Les systèmes de spin antiferromagnétiques en une dimension présentent des caractéristiques remarquables. Le théorème de Mermin-Wagner montre que même dans l'état fondamental de leur Hamiltonien, ces systèmes ne possèdent pas d'ordre à longue distance dans leurs fonctions de corrélation spin-spin s'ils possèdent une symétrie continue. Néanmoins, un quasi-ordre à longue distance peut exister, avec des fonctions de corrélation spin-spin décroissant en loi de puissance avec la distance, comme par exemple dans la chaîne de spin-1/2. Ce cas est décrit par la théorie des liquides de Luttinger. Même dans le cas d'un ordre à courte distance où les fonctions de corrélations spin-spin décroissent exponentiellement, un ordre topologique peut être présent. Il peut être mis en évidence par un paramètre d'ordre dépendant des opérateurs de spin de façon non-locale ou par la présence d'excitations de bord, comme par exemple dans le cas de la chaînes de spin-1. D'autre part, il existe une équivalence formelle entre les opérateurs de spin-1/2 et les bosons de coeur dur, qui permet de traduire les propriétés des systèmes magnétiques dans le langage des bosons en interaction. Après une rapide revue des méthodes théoriques utilisées pour la description des systèmes de basse dimensionnalité, je décrirais mes travaux sur les systèmes échelles de spin antiferromagnétiques et les applications aux systèmes de bosons en interaction.
Les systèmes de spin antiferromagnétiques en une dimension présentent des caractéristiques remarquables. Le théorème de Mermin-Wagner montre que même dans l'état fondamental de leur Hamiltonien, ces systèmes ne possèdent pas d'ordre à longue distance dans leurs fonctions de corrélation spin-spin s'ils possèdent une symétrie continue. Néanmoins, un quasi-ordre à longue distance peut exister, avec des fonctions de corrélation spin-spin décroissant en loi de puissance avec la distance, comme par exemple dans la chaîne de spin-1/2. Ce cas est décrit par la théorie des liquides de Luttinger. Même dans le cas d'un ordre à courte distance où les fonctions de corrélations spin-spin décroissent exponentiellement, un ordre topologique peut être présent. Il peut être mis en évidence par un paramètre d'ordre dépendant des opérateurs de spin de façon non-locale ou par la présence d'excitations de bord, comme par exemple dans le cas de la chaînes de spin-1. D'autre part, il existe une équivalence formelle entre les opérateurs de spin-1/2 et les bosons de coeur dur, qui permet de traduire les propriétés des systèmes magnétiques dans le langage des bosons en interaction. Après une rapide revue des méthodes théoriques utilisées pour la description des systèmes de basse dimensionnalité, je décrirais mes travaux sur les systèmes échelles de spin antiferromagnétiques et les applications aux systèmes de bosons en interaction.
