Die Schrödingergleichung stellt ein zentrales Fundament der Quantenmechanik dar und bildet damit eine wesentliche Grundlage der modernen Physik und Chemie. Sie ermöglicht die mathematische Beschreibung und Vorhersage mikroskopischer physikalischer Systeme. Die vorliegende Arbeit untersucht die mathematischen Grundlagen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung und deren Anwendung auf das Wasserstoffatom. Dabei werden zentrale mathematische Konzepte wie der Laplace-Operator, Kugelflächenfunktionen, Legendre-Polynome, Laguerre-Polynome sowie die Struktur vonWellenfunktionen erläutert und auf ihre Bedeutung für die zeitunabhängige Schrödingergleichung eingegangen. Im Fokus steht die Lösung der Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten und die daraus resultierende Separation der Variablen, die zur Einführung der Quantenzahlen führt. Deren mathematische Bedeutung sowie ihre physikalisch-chemische Interpretation werden besprochen. Darüber hinaus wird gezeigt, wie aus der zeitunabhängigen Schrödingergleichung der Grundzustandsenergieeigenwert für das Wasserstoffatom von −13, 6eV mathematisch hergeleitet werden kann. Die Arbeit verdeutlicht, wie chemische Interpretationen innerhalb der Quantenmechanik durch mathematische Strukturen begründet und strukturiert werden.
Abstract Von den Anfängen der Quantenmechanik bis heute gibt es Versuche, sie als statistische Theorie über Ensembles individueller ‚klassischer’︁ Systeme zu interpretieren. Die Bedingungen, unter denen Theorien verborgener Parameter zu deterministischen Beschreibungen dieser individuellen Systeme als ‚klassisch’︁ angesehen werden können, wurden von Einstein, Podolsky und Rosen 1935 formuliert: 1. Physikalische Systeme sind im Prinzip separierbar. 2. Zu jeder physikalischen Größe, deren Wert man ohne Störung des betrachteten Systems mit Sicherheit voraussagen kann, existiert ein ihr entsprechendes Element der physikalischen Realität. Zusammen sind sie, wie Bell 1964 gezeigt hat, prinzipiell unverträglich mit der Quantenmechanik und unhaltbar angesichts neuerer Experimente. Diese erweisen einmal mehr die Quantenmechanik als richtige Theorie. Um ihre Ergebnisse zu verstehen, müssen wir entweder die in der klassischen Physik als selbstverständlich angesehene Annahme der Separierbarkeit physikalischer Systeme aufgeben oder unseren Begriff der physikalischen Realität revidieren. Eine Untersuchung des Begriffs der Separabilität und einige Überlegungen zum Problem der Messung von Observablen zeigen, daß eine Änderung des Begriffs der physikalischen Realität unumgänglich ist. Der revidierte Realitätsbegriff sollte mit klassischer Physik und Quantenmechanik verträglich sein, um ein einheitliches Weltbild zu ermöglichen.
ZusammenfassungWie wir in Kapitel 4 schon gesehen haben, brachte die im ersten Viertel unseres Jahrhunderts entwickelte Quantentheorie einschneidende Veränderungen unserer Auffassungen über die Natur mit sich. Dieser Wandel rührte vor allem vom Verzicht auf einen strikten Determinismus her, und zwar nicht nur für längere Zeiträume wie in der klassischen Mechanik, sondern auch für kurze Zeitspannen im atomaren Maßstab. Manche Wissenschaftshistoriker meinen, die irrationale, antideterministische Stimmung und das politische Chaos in Deutschland nach der Niederlage im 1. Weltkrieg hätten zum Aufkommen der Quantenmechanik entscheidend beigetragen. Lewis S. Feuer bezog sich auf die letztlich erfolglose Revolution in Bayern mit dem Versuch, eine Räterepublik zu errichten, und auf den danach einsetzenden Gegenterror, als er schrieb: «Ohne die Geschehnisse von 1919 in München hätte Heisenberg die Unschärferelation nicht aufstellen können.»(34) Solche provozierenden externen soziologischen Deutungen der Wissenschaft enthalten zuweilen ein Körnchen Wahrheit, so daß sie plausibel klingen; aber sie geben das Wesen der Naturwissenschaft verzerrt wieder. Um die psychologischen Ursprünge neuer Ideen zu erklären, reicht es nicht aus, ihre experimentelle Bestätigung, ihre breite Akzeptanz und ihre Dauerhaftigkeit zu beschreiben.