In der Arbeit wird ein neues numerisches Verfahren zur Lösung der Schrödinger - Gleichung vorgestellt. Für einen gegebenen Anfangszustand soll die zeitliche Entwicklung unter einem Hamilton - Operator mittels eines deterministischen Verfahrens berechnet werden. Hierfür wird eine Funktionalintegraldarstellung über kohärente Zustände benutzt. Die Funktionalintegralformulierung bedient sich einer verallgemeinerten Trotter - Formel und der Aufspaltung des Hamilton - Operators in einen harmonischen und einen anharmonischen Anteil. Die Umsetzung in ein numerisches Verfahren erfolgt über ein Vektor - Matrix - Multiplikations - Schema. Anhand von eindimensionalen Systemen (Morse - Potential, Doppelmuldenpotential) wird demonstriert, dass das Verfahren sowohl für zeitunabhängige als auch für zeitabhängige Hamilton - Operatoren in der Lage ist, über lange Zeiten stabile Ergebnisse zu liefern. Insbesondere konnte das von Großmann et al. (Phys. Rev. Lett., 67:516-519, 1991) an der periodisch getriebenen Doppelmulde entdeckte Phänomen des unterdrückten Tunnelns reproduziert werden. Dieses Problem beinhaltet drei verschiedene Zeitskalen, deren größte die kleinste um fünf Größenordnungen übertrifft.
In der Arbeit wird ein neues numerisches Verfahren zur Lösung der Schrödinger - Gleichung vorgestellt. Für einen gegebenen Anfangszustand soll die zeitliche Entwicklung unter einem Hamilton - Operator mittels eines deterministischen Verfahrens berechnet werden. Hierfür wird eine Funktionalintegraldarstellung über kohärente Zustände benutzt. Die Funktionalintegralformulierung bedient sich einer verallgemeinerten Trotter - Formel und der Aufspaltung des Hamilton - Operators in einen harmonischen und einen anharmonischen Anteil. Die Umsetzung in ein numerisches Verfahren erfolgt über ein Vektor - Matrix - Multiplikations - Schema. Anhand von eindimensionalen Systemen (Morse - Potential, Doppelmuldenpotential) wird demonstriert, dass das Verfahren sowohl für zeitunabhängige als auch für zeitabhängige Hamilton - Operatoren in der Lage ist, über lange Zeiten stabile Ergebnisse zu liefern. Insbesondere konnte das von Großmann et al. (Phys. Rev. Lett., 67:516-519, 1991) an der periodisch getriebenen Doppelmulde entdeckte Phänomen des unterdrückten Tunnelns reproduziert werden. Dieses Problem beinhaltet drei verschiedene Zeitskalen, deren größte die kleinste um fünf Größenordnungen übertrifft.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.
Es wurde die Bewegung eines Teilchens untersucht, das sich in einem Doppelminimumpotential bewegt und durch Tunneleffekt von einer zur andern Mulde gelangen kann. Die Verweilzeiten des Teilchens in den Potentialmulden (a) und (b) wurden für symmetrische und unsymmetrische Doppelminimumpotentiale berechnet. Zunächst wurden die Eigenlösungen eines Systems untersucht, bei dem ein Übergang des Teilchens zwischen den Mulden unmöglich ist. Dieses entkoppelte System läßt sich durch einen Hamilton-Operator ℋ0 beschreiben, der sich vom Hamilton-Operator ℋ des Doppelminimumproblems durch eine Teilchensperre T im Maximum der Potentialbarriere unterscheidet. ℋ0 setzt sich aus zwei kommutierenden Operatoren ℋ(a) und ℋ(b) zusammen, deren Eigenfunktionen jeweils nur über einen der Bereiche (a) oder (b) nichtverschwindende Amplituden aufweisen. Ein Eigenzustand von ℋ0 beschreibt somit ein Teilchen, das mit Sicherheit in einer der Mulden anzutreffen ist. Das gilt ebenso für eine beliebige statistische Mischung der Eigenzustände von ℋ(a)oderℋ(b). Damit kann für eine Gesamtheit von N0 Teilchen eine Anfangsbedingung formuliert werden, nach der zu einer bestimmten Zeit t0 sämtliche Teilchen z. B. in der Mulde (a) lokalisiert sind. Die zeitliche Änderung der statistischen Mischung wird nicht durch den Hamilton-Operator ℋ0, sondern durch ℋ bestimmt. Damit nimmt bei Anwendung des ℋ-abhängigen, unitären Operators U (t, t0) auf den statistischen Anfangszustand die Wahrscheinlichkeit W(b) (t), ein Teilchen für t > t0 in der Mulde (b) zu finden, einen endlichen Wert an. Die Zeit t′, nach der W(b) (t) erstmal seinen zeitlichen Mittelwert W̄(b) annimmt, ist dann charakteristisch für die Teilchenbewegung zwischen den Mulden. Die wahrscheinliche Verweilzeit τ(a) eines Teilchens in der Mulde (a) ist dann näherungsweise zu τ(a) = t′/ W̄(b) gegeben. Die Beziehung stimmt im Falle eines symmetrischen Doppelminimumpotentials mit früheren Rechnungen überein. Im Falle unsymmetrischer Potentiale ist sie zur Bestimmung von Verweilzeiten besser geeignet als die quasiklassische Methode.
