Os condensados de Bose-Einstein foram previstos teoricamente nos anos de 1924–25. Contudo, sua observação experimental só foi obtida em 1995, laureando seus descobridores com o prêmio Nobel de 2001. No ano de 2015 comemora-se o aniversário de 90 anos de sua previsão teórica e 20 anos de sua realização experimental. Os condensados de Bose-Einstein têm sido usados nos mais variados contextos, que vão da matéria condensada à astrofísica. Este trabalho será dedicado a uma interpretação intuitiva para a condensação. Discutiremos também como modelar armadilhas modernas que aprisionam partículas de um gás de bósons fracamente interagentes para formar os condensados.
Os condensados de Bose-Einstein foram previstos teoricamente nos anos de 1924–25. Contudo, sua observação experimental só foi obtida em 1995, laureando seus descobridores com o prêmio Nobel de 2001. No ano de 2015 comemora-se o aniversário de 90 anos de sua previsão teórica e 20 anos de sua realização experimental. Os condensados de Bose-Einstein têm sido usados nos mais variados contextos, que vão da matéria condensada à astrofísica. Este trabalho será dedicado a uma interpretação intuitiva para a condensação. Discutiremos também como modelar armadilhas modernas que aprisionam partículas de um gás de bósons fracamente interagentes para formar os condensados.
Neste trabalho estudamos as propriedades termodinâmicas da Condensação de Bose-Einstein (CBE) para um gás de bósons não-interagentes confinado em potenciais bidimensionais V(x,y) que apresentam classicamente, um caos-suave (soft chaos), isto é, um espaço de fases compartilhado por ilhas de estabilidade e mares de caos. O formalismo estatístico mais apropriado para os nossos objetivos é o descrito pelo ensemble canônico, de forma que o número de partículas N é mantido fixo em cada simulação. Nosso principal objetivo é investigar se o caos pode caracterizar algum comportamento distinto nas propriedades do Condensado de Bose-Einstein. Para comparação dos nossos resultados com a literatura, mostramos em detalhes todos os cálculos para o oscilador bidimensional e a caixa bidimensional suavizados1. No potencial harmônico a suavização implica em um amortecimento da freqüência de oscilação, enquanto que para a caixa bidimensional, a suavização implica em um aumento da área da caixa quando N é aumentado. Esse recurso é necessário, uma vez que não se define rigorosamente uma transição de fase em sistemas com dimensão menor que três. Embora a suavização pareça ser mais um recurso matemático que físico, ela descreve bem a CBE em potenciais suaves. Para estudar o efeito do caos na CBE, escolhemos dois potenciais: i) O potencial Nelson, que é um potencial parabólico que descreve essencialmente dois osciladores harmônicos x e y com um termo de acoplamento não-linear que origina caos; ii) O potencial quártico, cuja base é mais achatada parecendo-se mais com uma caixa. Simulamos também a situação em que a partícula confinada é sujeita a um campo magnético perpendicular uniforme ao longo do eixoz. Os nossos resultados mostram que estatísticas que são bilineares em relação à densidade de energia do potencial de confinamento, como a variância do número de ocupação do estado fundamental, exibem assinatura do caos subjacente.
Entre 1924 e 1925 Einstein escreveu uma série de três artigos onde aplicava, para um gás de partículas maciças não interagentes, o novo método da estat¶³stica quântica desenvolvido por Bose, cujo trabalho ele traduzira para o alemão e fizera publicar na Zeitschrift fÄur Physik. No segundo artigo da série Einstein previu o fenômeno da condensação das partículas no estado fundamental a partir de uma certa densidade crítica, fenômeno este que veio a ser posteriormente conhecido como Condensação de Bose-Einstein (CBE). Neste trabalho discuto o artigo de Einstein bem como a polêmica por ele suscitada, traçando também um paralelo entre a teoria da CBE a a teoria de condensação em gases reais.
Entre 1924 e 1925 Einstein escreveu uma série de três artigos onde aplicava, para um gás de partículas maciças não interagentes, o novo método da estatística quântica desenvolvido por Bose, cujo trabalho ele traduzira para o alemão e fizera publicar na Zeitschrift für Physik. No segundo artigo da série Einstein previu o fenômeno da condensação das partículas no estado fundamental a partir de uma certa densidade crítica, fenômeno este que veio a ser posteriormente conhecido como Condensação de Bose-Einstein (CBE). Neste trabalho discuto o artigo de Einstein bem como a polêmica por ele suscitada, traçando também um paralelo entre a teoria da CBE a a teoria de condensação em gases reais.
