hamiltonian, the states that are orthogonal to all two-cluster channels represent particles which, asymptotically in time: get arbitrarily far separated from each other, are outgoing relative to each other (or incoming if time is reversed). We borrow Hormander's stationary phase estimates, and ideas from Kitada-Yajima for the systematic use of suitable Fourier integral operators in long-range problems. The above results are major steps on the time dependent route proposed by Enss for the proof of three-body asymptotic completeness. The final steps, still for Hormander's potentials, will be given in a subsequent publication On considere des systemes quantiques a 3 corps interagissant par des potentiels de paire a longue portee de decroissance arbitraire |x| − e a l'infini et satisfaisant quelques conditions de regularite locale. On montre que dans le sous-espace spectral continu de l'hamiltonien, les etats qui sont orthogonaux a tous les sous-canaux a 2 corps representent des particules qui, asymptotiquement dans le temps: s'eloignent asymptotiquement 2 a 2; sont 2 a 2 dans un etat «sortant» (ou «entrant» si l'on change le signe du temps). On emprunte les estimations de phase stationnaire de Hormander, et des idees dues a Kitada-Yajima pour l'utilisation systematique dans les problemes a longue portee de certains operateurs integraux de Fourier. Les resultats ci-dessus sont des etapes majeures de la methode «dependant du temps» proposee par Enss pour la preuve de la completude asymptotique a 3 corps

Related papers

On the completeness in three body scattering

Kalyan B. Sinha, M. Krishna, Pl. Muthuramalingam

A time dependent proof of asymptotic completeness for the three body scattering in Quantum Mechanics is given when the pair potentials behave like (1+|x|) −2− e at ∞. Also some local singularity is allowed for the potentials On donne une demonstration «dependant du temps» de la completude asymptotique pour la diffusion a 3 corps en mecanique quantique lorsque les potentiels a 2 corps se comportent en (1+|x|) −2− e a l'infini. On permet des singularites locales de ces potentiels

Annales De L Institut Henri Poincare-physique Theorique•Jan 1, 1984•3 citations

Trapped cold atoms with resonant interactions (unitary gas and three-body problem)

Félix Werner, Yvan Castin

Au voisinage d'une résonance de Feshbach, les interactions entre atomes froids sont fortes car leur longueur de diffusion diverge. De plus les interactions ont une portée faible, ce qui permet généralement de les modéliser par un pseudopotentiel de portée nulle. La limite d'une longueur de diffusion infinie et d'une portée nulle est appelée limite unitaire. Dans cette thèse, nous obtenons des résultats analytiques pour N particules à la limite unitaire, piégées par un potentiel extérieur harmonique isotrope. Plus précisément, nous montrons que l'hyperrayon, un degré de liberté collectif décrivant la taille globale du gaz, est séparable. Ceci nous permet de déterminer la dépendance en l'hyperrayon des fonctions d'ondes à N corps. Nous nous restreignons ensuite au cas de N=3 particules. Nous résolvons complètement le problème à 3 corps, en utilisant l'approche d'Efimov. Pour des particules bosoniques, nous obtenons deux types d'états propres: d'une part les états universels, qui ne dépendent que de la fréquence d'oscillation d'une particule dans le piège, de la masse des particules et de la constante de Planck; d'autre part les états efimoviens, qui dépendent aussi d'un paramètre à trois corps, de façon analogue aux états liés découverts par Efimov en l'absence de potentiel extérieur. Dans une expérience, nous prédisons que les états universels ont une longue durée de vie, ce qui est inhabituel pour des atomes bosoniques. Nous montrons que cette durée de vie est déterminé par le couplage des états universels aux états efimoviens induit par la portée non nulle des interactions. D'autres résultats concernant N particules en interaction résonnante portent sur les résonances à N corps et des théorèmes du viriel.

•Jan 1, 2008•1 citation

TIME-DEPENDENT SCATTERING THEORY OF N-BODY QUANTUM SYSTEMS

W. HUNZIKER, Israel Michael Sigal

We give a full and self contained account of the basic results in N-body scattering theory which emerged over the last ten years: The existence and completeness of scattering states for potentials decreasing like r-μ, [Formula: see text]. Our approach is a synthesis of earlier work and of new ideas. Global conditions on the potentials are imposed only to define the dynamics. Asymptotic completeness is derived from the fact that the mean square diameter of the system diverges like t2 as t → ±∞ for any orbit ψt which is separated in energy from thresholds and eigenvalues (a generalized version of Mourre's theorem involving only the tails of the potentials at large distances). We introduce new propagation observables which considerably simplify the phase–space analysis. As a topic of general interest we describe a method of commutator expansions.