In dieser Arbeit werden drei Möglichkeiten äußerer Einflüsse auf wellenmechanische Systeme analysiert. In allen drei Fällen nutze ich Mikrowellensysteme, um quantenmechanische Systeme zu simulieren. Zuerst werden Zerfallsraten von Wellenfunktionen, die in sogenannten regulären Inseln von Billard-Systemen konzentriert sind, untersucht. Danach wird der Einfluss von offenen Zerfallskanälen auf den Transport durch chaotische Wellensysteme charakterisiert. Das letzte Thema ist ein zeitlich veränderliches Mikrowellen-System. Im ersten Kapitel wird der Übergang einer Wellenfunktion eines klassisch isolierten Bereichs des korrespondierenden Phasenraums zu einem anderen analysiert. Das Hauptaugenmerk liegt auf dem Einfluss von zusätzlichen Zuständen des ursprünglichen Phasenraumbereichs. Es wird gezeigt, dass diese Zustände zu einer Steigerung der Zerfallsrate führen können. Die Zerfallsraten werden indirekt über Absorption gemessen, was zu einem Anstieg der entsprechenden Resonanzbreiten führt. Zusätzlich zu dem sonst üblichen modenabhängigem Tunnelverhalten, welches typischerweise in numerischen Berechnungen genutzt wird, ist eine parametrische Änderung des Systems durchgeführt worden. Dadurch wurde der Nachweis des Effekts zusätzlich untermauert. Die experimentelle und numerische Bestimmung von Kanal-Korrelationen sind Gegenstand des zweiten Kapitels. Nach der Definition der Korrelationsfunktion wird das experimentelle Modellsystem vorgestellt. Die Ergebnisse des Experiments und der sie beschreibenden Numerik zeigen, dass die Korrelationsfunktionen bei der Beschreibung der allgemeinen Leitwertfluktuationen nicht vernachlässigbar sind. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Realisierung eines periodisch angetriebenen Mikrowellen-Systems. Der prinzipielle Aufbau ist ein Schwingkreis mit einer zeitlich veränderbaren Kapazität. Analysiert werden die Eigenschaften des Systems, wie die Seitenbandstrukturen für verschiedene Treibungssignale, sowohl experimentell, als auch theoretisch und numerisch. Dies ist der erste Schritt zur Konstruktion eines Systems, in welchem ein großer Teil der Resonanzen durch einen äußeren Parameter verändert werden kann. Die vollständige Beschreibung einer einzelnen getriebenen Resonanz wird vorgestellt und die nächsten Schritte zur Realisierung von zeitabhängig getriebenen wellemechanischen Systemen werden gezeigt.
Nach den eher abstrakten Überlegungen des vorigen Kapitels zur Observablen Drehimpuls soll nun wieder ein Abschnitt folgen, in dem wir anhand von konkreten und wichtigen Beispielen praktische Lösungsmethoden erarbeiten wollen. Das theoretisch-quantenmechanische Grundproblem liegt stets in der Lösung der Schrödinger-Gleichung, d. h. in dem Eigenwertproblem des Hamilton-Operators. Die Schrödinger-Gleichung ist im allgemeinen eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung und damit fast nie streng lösbar. Für eindimensionale Problemstellungen geht sie dagegen in eine gewöhnliche Differentialgleichung über, die mathematisch wesentlich einfacher zu behandeln ist und in Kapitel 4 in der Tat für einige einfache Modellsysteme exakt gelöst werden konnte. Eine bisweilen erfolgreiche Lösungsmethode zielt deshalb darauf ab, komplizierte mehrdimensionale Schrödinger-Gleichungen durch geschickte Wahl der Variablen in mehrere unabhängige, gewöhnliche Differentialgleichungen zu zerlegen. Man nennt dieses Verfahren Separation der Variablen, das wir im übrigen schon an vielen Stellen dieses Grundkurs: Theoretische Physik angewendet haben. Natürlich lassen sich nicht alle Probleme separieren. Es gelingt allerdings insbesondere bei Teilchenbewegungen in einem Zentralpotential.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.
