Nesta tese revemos alguns aspectos cinemáticos da quantização, através da dualidade Fourier generalizada do grupo canônico associado a um dado espaço de fase.As álgebras de Kac, em termo das quais a dualidade Fourier (linear) de um grupo é obtida, são revistas e decompostas segundo o dual unitário do grupo canônico, o que nos permite tentar uma generalização do formalismo de Weyl-Wigner para tais espaços de fase.Com a introdução de álgebras de Kac projetivas^ as quais demonstramos prover uma dualidade Fourier projetiva do grupo abeliano das translações, é possível mostrar como deduzir o formalismo usual de Weyl-Wigner sobre o espaço euclidiano, a partir de sua intrínseca conexão com uma componente irredutível de tal dualidade.
Nesta tese revemos alguns aspectos cinemáticos da quantização, através da dualidade Fourier generalizada do grupo canônico associado a um dado espaço de fase.As álgebras de Kac, em termo das quais a dualidade Fourier (linear) de um grupo é obtida, são revistas e decompostas segundo o dual unitário do grupo canônico, o que nos permite tentar uma generalização do formalismo de Weyl-Wigner para tais espaços de fase.Com a introdução de álgebras de Kac projetivas^ as quais demonstramos prover uma dualidade Fourier projetiva do grupo abeliano das translações, é possível mostrar como deduzir o formalismo usual de Weyl-Wigner sobre o espaço euclidiano, a partir de sua intrínseca conexão com uma componente irredutível de tal dualidade.
Construímos um formalismo variacional para calcular funcionais deWigner em teoria quântica de campos através da generalização de um método desenvolvido na mecânica estatística não-relativística. O funcional de Wigner que usamos é uma generalização da função de Wigner usual em mecânica quântica, na qual amplitudes de campo e seus momentos conjugados são as variáveis dinâmicas do espaço de fase. O formalismo não perturbativo nos permite calcular sistematicamente correções à tradicional aproximação de campo médio para os funcionais de Wigner. Para desenvolver o formalismo, empregamos uma teoria de campo escalar com autointerações quárticas. Implementamos um exercício numérico para explorar alguns aspectos do formalismo e calculamos a função de correlação de dois pontos e a segunda entropia de Rényi.
Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.
Uma das propriedades mais marcantes de partículas que obedecem a dinâmica quântica é o fato de partículas do mesmo tipo (como dois elétrons, por exemplo) serem indistinguíveis. Em três dimensões, essas partículas podem ser separadas em dois grupo distintos - férmions ou bósons - não havendo uma terceira opção. A razão para isso é topológica, ou seja, depende exclusivamente da topologia do espaço. Em duas dimensões, entretanto, existem partículas que obedecem a regras estatísticas fracionárias, ou estatísticas ainda mais bizarras ditas não-abelianas, em que uma simples troca de dois anyons idênticos representa uma transformação unitária na função de onda do sistema ao invés de uma simples fase. Partículas que obedecem essas regras estatística não-usuais recebem o nome de anyons. Da mesma forma como a topologia do espaço em três dimensões dita as possíveis regras estatísticas que as partículas podem obedecer, a estatística aniônica está fortemente relacionando à topologia do espaço e, portanto, sistemas aniônicas são muitas vezes usados para descrever fases topológicas presentes em alguns sistemas bidimensionais. Neste trabalho apresentaremos alguns aspectos gerais de sistemas aniônicos - livres de modelo - e analisaremos alguns modelos de muitos corpos na rede que permitem descrever anyons como excitação de quasi-partícula. A principal classe de modelo que iremos analisar é a classe do modelo duplo quântico (MDQ) - que é um modelo quântico em (2+1)D cujos graus de liberdade são elementos de um grupo G (finito) vivendo nas arestas de uma rede e cuja dinâmica é descrita por uma hamiltoniana de muitos corpos. O MDQ é um modelo já bem estudado e conhecido na literatura; neste trabalho, porém, será apresentada uma formulação alternativa para o mesmo, a qual desempenha dois papeis importantes nesta tese. O primeiro deles é de mostrar que o MDQ pode ser obtido a partir da deformação de um invariante topológico; o que, por sua vez, ajuda a reconhecer a ordem topológica presente no modelo. O segundo papel importante é mostrar que essa formulação leva também a uma hamiltoniana de muitos corpos que representa uma generalização da hamiltoniana do MDQ. Alguns desses novos modelos permitem descrever sistemas aniônicos que não podem ser descritos pelo modelo duplo quântico usual. Em outras palavras, o modelo generalizado que será apresentado neste trabalho permite descrever diferentes fases topológicas partindo da deformação de um mesmo invariante topológico.