Reviews in Mathematical Physics•Aug 1, 2000•55 citations

Atomes froids piégés en interaction résonnante: gaz unitaire et problème à trois corps

Félix Werner

Au voisinage d'une résonance de Feshbach, les interactions entre atomes froids sont fortes car la longueur de diffusion diverge. De plus les interactions ont une portée faible, ce qui permet généralement de les modéliser par un pseudopotentiel de portée nulle. La limite d'une longueur de diffusion infinie et d'une portée nulle est appelée limite unitaire. Nous résolvons le problème à 3 corps à la limite unitaire dans un piège harmonique isotrope. Pour des particules bosoniques, nous obtenons deux types d'états propres: d'une part les états universels, qui ne dépendent que de la fréquence d'oscillation d'une particule dans le piège, de la masse des particules et de la constante de Planck; d'autre part les états efimoviens, qui dépendent aussi d'un paramètre à trois corps, de façon analogue aux états liés découverts par Efimov en l'absence de potentiel extérieur. Dans une expérience, nous prédisons que les états universels ont une longue durée de vie, ce qui est inhabituel pour des atomes bosoniques. Cette durée de vie est limitée par le couplage des états universels aux états efimoviens induit par la portée non nulle des interactions. Pour le problème à N corps, nous montrons que l'hyperrayon, un degré de liberté collectif décrivant la taille globale du gaz, est séparable. Nous déterminons ainsi la dépendance en l'hyperrayon des fonctions d'ondes à N corps. Nous déduisons une relation sur les fluctuations thermiques de la taille du gaz. Nos résultats se généralisent à certaines résonances à N corps. Dans un piège tournant à une vitesse suffisante, nous montrons dans le cadre de l'hydrodynamique superfluide que le gaz unitaire devient dynamiquement instable. Pour un piège et une dimension d'espace quelconques, nous obtenons de nouveaux théorèmes du viriel pour différents types d'interactions entre atomes. Dans le cas de la transition BEC-BCS dans un piège harmonique, nous déduisons que l'énergie potentielle de piégeage a un point d'inflexion à la limite unitaire si la longueur de diffusion est changée adiabatiquement.

•Jul 10, 2008•2 citations

New Channels of Scattering for Long-Range Potential

Dimitri R. Yafaev

We consider a system of three one-dimensional particles with one of pair potentials V α ( x α ) decaying at infinity as \( |{{x}^{\alpha }}{{|}^{{ - \rho }}},0 < \rho < 1/2 \) . It is shown that such a system can possess channels of scattering not included in the usual list of channels called the asymptotic completeness. Similar channels arise in a two-body system with a long-range potential if a traditional condition on its derivatives is relaxed. These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Birkhäuser Basel eBooks•Jan 1, 1995•0 citations

Quelques aspects du chaos quantique dans les systèmes de N-corps en interaction : chaînes de spins quantiques et matrices aléatoires

Y. Y. Atas

Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.