Die kohärente Kontrolle von Quantenzuständen ist Gegenstand von Untersuchungen seitdem Quantensysteme in Laboren erzeugt werden. Die Aussicht, eines Tages einen Quantencomputer realisieren zu können, der Kohärenzeigenschaften von Quantensystemen nützt um die verfügbare Rechenleistung zu vervielfachen, ist dafür selbstverständlich eine wichtige Motivation, jedoch nicht die einzige. Präzise Kontrolle ermöglicht es, Systeme in bestimmten Quantenzuständen zu präparieren und zu manipulieren, etwa um Präzessionsmessungen zu realisieren. Ultrakalte Atome sind ein ideales Modellsystem für fortgeschrittene Kontrollschemata. Von ihrer Umgebung isoliert, verfügen sie über lange Kohärenzzeiten; gleichzeitig ist ihre Reaktion auf externe Anregungen im Vergleich zu anderen Systemen relativ einfach zu untersuchen. Außerdem können unterschiedliche Parameter über einen weiten Bereich abgestimmt werden, wie etwa die Dichte oder Wechselwirkungsstärke. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, ein Spektrum von Quantentheorien experimentell zu untersuchen. Kohärente Kontrolle von Quantenzuständen in Systemen aus ultrakalten Atomen ist deshalb ein reiches Forschungsgebiet, das sowohl für fundamentale Tests der Quantentheorie als auch für praktische Anwendungen vielversprechend ist. In dieser Dissertation wurde ein Schema entwickelt um Bewegungszustände eines Bose-Einstein Kondensates gezielt zu manipulieren. Dies geschieht auf eine Art die nicht nur die Kohärenzeigenschaften des Systems bewahrt, sondern auch schnell im Vergleich zur typischen Zeitskala des Systems ist. Experimentell umgesetzt wird dies in einem elongierten Kondensat auf einem Atomchip, welches ursprünglich im transversalen Grundzustand des Fallenpotentials ist. Das Kondensat wird entlang der transversalen Richtung verschoben um höhere Bewegungszustände anzuregen. Mithilfe der Theorie der optimalen Kontrolle wird die Verschiebung des Kondensats optimiert um bestimmte Bewegungszustände oder deren ü berlagerung zu erhalten. Die Optimierungen der 'Schüttelpulse' basieren auf einer Beschreibung des Kondensates in einer mean-field Näherung. Verschiedene Überlagerungen von Bewegungszuständen konnten sowohl theoretisch als auch experimentell in 1.1 ms mit einer Effizienz von mehr als 98 % erreicht werden. Diese Art der Kontrolle wurde angewandt um erstmals ein Interferometer mit Bewegungszuständen zu realisieren. Die beiden Pfade des Interferometers sind hier der Grundzustand und erste tranversal angeregte Zustand. In der Zeit zwischen den beiden optimierten Bewegungspulsen die als Strahlteiler dienen, wird eine Phase akkumuliert. Die Herausforderung bei diesem Schema besteht darin, einen effizienten Puls für alle Phasen zu finden. Das Interferometer wurde numerisch optimiert und erfolgreich experimentell umgesetzt und lieferte einen Kontrast von 92 %. Die so erzeugten ü berlagerungen von Bewegungszuständen sind nicht stabil und es wurde eine Dämpfung auf einer Zeitskala von 10 ms beobachtet. Um ein besseres Verständnis zu erlangen wurden einige Dämpfungsmechanismen in Betracht gezogen und theoretische Modelle entwickelt. Insbesondere werden Dekohärenz und Dephasierung entlang der axialen Richtung des Kondensates untersucht. Ein transversales Vielteilchen- Modell, das drei Bewegungszustände beinhaltet, wurde entwickelt um daraus die Zeitskalen der Dämpfung sowie die Abhängigkeit von Parametern wie Atomzahl und Temperatur abzuleiten und mit den experimentellen Ergebnissen zu vergleichen. Die in dieser Dissertation präsentierten Ergebnisse demonstrieren schnelle und effiziente Kontrolle über Vibrationszustände und ebnen den Weg für praktische Anwendungen, wie etwa ein Interferometer mit Bewegungszuständen. Außerdem eröffnen sie eine neue Richtung für fundamentale Fragestellungen zur Nichtgleichgewichtsphysik in geschlossenen Systemen.