Bei der angegebenen Formel für die Übergangswahrscheinlichkeit der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen wurde stillschweigend vorausgesetzt, daß die Skalen der Ortsmeßgeräte in bestimmter Weise geeicht sind. Es ist sofort klar, daß man bei einem Skalenwechsel eine wesenthch andere Funktion für die Wahrscheinhch- keitsdichte erhalten kann. Die besondere Gestalt der Übergangswahrscheinhchkeit hat ermöghcht, daß man für das hneare Paar der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen als Abbildung U die Fouriertransformation verwenden kann. Die besondere Gestalt der Übergangswahrscheinhchkeit hat ermöghcht, daß man für das hneare Paar der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen als Abbildung U die Fouriertransformation verwenden kann. Auch diese besonders einfache Form bleibt bei einem beliebigen Skalenwechsel nicht erhalten, besonders wenn man auch den höherdimensionalen Fall berücksichtigt. Dagegen erkennt man, daß die Formel für die Über-gangswahrscheinhchkeit sich nicht verändert, wenn man x ersetzt durch X + a. Dies bedeutet anschauhch, daß die Skaleneichung der Ortsmessung so durchgeführt wird, daß ein durch a beschriebener Transport des Präparierteils nicht die Übergangswahrscheinhchkeit verändert. Dies ist das Modell des homogenen leeren Raums. Wenn das Modell nicht zutrifft, wird der Raum als nicht leer bezeichnet.
Bei der angegebenen Formel für die Übergangswahrscheinlichkeit der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen wurde stillschweigend vorausgesetzt, daß die Skalen der Ortsmeßgeräte in bestimmter Weise geeicht sind. Es ist sofort klar, daß man bei einem Skalenwechsel eine wesenthch andere Funktion für die Wahrscheinhch- keitsdichte erhalten kann. Die besondere Gestalt der Übergangswahrscheinhchkeit hat ermöghcht, daß man für das hneare Paar der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen als Abbildung U die Fouriertransformation verwenden kann. Die besondere Gestalt der Übergangswahrscheinhchkeit hat ermöghcht, daß man für das hneare Paar der Orts- und Geschwindigkeitsmessungen als Abbildung U die Fouriertransformation verwenden kann. Auch diese besonders einfache Form bleibt bei einem beliebigen Skalenwechsel nicht erhalten, besonders wenn man auch den höherdimensionalen Fall berücksichtigt. Dagegen erkennt man, daß die Formel für die Über-gangswahrscheinhchkeit sich nicht verändert, wenn man x ersetzt durch X + a. Dies bedeutet anschauhch, daß die Skaleneichung der Ortsmessung so durchgeführt wird, daß ein durch a beschriebener Transport des Präparierteils nicht die Übergangswahrscheinhchkeit verändert. Dies ist das Modell des homogenen leeren Raums. Wenn das Modell nicht zutrifft, wird der Raum als nicht leer bezeichnet.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefmierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärferelation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts-und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und führt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen auftreten, bereits besprochen, aber nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß vieles bei Mehrelektronen-Atomen ganz ähnlich ist. Um ein System mit mehreren Elektronen behandeln zu können, müssen wir uns jedoch zuerst mit den eigentümlichen Konsequenzen befassen, die aus den quantenmechanischen Regeln für ein System von gleichen Teilchen folgen. Es ist ja nicht möglich, ein einzelnes Elektron oder ein anderes Teilchen in irgendeiner Weise zu markieren, so daß seine Identität zu einem späteren Zeitpunkt oder an einem anderen Ort festgestellt werden kann. Bei zwei Elektronen, die durch wohldefinierte Wellenpakete beschrieben werden und die weit voneinander entfernt sind, braucht man keine Verwechslung zu befürchten. Innerhalb der Ausdehnung des Wellenpakets, d. h. innerhalb eines Bereiches, in dem die Unschärfe-relation gilt, ist es jedoch prinzipiell nicht möglich, die Koordinaten eines Teilchens zu verfolgen. Sobald sich daher die beiden Elektronen gleichzeitig in ein Gebiet des Orts- und Impulsraums bewegen, das durch die Unschärferelation umrissen ist, gibt es prinzipiell keine Möglichkeit mehr, die Koordinaten der Teilchen auseinanderzuhalten. Bei allen quantenmechanischen Aussagen müssen wir dem Rechnung tragen. Nach der Grundregel (2.4) sollten wir erwarten, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Teilchen in irgendeiner Weise kohärent addiert werden müssen. Das hat äußerst fundamentale Konsequenzen und fuhrt zu Gesetzmäßigkeiten, die den gesamten Aufbau der Materie beherrschen. Das wird in diesem Kapitel behandelt.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Die letzten Ausführungen haben bereits einen Ausblick auf den Wandel in der Fassung des Naturgesetzes gewährt: es hat sich ja aus unserer ganzen Darstellung ergeben, daß das strenge, kausale, in Raum und Zeit gegebene, in Differentialgleichungen ausdrückbare Naturgesetz der älteren Physik mit dem der heutigen Physik, daß im Quantenpostulat eine Unstetigkeit des Geschehens einführt und mit ihr eine statistische Auffassung der Naturvorgänge, nicht übereinstimmt. Wenn wir uns in diesem abschließenden Teil noch besonders der Problematik des Naturgesetzes zuwenden, so könnte das den Anschein erwecken, als ob wir das bereits Gesagte wiederholen müßten. Denn die wesentlichsten Gesichtspunkte der neuen Auffassung vom Naturgesetz sind ja in der Tat durch die Begriffe Statistik und Komplementarität gekennzeichnet. Aber es bleibt doch noch ein besonderer Aspekt, unter dem man das Problem des Naturgesetzes betrachten kann, der zwar hier und da in den vorausgehenden Betrachtungen bereits zum Ausdruck gelangte, dessen Wichtigkeit aber doch eine gesonderte Behandlung verlangt: Das ist die Frage des Verhältnisses zwischen Naturgesetz und Objektivierbarkeit überhaupt, denn je nach der Entscheidung in diesen Fragen wird man von einem Begriffswandel in der Auffassung des Naturgesetzes sprechen müssen.