La recherche de phases magnétiques exotiques de la matière qui fondent même à T=0 uniquement sous l'action des fluctuations quantiques a été long et ardu, à la fois théoriquement et expérimentalement. La percée est venue récemment avec la découverte de l'Herbertsmithite, un composé formant un réseau kagome parfait avec des moments magnétiques de spin-1/2. Des expériences pionnières, mêlant des mesures de NMR, MuSR et de diffusion de neutrons, ont montré une absence totale de gel ou d'ordre des moments magnétiques de spin, fournissant ainsi une forte signature d'une phase paramgnétique quantique. Théoriquement, l'Herbertsmithite est extrêmement bien modélisé par le modèle de Heisenberg quantique antiferromagnétique pour des spins-1/2 sur le réseau kagome, problème qui n'a pas été résolu jusqu'à présent. Plusieurs méthodes approximatives numériques et analytiques ont donné différents états fondamentaux, allant des liquides de spins Z2 gappés et un liquide de spins exotique algébrique U(1) de Dirac aux liquides de spins chiraux et les cristaux à liaisons de valence. Dans cette thèse, le problème est traité dans le cadre d'une approche particule-esclave fermionique, à savoir le formalisme des fermions de Schwinger SU(2). Il est conclu qu'un liquide de spins sans gap algébrique de Dirac a l'énergie variationnelle la plus basse et peut en fait constituer un vrai état fondamental physique de liquide de spins. Une implémentation sophistiquée de méthodes numériques de pointes comme le Monte-Carlo variationnel, le Monte-Carlo fonctions de Green et l'application de pas Lanczos dans un schéma variationnel ont été utilisés. Il est montré que contrairement à la croyance habituelle, le liquide de spins de Dirac U(1) projeté en "2+1" dimensions est remarquablement robuste par rapport à une large classe de perturbations, incluant les liquides de spins topologiques Z2 et les cristaux à liaisons de valence. De plus, l'application de deux pas Lanczos sur la fonction d'onde du liquide de spins de Dirac U(1) montre que son énergie est compétitive avec celles proposées pour les liquides de spins topologiques Z2. Ce résultat, combiné avec les indications expérimentales qui pointent vers un liquide de spins sans gap pour l'Herbertsmithite, appuie l'affirmation que le vrai état fondamental de ce modèle est en fait un liquide de spins algébrique de Dirac.
Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.
Topologie et effets de désordre dans les systèmes de spin quantique ouverts et en interaction et leurs analogues Cette thèse de doctorat porte sur l'interaction des effets du désordre, de la localisation, de l'interaction avec l'environnement et de la topologie dans les systèmes quantiques à plusieurs corps. Elle vise à étudier cette interface à la fois d'un point de vue fondamental et afin de développer des perspectives en ce qui concerne les applications dans la technologie quantique. Cette thèse se concentre particulièrement sur les systèmes de spin, qui constituent une plateforme accessible pour sonder les effets mentionnés ci-dessus et sont également intéressants du point de vue des réalisations expérimentales et des applications. Pour un spin-1/2 dans un champ magnétique radial, la topologie peut être définie à partir des pôles de la variété d’état fondamental. Ce modèle est analogue à plusieurs autres modèles de la matière condensés, tels que le modèle de Haldane ou le fil de Kitaev. La définition de la topologie dans le modèle de spin peut être étendue aux systèmes en interaction composés de plusieurs spins et aux systèmes ouverts couplés à un environnement.Expérimentalement, cette topologie peut être mesurée en utilisant un protocole dynamique pilotant le champ magnétique agissant sur le spin au cours du temps. Pour cette configuration, la thèse étudie un `effet de dynamo quantique’, se produisant comme une conséquence de la dynamique dissipative entraînée lors du couplage à un environnement. Il existe une relation curieuse entre cet effet et la `topologie accédée dynamiquement‘ du spin. Cette thèse étudie et définit les propriétés thermodynamiques de cet effet correspondant à une conversion de travail à travail, déplaçant de manière cohérente certains modes de l'environnement et ouvrant ainsi des perspectives pour le transfert d'énergie à l'échelle quantique à travers un environnement. Les définitions et les mesures sont comparées à l'aide de différentes techniques analytiques et numériques pour évaluer la dynamique dissipative entraînée.Dans les systèmes en interaction composés de plusieurs spins, la topologie de chaque spin peut être étudiée et il a été montré précédemment qu'elle peut donner des valeurs fractionnaires en fonction de la symétrie du modèle. Cette thèse met l'accent sur le comportement de cette phase topologique fractionnaire lors de l'introduction du désordre et montre que ce dernier peut conduire à son extension. Une interprétation de ces effets en termes de fermions de Majorana est discutée et permet d'envisager des applications en information quantique.Les effets du désordre et de la physique de la localisation sont examinés en profondeur pour un modèle qui peut être réalisé à partir d'atomes froids et qui, dans une certaine limite, peut également être représenté par un modèle de spin. Une forme particulière de désordre peut être réalisée dans ce système par le biais d'un couplage avec une deuxième espèce de particule. Dans ce cas, il existe un lien intéressant avec les théories de jauge sur réseau Z2 lorsque les impuretés introduisant le désordre dans le système acquièrent elles-mêmes une dynamique quantique. Cette thèse étudie l'interaction d'un champ de jauge U(1) appliqué permettant de définir un courant local avec cette forme particulière de désordre et propose en particulier d'utiliser ce courant comme indicateur des propriétés de localisation. Une étude numérique utilisant la diagonalisation exacte démontre la présence d'une phase localisée à N-corps dans ce modèle. Elle est identifiée à partir du comportement de l'entropie d'intrication et attestée par les fluctuations bipartites et le courant local.La thèse ouvre des perspectives pour une compréhension fondamentale de l'interaction de la topologie, de la dynamique des systèmes ouverts et des effets de désordre dans les systèmes quantiques et fait le lien avec les réalisations expérimentales et les applications.
