Neste trabalho formulamos uma versão do princípio variacional de pressão no contexto de operadores densidade em mecânica quântica. Tal princípio relaciona um potencial e um conceito de entropia, que é induzido por um sistema de funções iteradas quântico (QIFS), de forma análoga ao que é feito em formalismo termodinâmico com a entropia métrica do operador shift e um potencial contínuo. Iremos definir um conceito de processo estocástico quântico induzido por tais QIFS de forma natural, e faremos considerações sobre funções de Wigner discretas e certos canais quânticos obtidos no nosso contexto.
Neste trabalho formulamos uma versão do princípio variacional de pressão no contexto de operadores densidade em mecânica quântica. Tal princípio relaciona um potencial e um conceito de entropia, que é induzido por um sistema de funções iteradas quântico (QIFS), de forma análoga ao que é feito em formalismo termodinâmico com a entropia métrica do operador shift e um potencial contínuo. Iremos definir um conceito de processo estocástico quântico induzido por tais QIFS de forma natural, e faremos considerações sobre funções de Wigner discretas e certos canais quânticos obtidos no nosso contexto.
Sistemas quânticos abertos, ou nao isolados, podem ser caracterizados a partir de uma entropia estatistica. A entropia e um conceito fundamental na fisica e usualmente e interpretada como falta de informacao a respeito do estado do sistema.
O programa usual da fisica estatistica para sistemas nao isolados e propor um Hamiltoniano
para o Universo, descrito por uma distribuicao de Gibbs e aplicando uma abordagem do tipo Sistema + Reservatorio, de onde podemos avaliar o operador densidade reduzido do sistema atraves de um processo de traco parcial. Outra maneira de obter o operador densidade seria obter a entropia de Von Neumann do sistema completo e a partir dela o operador densidade total pelo principio de maxima entropia para entao tomar o traco parcial com respeito as coordenadas do reservatorio.
Por outro lado, podemos tentar obter esse operador densidade e as propriedades termodinâmicas do sistema diretamente do principio de maxima entropia Tal tarefa pode exigir o uso de outras formas de entropia nao necessariamente extensivas.
Partindo de uma abordagem do tipo sistema + reservatorio, estudamos a entropia de uma particula Browniana acoplada com um reservatorio harmonico. Usando isso como o ponto de partida para a maximizacao de entropias dependentes de um parâmetro, busca-se uma correspondencia entre as constantes emergentes do nosso modelo e os parâmetros ajustaveis de algumas bem conhecidas entropias generalizadas a fim de determinar qual ansatz e mais apropriado para nosso sistema
Abstract
A mecanica quantica e a parte da fisica que descreve o comportamento de atomos e moleculas, cujos postulados foram desenvolvidos atraves de um longo processo de tentativa e erro. Sao eles: Postulado 1: Existe um espaco vetorial complexo, com produto interno, associado a qualquer sistema fisico fechado (sistema que nao interage com outros sistemas). Um estado desse sistema e completamente descrito por um vetor unitario, chamado vetor de estado. Postulado 2: A evolucao de um sistema quantico fechado e descrita por um operador linear que preserva o produto interno (operador unitario). O estado |ψ1 i do sistema, no tempo t1 , esta relacionado ao estado |ψ2 i, no tempo t2 , atraves de um operador unitario U que depende apenas de t1 e t2 . Ou seja, |ψ2 i = U |ψ1 i. Postulado 3: As medidas sobre sistemas quanticos sao descritas por operadores hermitianos M (M † = M ), chamados observaveis. Postulado 4: Postulado da composicao de sistemas, no qual e definido o produto de Kronecker como produto tensorial utilizado no sistema quantico para dizer quando um sistema esta ou nao emaranhado [6]. Mesmo para os especialistas, a compreensao do real significado dos postulados e uma questao nao resolvida. Iremos considera-los como sendo a estrutura matematica para tratar o estudo proposto neste trabalho. [...]