Wenn man die Überlegungen des vorigen Abschnitts bedenkt, liegt es nahe, in (AH 8) die Wahrscheinlichkeiten durch Übergangswahrscheinhchkeiten zu ersetzen. Man kann sogar sagen, daß die in (AH 8) genannten Häufigkeiten (Wahrscheinhchkeiten, Inhalte) diese Form haben müssen. Denn es ist praktisch ausgeschlossen, irgendwelche Häufigkeiten oder Inhalte von Alternativen vorauszusagen, wenn man nur das Meßgerät kennt, das diese Alternativen entscheidet. Die Vorschriften für den Bau des Experiments und die Versuchsanordnung kann man formal auffassen als das Festlegen von gewissen Alternativen, die beim Experiment immer festgestellt wurden, wenn die zu untersuchenden Alternativen entschieden werden. Man kann dies auch das Präparieren des Systems nennen, was durch eine gewisse endliche Zahl von Entscheidungen zu geschehen hat, die im Prinzip mit Meßinstrumenten durchzuführen sind. Schon die Angabe, daß alle Augenzahlen beim Würfelwurf gleichwahrschein- hch sind, setzt die Kenntnis gewisser Alternativen voraus: wie er gebaut wurde, das Material, wie er geworfen wird usw. Verändemngen dieser Alternativen können dann zur Veränderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augenzahlen führen. Dazu paßt, daß es wohl kaum physikalische Gesetze gibt, deren experimentelle Bestätigung mit dem Ablesen einer Meßskala durchgeführt werden kann.
Diese Arbeit befasst sich mit den kohärenten Effekten in mesoskopischen Systemen, die eindimensional sind.Mesoskopische Systeme sind besonders interessant, da ihre Grösse an der Grenze zwischen die mikroskopische Welt, die von der Quantenphysik regiert wird, und die makroskopische Welt, die den Gesetzen der klassischen Physik gehorcht, liegt.Um genauer zu sein, wir handeln mit Systemen, die gross genug sind, um viele konstituierende Teilchen zu haben, aber klein genug, um die Effekte der Quantenkohärenz dieser Teilchen zu zeigen.Sobald die mesoskopischen Systeme nur noch eindimensional sind, hat jede Störung einen tiefgreifenden Einfluss auf ihre Physik und kann neuartige Effekte hervorrufen, die sowohl für die Grundlagenwissenschaft als auch für praktische Anwendungen wichtig sind.Wir untersuchen daher, wie die häufigsten Störungen wie Wechselwirkungen zwischen Teilchen, der Einfluss der Umgebung, des externen Potenzials und der nichttrivialen Bandstruktur zusammenwirken, um neuartige Effekte in eindimensionalen mesoskopischen Systemen zu erzeugen.Die Arbeit gliedert sich logischerweise in drei Hauptteile, die insgesamt fünf Projekte umfassen.Der Hauptdarsteller des ersten Teils ist der stark wechselwirkende Quantendraht.Es ist bekannt, dass Wechselwirkungen eine Fülle interessanter Effekte in eindimensionalen Systemen hervorrufen, und im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir, wie einige dieser Effekte verändert werden, wenn der Draht mit externen Leitungen verbunden wird.Wir gehen über die Standardbeschreibung der Leitungen als Markov'sche Bäder mit ohmschem Rauschleistungsspektrum hinaus und betrachten sie stattdessen als Bäder mit endlicher Kapazität oder als Bäder mit nicht-ohmschen Rauschleistungsspektren. Zunächst untersuchen wir die Tunnelspektroskopie des mit den kapazitiven Leitungen verbundenen Drahtes und entdecken neue Regime, die sich durch verstärktes Tunneln bei niedrigen Energien und ein universelles Abklingen des Tunnels bei hohen Energien auszeichnen.Darüber hinaus zeigen die lokalen Tunnelmessungen die einzigartige räumliche Abhängigkeit, die die Bildung von stehenden plasmonischen Wellen im Draht kennzeichnet.Wir nutzen dann die Ergebnisse des ersten Projekts und gehen im zweiten Projekt einen Schritt weiter und untersuchen, wie