Les systemes de spins de heisenberg antiferromagnetiques frustres et non-frustres sont etudies au moyen des methodes de la theorie quantique des champs et du groupe de renormalisation. Dans le cas de spins quantiques bidimensionnels, le phenomene de brisure spontanee de symetrie a temperature nulle est analysee en utilisant un modele sigma non-lineaire, dans sa formulation hamiltonienne et lagrangienne. Autour de cette etude, des criteres d'existence d'ordre a longue distance dans l'etat fondamental de systemes de spins frustres sont obtenus. Ils consistent, d'une part, en des predictions sur le spectre de basse energie du systeme a taille finie et a temperature nulle qui doit etre observe lorsqu'il y a brisure de symetrie dans la limite thermodynamique ; d'autre part, dans l'expression de la longueur de correlation en fonction de la temperature des systemes de spins frustres, dans un regime de parametres tels qu'il existe de l'ordre a temperature nulle. Dans le cas de spins frustres classiques, le probleme de l'universalite de la transition de phase tridimensionnelle a temperature finie est envisage. Differentes approches theoriques sont presentees et comparees: modele sigma non-lineaire, modele de landau-ginzburg-wilson. En deux dimensions, l'existence d'une topologie non-triviale dans les systemes de spins frustres est a la base d'un phenomene de deconfinement de vortex. La validite de la theorie de perturbation basse temperature est analysee
Intégrabilité quantique et chaînes de spins à longue portée L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.
Cette these traite de quatre themes concernant les prototypes des systemes a desordre gele, les verres de spin. Ils y sont presentes en quatre chapitres distincts. Dans le premier de ces chapitres, on considere un systeme de verre de spin metallique, forme de couches d'epaisseur w separees par une distance l. On determine des lois d'echelle pour la temperature critique en fonction de w et de l, et pour la longueur de correlation en fonction de w, de l, et de la temperature t. Une echelle de longueur l#c#r, au-dela de laquelle le couplage entre couches magnetiques devient important, y joue un role essentiel. En sus, on etudie la dynamique de ce systeme pour completer l'image theorique des phenomenes rencontres dans les experiences. Le role des symetries discrete et continue d'un verre de spin xy aux liens j aleatoires est examine pour un reseau bidimensionnel compactifie (un tube), dans un deuxieme chapitre. On considere les longueurs de correlation respectifs et montre qu'ils divergent, pour to, avec le meme exposant. Ceci suggere que les transitions en dimension elevee, associees a ces symetries, appartiennent a la meme classe d'universalite. Dans un troisieme chapitre, on analyse l'etat critique du verre de spin d'ising en basse dimension et met en evidence les consequences geometriques du phenomene de chaos. Une structure multifractale apparait dans les correlations au point critique. On presente les consequences de l'inhomogeneite du systeme dans l'espace pour la dynamique et pour le comportement dans un champ magnetique uniforme. Enfin, dans un quatrieme et dernier chapitre, un developpement d'une premiere theorie phenomenologique pour le verre de spin d'ising quantique en dimension finie est entrepris