Inicialmente, os conceitos fundamentais e a problemática básica subjacentes ao Controle de Sistemas Quânticos são apresentados, destacando-se, por exemplo, as questões físicas e dinâmicas envolvidas, os principais tipos e metodologias de controle no contexto quântico, bem como aplicações existentes e potenciais de Controle Quântico, muitas das quais situando-se na vanguarda da Ciência e da Tecnologia. Segue-se uma exposição do arcabouço teórico básico e do formalismo padrão da Mecânica Quântica, tendo em vista prover os elementos necessários à compreensão de sistemas quânticos, sua dinâmica e seu controle. O conceito de Controlabilidade é, então, apresentado no contexto de Sistemas Quânticos. Em seqüência, os fundamentos do Controle Quântico Ótimo são desenvolvidos como uma extensão da Teoria Clássica de Controle Ótimo, apresentando-se exemplos de aplicações. Ao problema da transferência de estados quânticos para um estado-alvo em tempo mínimo é devotada especial atenção, dada sua grande relevância em aplicações tecnológicas de ponta, como em Computação Quântica e Processamento de Informação Quântica. A partir de limitações físicas que são inerentes a qualquer sistema quântico, no tocante ao tempo mínimo necessário para que ocorra uma transição de estados, propõem-se Fatores de Mérito para quantificar a eficiência dos controles quânticos ótimos que minimizam o tempo de transferência de estados. Exemplos de aplicação, estudos teóricos e estudos de casos são levados a cabo para a definição dos Fatores de Mérito associados. Este trabalho termina com estudos relativos a uma possível formulação da Teoria de Controle Quântico Ótimo em termos de Integrais de Trajetória para o tratamento de sistemas quânticos contínuos, em especial, o controle espaço-temporal de partículas quânticas. Um possível emprego do Efeito Aharonov-Bohm é também discutido como estratégia de Controle Quântico.
Neste trabalho introduzimos brevemente o formalismo matemático da Mecânica Quântica e analisamos em detalhe a classe dos operadores completamente positivos (e sua conhecida representação de Kraus). Seguindo [10], definimos que chamamos de semigrupos dinâmicos quânticos (QDS) e semigrupos markovianos quânticos (QMS), em analogia aos semigrupos clássicos da teoria de processos estocásticos com t real e t ≥ 0. Explorando a relação entre o semigrupo e seu gerador infinitesimal, encontramos condições necessárias e suficientes para que um operador seja o gerador infinitesimal de um destes semigrupos quânticos com t real e t ≥ 0. Um operador que satisfaz esta condição é chamado de operador condicionalmente completamente positivo. O tópico mais importante nesta dissertação é o seguinte: seguindo [10] descrevemos uma representação destes geradores originalmente devida à Lindblad [23].
Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.
Inicialmente, os conceitos fundamentais e a problemática básica subjacentes ao Controle de Sistemas Quânticos são apresentados, destacando-se, por exemplo, as questões físicas e dinâmicas envolvidas, os principais tipos e metodologias de controle no contexto quântico, bem como aplicações existentes e potenciais de Controle Quântico, muitas das quais situando-se na vanguarda da Ciência e da Tecnologia. Segue-se uma exposição do arcabouço teórico básico e do formalismo padrão da Mecânica Quântica, tendo em vista prover os elementos necessários à compreensão de sistemas quânticos, sua dinâmica e seu controle. O conceito de Controlabilidade é, então, apresentado no contexto de Sistemas Quânticos. Em seqüência, os fundamentos do Controle Quântico Ótimo são desenvolvidos como uma extensão da Teoria Clássica de Controle Ótimo, apresentando-se exemplos de aplicações. Ao problema da transferência de estados quânticos para um estado-alvo em tempo mínimo é devotada especial atenção, dada sua grande relevância em aplicações tecnológicas de ponta, como em Computação Quântica e Processamento de Informação Quântica. A partir de limitações físicas que são inerentes a qualquer sistema quântico, no tocante ao tempo mínimo necessário para que ocorra uma transição de estados, propõem-se Fatores de Mérito para quantificar a eficiência dos controles quânticos ótimos que minimizam o tempo de transferência de estados. Exemplos de aplicação, estudos teóricos e estudos de casos são levados a cabo para a definição dos Fatores de Mérito associados. Este trabalho termina com estudos relativos a uma possível formulação da Teoria de Controle Quântico Ótimo em termos de Integrais de Trajetória para o tratamento de sistemas quânticos contínuos, em especial, o controle espaço-temporal de partículas quânticas. Um possível emprego do Efeito Aharonov-Bohm é também discutido como estratégia de Controle Quântico.