O objetivo deste trabalho é investigar se a dualidade posição--momento pode ser reformulada, sem hipóteses ad hoc e sem cálculo circular, como consequência direta da estrutura espectral da propagação unitária bilocal. Partimos da arquitetura já estabelecida no programa Ação--Fase: a fase física é dada por ϕ=S/ℏ; operadores estruturais auto-adjuntos organizam a dinâmica sobre uma rede discreta; tais operadores admitem interpretação como filtros unitários via realização de Cayley; e a evolução unitária discreta pode ser escrita de forma exata como propagação por um núcleo bilocal W(x,y). A questão central consiste em determinar sob quais hipóteses esse núcleo bilocal pode ser representado como função de um operador estrutural auto-adjunto, W^=f(H^),H^=H^†, e como essa estrutura implica a existência de uma base espectral intrínseca na qual a propagação se torna diagonal. Mostra-se, passo a passo, que a decomposição espectral de H^ induz uma decomposição correspondente do núcleo, W(x,y)=∑nf(λn)ϕn(x)ϕn∗(y), de modo que a evolução unitária passa a atuar multiplicativamente sobre os modos espectrais, Ψn(t+Δt)=f(λn)Ψn(t), sem introdução de estruturas adicionais. No caso homogêneo, demonstra-se que as autofunções do operador estrutural são modos de Fourier discretos e que o parâmetro espectral contínuo coincide com o número de onda usual. Nesse regime, a representação espectral reproduz exatamente o setor de momento da mecânica quântica padrão. Fora desse caso, o ``momento'' é reinterpretado de forma mais geral como coordenada espectral do operador gerador da propagação. O resultado desta etapa é, portanto, conceitualmente preciso: a dualidade posição--momento não precisa ser postulada como duplicidade ontológica, mas emerge como dualidade entre base nodal e base espectral de um mesmo operador estrutural que governa a propagação unitária. O trabalho não pretende, nesta fase, reconstruir completamente a teoria dos observáveis canônicos, nem resolver de forma definitiva sistemas multipartícula ou formular uma teoria covariante geral. Seu papel é estabelecer a camada mínima na qual a estrutura espectral da propagação fornece a origem matemática da dualidade posição--momento, abrindo um programa controlado de continuação para esses problemas.
Este trabalho investiga a formulação da mecânica quântica no espaço de fases para sistemas unidimensionais com massa efetiva dependente da posição (PDM), utilizando duas abordagens baseadas em derivadas deformadas: uma associada a uma translação não aditiva e a outra à κ-álgebra. Ambas as deformações levam a operadores cinéticos modificados que resultam em equações de Schrödinger com potenciais efetivos específicos. A partir dos estados fundamentais obtidos analiticamente, derivamos as funções de Wigner correspondentes em forma fechada. Os resultados gráficos dessas funções revelam diferenças marcantes entre as deformações. No caso da derivada associada ao parâmetro γ, a função de Wigner inicialmente apresenta uma forma circular que se estica assimetricamente para o lado direito, refletindo a deformação logarítmica e uma dependência desigual da massa em relação à posição. Em contraste, a abordagem baseada em κ produz uma função de Wigner que mantém a simetria, com alongamento equilibrado em ambos os lados, devido à transformação via a função arcsinh, que preserva a simetria no espaço de fases. Essas características destacam os efeitos das simetrias não lineares impostas pelas deformações e fornecem uma visão detalhada da transição quântico-clássica em sistemas de massa variável. Há também concordância com a dinâmica clássica dos sistemas PDM nos valores esperados de posição e momento. Este estudo reforça a importância da função de Wigner como ferramenta para analisar sistemas quânticos deformados e suas conexões com a dinâmica clássica.
Nesta tese discutimos alguns aspectos fundamentais da teoria quântica de um ponto de vista mais contemporâneo, onde tambem pudemos desenvolver tres trabalhos. No primeiro analisamos teoricamente um interferometro de fenda dupla para atomos. Mostramos que se os autoestados de energia do atomo estao correlacionados com os comportamentos de particula e de onda do mesmo, fenomenos complementares podem ser medidos simultaneamente, indicando uma reinterpretacao do principio da complementaridade. O mesmo aparato tambem apresentou propriedades de apagador quântico. No segundo apresentamos um interferometro de duas particulas e a maneira como a decoerencia afeta o grau de interferencia. Mostramos como os constituintes do ambiente, aqui considerados como fotons, podem destruir a oscilacao na taxa de coincidencia de deteccao das particulas. Devido a sua caracteristica temporal, chamamos este processo de decoerencia temporal quântica. No ultimo trabalho estudamos a existencia de uma nova familia de solucoes ortogonais da equacao paraxial da luz. A amplitude complexa desses feixes sao proporcionais as funcoes hipergeometricas confluentes, que denominamos modos hipergeometricos do segundo tipo (HyG-II). Demonstramos formalmente que um meio com um perfil hiperbolico de indice de refracao pode gerar e suportar essa classe de feixes. Uma vez que esses modos sao autofuncoes do momento angular orbital do foton, concluimos que uma fibra otica com este perfil de indice, em certas situacoes, poderia levar vantagem em relacao a outras fibras com indice variavel na capacidade de transmissao de dados.