Si studia l'entanglement dello stato fondamentale di un sistema di bosoni interagenti ed intrappolati otticamente in una doppia buca di potenziale. In particolare, si analizza l'effetto di una interazione a lungo raggio di tipo dipolare tra i bosoni sulle proprieta di coerenza ed entanglement del sistema. Lo studio teorico prevede una parta analitica (determinazione dell'Hamiltoniano di Bose-Hubbard generalizzato) ed una parte finale computazionale (diagonalizzazione della matrice ed analisi dei risultati).
Si studia l'entanglement dello stato fondamentale di un sistema di bosoni interagenti ed intrappolati otticamente in una doppia buca di potenziale. In particolare, si analizza l'effetto di una interazione a lungo raggio di tipo dipolare tra i bosoni sulle proprieta di coerenza ed entanglement del sistema. Lo studio teorico prevede una parta analitica (determinazione dell'Hamiltoniano di Bose-Hubbard generalizzato) ed una parte finale computazionale (diagonalizzazione della matrice ed analisi dei risultati).
Questo lavoro di tesi si propone di analizzare un semplice sistema di bosoni non interagenti, approfondendo le leggi della meccanica statistica quantistica e in particolare il fenomeno del condensato di Bose-Einstein. La configurazione sulla quale e vincolato a stare il sistema di bosoni considerato e una circonferenza. In particolare si analizzera la possibilita di condensazione su un sistema unidimensionale, studiandone le caratteristiche fondamentali come la temperatura critica e la frazione di condensato. Successivamente si cerchera di estendere lo studio ad un sistema di particelle vincolate a muoversi su una superficie toroidale, impostando l’equazione di Schrodinger per ricavare una formula di quantizzazione dell’energia per questa configurazione.
In questo lavoro abbiamo analizzato le proprietà di scala che un sistema di Fermioni ultrafreddi su reticolo d-dimensionale, descritto dal modello di Hubbard, sviluppa in presenza di un potenziale esterno di natura armonica accoppiato alla densità di particelle. L'analisi proposta dimostra che nel Regime Diluito indotto dal potenziale confinante è possibile descrivere le proprietà di scala della teoria su reticolo tramite uno studio delle proprietà dello stato fondamentale di un equivalente modello continuo. La nostra analisi, prevalentemente incentrata sul caso in dimensione d=1, ha mostrato che in in questo caso il limite di scala del problema su reticolo è perfettamente descritto dal modello di Gaudin-Yang armonico. Questo risultato è stato verificato tramite un confronto esplicito fra i risultati ottenuti per via numerica e per via analitica sul caso semplificato a due corpi, in assenza di polarizzazione di spin. Lo studio dei casi in d=2 e d=3 ha mostrato che il limite di scala del sistema, a meno di correzioni che compaiono in d=2, è descritto da un modello continuo di Fermioni non interagenti e sottoposti ad un potenziale armonico.
Abstract: Si investigano le proprieta statiche e dinamiche, prima, per un sistema di N particelle bosoniche, soggette a tunneling tra due siti, adoperando il modello di Bose-Hubbard e, poi, per un sistema analogo nel quale si sostituiscono le particelle bosoniche con anyons. Usando gli stati coerenti di Glauber si ricavano, sotto approssimazione di campo medio, le equazioni della dinamica della giunzione Josephson bosonica. Operando, in seguito, una trasformazione di Jordan-Wigner frazionaria tra bosoni ed anyons, si estende la hamiltoniana del modello di Bose-Hubbard al caso anyonico. Applicando, nuovamente, il metodo con gli stati coerenti, si studia la dinamica del sistema Anyon-Hubbard. In particolare, se ne studia, al variare del parametro statistico anyonico, il comportamento in prossimita degli equilibri e dei regimi di auto-intrappolamento e di rottura della simmetria dello stato fondamentale. Per validare i risultati analitici e per ottenerne di piu generali, si eseguono simulazioni numeriche esatte della dinamica quantistica.
Abstract: It is investigated the static and dynamical properties, first, for a system of N bosonic particles, which are tunneling between two site, using the Bose-Hubbard model and, then, for a similar system in which the bosonic particles are substituted with anyons. Using the Glauber coherent states it is obtained, in mean-field approximation, the dynamical’s equations for the bosonic Josephson junction. Operating, afterwards, a fractional Jordan-Wigner transform between bosons and anyons, the Bose-Hubbard model’s hamiltonian is extended to the anyons’ case. Applying the coherent states method, it is studied the dynamical of the Anyon-Hubbard system. In particular, it is studied, for variation of the anyonic statistic parameter, the behaviour in proximity of the equilibrium points and the regimes of macroscopic quantum self-trapping and symmetry breaking of the ground state. To validate the analytical results and to obtain more general informations, it is performed exact numerical simulations of the quantum dynamics.
Recentemente la condensazione di Bose-Einstein e stata ottenuta con atomi diluiti ed ultrafreddi in condizioni di microgravita su un razzo [Nature, 562, 391 (2018)]. Si pensa ora di studiare il condensato di Bose-Einstein in trappole a bolla che, in assenza di gravita, confinano gli atomi in maniera uniforme su un sottile guscio sferico. Lo studente, dopo una fase iniziale di studio della letteratura, utilizzando il formalismo della meccanica statistica quantistica, calcolera la temperatura critica di condensazione di Bose-Einstein e la frazione condensata di un gas di bosoni non interagenti che si muovono sulla superficie di una sfera. Solo nel limite del raggio della sfera che tende an infinito, corrispondente ad un sistema bidimensionale piatto, ci si aspetta di ottenere una temperatura critica di condensazione uguale a zero, in accordo con il teorema di Mermin-Wagner.
Lo studio di sistemi statistici di molte particelle e un problema di grande interesse in fisica. In questo lavoro si e studiato un particolare sistema di particelle: un sistema statistico di fermioni non relativistici, in equilibrio termico, ad una temperatura maggiore di zero fissata e volume finito arbitrariamente grande. Il modello utilizzato per studiare questo sistema e il modello di Hubbard sul reticolo. Questo modello descrive il comportamento di fermioni che interagiscono tra di loro tramite un'interazione repulsiva a corto raggio. Passo fondamentale di questo lavoro e stato formulare la serie perturbativa della funzione di correlazione del modello di Hubbard come un integrale di Grassmann-Gauss finito dimensionale, definito rigorosamente come un funzionale lineare su un'algebra di Grassmann di dimensione finita.
L’emergenza, fornendo una nuova suggestiva chiave di lettura di fenomeni collettivi che sono osservati in numerosi sistemi, puo essere considerata uno dei concetti piu importanti della scienza contemporanea. In natura ci sono svariati stati emergenti, come i superconduttori, che sono caratterizzati da un nuovo tipo di ordine, di proprieta che permettono di analizzare i processi di organizzazione dei loro costituenti elementari. Alla luce del fenomeno della superconduttivita si puo sostenere che la teoria quantistica dei campi, struttura matematica fondamentale in grado di fornire la sintassi della fisica teorica contemporanea, non ha una realta ontologica primaria ma funziona proprio a causa dell’universalita emergente della superconduttivita, in virtu dell’esistenza di fenomeni di organizzazione collettiva all’interno dei sistemi fisici.