die nichtohmschen Leitungen den Transport durch einen interagierenden Draht, der eine einzige rückstreuende Verunreinigung enthält, beeinflussen.Ohne Elektroden verschwindet die Leitfähigkeit durch den interagierenden Draht bei abstossenden Wechselwirkungen zwischen Elektronen, während sie bei anziehenden Wechselwirkungen endlich bleibt.Bei Vorhandensein von Ableitungen entdecken wir, dass bei bestimmten Energieskalen das nichtohmsche Rauschleistungsspektrum dazu führen kann, dass sich ein abstossend wechselwirkender Draht wie ein anziehend wechselwirkender Draht verhält und umgekehrt.Dieser Effekt iii iv manifestiert sich in der Leitfähigkeit durch den Draht, die in Experimenten direkt gemessen werden kann.Im zweiten Teil dieser Arbeit entfernen wir die Leitungen und fügen dem unendlich langen Draht eine räumlich verteilte Unordnung hinzu.Als Unordnung wählen wir ein lokales Potential mit einer quasiperiodischen Modulation, so dass das ganze System zu einem Quasikristall wird.Quasikristalle haben keine Translationssymmetrie und sind nicht periodisch, aber dennoch geordnet und deterministisch.Dies führt zu reichen Lokalisierungseigenschaften, wie z.B. fraktalen kritischen Wellenfunktionen, die im Raum zerfallen, aber nicht vollständig lokalisiert sind.Bei Vorhandensein von Wechselwirkungen können quasiperiodische Modelle lokalisierte Phasen mit vielen Körpern enthalten, in denen die Dynamik des Systems selbst bei extrem hohen Temperaturen eingefroren ist.Im ersten Projekt dieses Teils der Arbeit untersuchen wir, wie die kritischen Zustände durch eine Kaskade von bandselektiven Lokalisierungs-/Delokalisierungsübergängen in dem spezifischen, nicht wechselwirkenden quasiperiodischen Modell gebildet werden.In Zusammenarbeit mit der experimentellen Gruppe erklären wir den für die Kaskade verantwortlichen Mechanismus und entdecken ein reichhaltiges Phasendiagramm.Im zweiten Projekt fügen wir die Wechselwirkungen zu demselben quasiperiodischen Modell hinzu und erhalten sein Mehrkörper-Lokalisierungsphasendiagramm.Wir zeigen, dass die Kaskade der Delokalisierungsübergänge, die im nicht interagierenden Fall gefunden wurde, selbst bei schwachen Interaktionen verschwindet.Das Thema des dritten Teils dieser Arbeit ist die Fabry-Pérot-Interferenz in zweidimensionalen Geräten.Obwohl das untersuchte Gerät nicht streng eindimensional ist, zeigen wir, dass die Physik durch ein effektives System von gekoppelten Quantendrähten mit unterschiedlichen Energiedispersionen beschrieben werden kann.Die Arbeit wurde in Zusammenarbeit mit den experimentellen Kollegen durchgeführt, wobei wir den Transport durch einen Hohlraum in einem zweidimensionalen Material untersuchen, das durch Band-Inversion und Elektron-Loch-Hybridisierung gekennzeichnet ist.Wir stellen fest, dass die Elektron-Loch-Hybridisierung in band-invertierten Systemen eine kohärente Interferenz bei Transportmessungen ermöglichen kann.In solchen Systemen haben Leitungs-und Volanzbänder die Form eines Sombrero-Hutes, der in Kombination mit einer dominanten Elektron-Loch-Streuung an den Hohlraum-Blei-Grenzflächen parallele eindimensionale Transportkanäle erzeugt.Diese parallelen Transportkanäle haben die gleichen Bedingungen für konstruktive Interferenz, was zu einem nicht verschwindenden Interferenzmuster führt, selbst nach Mittelwertbildung über mehrere Einfallswinkel.Auf diese Weise entdecken wir einen neuen Mechanismus zur Realisierung der Fabry-Pérot-Interferenz in zweidimensionalen mesoskopischen band-invertierten Systemen, der bisher nur in eindimensionalen Geräten, wie z.B. in Nanoröhren, und in zweidimensionalen graphenbasierten Geräten demonstriert wurde.