•Sep 24, 2014•1 citation
We consider quantum three-body systems interacting via long-range two-body potentials that have arbitrary |x| − e decrease at infinity and a few regularity assumptions (Hormander's potentials). We prove that, in the continuous spectral subspace of the hamiltonian, the states that are orthogonal to all two-cluster channels represent particles which, asymptotically in time: get arbitrarily far separated from each other, are outgoing relative to each other (or incoming if time is reversed). We borrow Hormander's stationary phase estimates, and ideas from Kitada-Yajima for the systematic use of suitable Fourier integral operators in long-range problems. The above results are major steps on the time dependent route proposed by Enss for the proof of three-body asymptotic completeness. The final steps, still for Hormander's potentials, will be given in a subsequent publication On considere des systemes quantiques a 3 corps interagissant par des potentiels de paire a longue portee de decroissance arbitraire |x| − e a l'infini et satisfaisant quelques conditions de regularite locale. On montre que dans le sous-espace spectral continu de l'hamiltonien, les etats qui sont orthogonaux a tous les sous-canaux a 2 corps representent des particules qui, asymptotiquement dans le temps: s'eloignent asymptotiquement 2 a 2; sont 2 a 2 dans un etat «sortant» (ou «entrant» si l'on change le signe du temps). On emprunte les estimations de phase stationnaire de Hormander, et des idees dues a Kitada-Yajima pour l'utilisation systematique dans les problemes a longue portee de certains operateurs integraux de Fourier. Les resultats ci-dessus sont des etapes majeures de la methode «dependant du temps» proposee par Enss pour la preuve de la completude asymptotique a 3 corps
Au voisinage d'une résonance de Feshbach, les interactions entre atomes froids sont fortes car leur longueur de diffusion diverge. De plus les interactions ont une portée faible, ce qui permet généralement de les modéliser par un pseudopotentiel de portée nulle. La limite d'une longueur de diffusion infinie et d'une portée nulle est appelée limite unitaire. Dans cette thèse, nous obtenons des résultats analytiques pour N particules à la limite unitaire, piégées par un potentiel extérieur harmonique isotrope. Plus précisément, nous montrons que l'hyperrayon, un degré de liberté collectif décrivant la taille globale du gaz, est séparable. Ceci nous permet de déterminer la dépendance en l'hyperrayon des fonctions d'ondes à N corps. Nous nous restreignons ensuite au cas de N=3 particules. Nous résolvons complètement le problème à 3 corps, en utilisant l'approche d'Efimov. Pour des particules bosoniques, nous obtenons deux types d'états propres: d'une part les états universels, qui ne dépendent que de la fréquence d'oscillation d'une particule dans le piège, de la masse des particules et de la constante de Planck; d'autre part les états efimoviens, qui dépendent aussi d'un paramètre à trois corps, de façon analogue aux états liés découverts par Efimov en l'absence de potentiel extérieur. Dans une expérience, nous prédisons que les états universels ont une longue durée de vie, ce qui est inhabituel pour des atomes bosoniques. Nous montrons que cette durée de vie est déterminé par le couplage des états universels aux états efimoviens induit par la portée non nulle des interactions. D'autres résultats concernant N particules en interaction résonnante portent sur les résonances à N corps et des théorèmes du viriel.
We give a full and self contained account of the basic results in N-body scattering theory which emerged over the last ten years: The existence and completeness of scattering states for potentials decreasing like r-μ, [Formula: see text]. Our approach is a synthesis of earlier work and of new ideas. Global conditions on the potentials are imposed only to define the dynamics. Asymptotic completeness is derived from the fact that the mean square diameter of the system diverges like t2 as t → ±∞ for any orbit ψt which is separated in energy from thresholds and eigenvalues (a generalized version of Mourre's theorem involving only the tails of the potentials at large distances). We introduce new propagation observables which considerably simplify the phase–space analysis. As a topic of general interest we describe a method of commutator expansions.
Au voisinage d'une résonance de Feshbach, les interactions entre atomes froids sont fortes car la longueur de diffusion diverge. De plus les interactions ont une portée faible, ce qui permet généralement de les modéliser par un pseudopotentiel de portée nulle. La limite d'une longueur de diffusion infinie et d'une portée nulle est appelée limite unitaire. Nous résolvons le problème à 3 corps à la limite unitaire dans un piège harmonique isotrope. Pour des particules bosoniques, nous obtenons deux types d'états propres: d'une part les états universels, qui ne dépendent que de la fréquence d'oscillation d'une particule dans le piège, de la masse des particules et de la constante de Planck; d'autre part les états efimoviens, qui dépendent aussi d'un paramètre à trois corps, de façon analogue aux états liés découverts par Efimov en l'absence de potentiel extérieur. Dans une expérience, nous prédisons que les états universels ont une longue durée de vie, ce qui est inhabituel pour des atomes bosoniques. Cette durée de vie est limitée par le couplage des états universels aux états efimoviens induit par la portée non nulle des interactions. Pour le problème à N corps, nous montrons que l'hyperrayon, un degré de liberté collectif décrivant la taille globale du gaz, est séparable. Nous déterminons ainsi la dépendance en l'hyperrayon des fonctions d'ondes à N corps. Nous déduisons une relation sur les fluctuations thermiques de la taille du gaz. Nos résultats se généralisent à certaines résonances à N corps. Dans un piège tournant à une vitesse suffisante, nous montrons dans le cadre de l'hydrodynamique superfluide que le gaz unitaire devient dynamiquement instable. Pour un piège et une dimension d'espace quelconques, nous obtenons de nouveaux théorèmes du viriel pour différents types d'interactions entre atomes. Dans le cas de la transition BEC-BCS dans un piège harmonique, nous déduisons que l'énergie potentielle de piégeage a un point d'inflexion à la limite unitaire si la longueur de diffusion est changée adiabatiquement.
We consider a system of three one-dimensional particles with one of pair potentials V α ( x α ) decaying at infinity as ∣xα∣−ρ,0<ρ<1/2 |{{x}^{\alpha }}{{|}^{{ - \rho }}},0 < \rho < 1/2 ∣xα∣−ρ,0<ρ<1/2 . It is shown that such a system can possess channels of scattering not included in the usual list of channels called the asymptotic completeness. Similar channels arise in a two-body system with a long-range potential if a traditional condition on its derivatives is relaxed. These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.