O espectro da equação de Gross-Pitaevskii, para os sistemas repulsivo e atrativo de bósons confinados em uma armadilha cilíndrica , é calculado quando aplicamos a teoria de perturbação otimizada e a técnica das raízes aproximantes auto-similares . O espectro de energia é calculado em uma função dos parâmetros de acoplamentos fraco e forte. Aplicando a técnica das raízes aproximantes auto-similares foi possível encontrar fórmulas analíticas precisas para descrever os sistemas de forma mais detalhada. As expressões obtidas são válidas para os níveis de energia arbitrários de todos os modos coerentes excitados e para diferentes formas de armadilhas como: esférica, charuto e disco. O número crítico de partículas que assegura o valor real para o espectro de energia é calculado como uma função do parâmetro de anisotropia. Encontramos uma forte dependência na anisotropia da armadilha com o número crítico de partículas. Para o número de partículas acima do valor crítico a metaestabilidade do sistema é caracterizada através do cálculo do tempo de vida do condensado . Nos capítulos de 1 à 3, temos a introdução , a idéia e a descr ição do condensado Bose-Einstein. Nos capítulos de 4 à 6, temos os experimentos realizados do condensado Bose-Einstein, os critérios da condensação Bose-Einstein e a definição dos estados atômicos coerentes . Nos capítulos de 7 à 9, o significado da equação de Gross-Pitaevskii e os métodos utilizados são definidos. Nos capítulos 10 e 11, os resultados e conclusões para os sistemas repulsivos e atrativos dos gases bosônicos confinados são mostrados.
Esta dissertacao tem como objetivo apresentar um estudo critico dos condensados atomicos de Bose-Einstein (BEC). Tomando como ponto de partida a fisica do gas livre, estudamos o efeito de potenciais fracamente confinantes. Dois casos foram estudados em detalhe: i) um gas atomico em um poco de potencial quadrado finito com poucos estados ligados; e ii) um sistema confinado em duas dimensoes por um potencial oscilador harmonico isotropico, sendo fracamente confinado na terceira dimensao. Para o primeiro exemplo, estudamos as propriedades termodinâmicas, comparândo-as com a transicao de fase do gas livre, Interacoes entre bosons sao introduzidas segundo a teoria de Bogoliubov para tratar interacoes elasticas de dois corpos. Dentro da aproximacao de campo medio, as propriedades do condensado sao descritas por uma funcao de onda macroscopica, que satisfaz a equacao de Gross-Pitaevskii (GP). Analisamos os efeitos de comprimentos de espalhamento de onda 5, atrativos e negativos, para BEC aprisionados no poco de potencial finito, onde o sistema suporta excitacoes quânticas coerentes nao-lineares. Solucoes numericas, para a equacao GP independente do tempo, foram encontradas para a funcao de onda do estado condensado a temperatura zero, bem como para as suas excitacoes elementares nao lineares. Para analisar os resultados, usamos valores realistas de parâmetros para os gases atomicos atualmente estudados experimentalmente. Para o segundo caso mencionado acima, desenvolvemos um programa destinado ao estudo de nao-linearidades mais gerais. A fisica nao e restrita so ao BEC, alguns sistemas de interesse sao modelados por familias de equacoes de Schrodinger nao-lineares, sendo a equacao GP um caso particular. Para um potencial harmonico, apesar da nao-linearidade, uma vez que uma solucao e conhecida, muitas outras solucoes podem ser construidas por uma translacao espacial do centro do pacote de onda. O metodo e testado analiticamente no limite da equacao de Schrodinger linear com um potencial de oscilador harmonico em duas dimensoes. As solucoes sao obtidas atraves de uma superposicao de solucoes estacionarias construidas por deslocamentos espaciais de uma solucao exata. O metodo pode ser estendido para o regime de nao-linearidades fracas, e tem uma aplicacao direta na geracao de estados vortice em BEC
Abstract
O estudo dos condensados de Bose-Einstein (CBE) já se faz relevante na história por quase 100 anos. Evidentemente, muito se avançou no tratamento desse tipo de sistema desde os primeiros trabalhos de Bose e Einstein (13) — seja na teoria ou nos experimentos. Em particular, foi nas últimas duas décadas que seu tratamento teórico evolui consideravelmente e a teoria dos Condensados dilutos com spin não nulo se desenvolveu. Os chamados condensados de Bose-Einstein espinoriais (4) ganharam certo destaque na comunidade ao apresentarem características simétricas e topológicas únicas, de modo que eles são capazes de englobar, em um sistema de átomos ultrafrios, propriedades (e quasi-partículas) que são geralmente abordadas em sistemas e estruturas provenientes de outras áreas da física (como vórtices, monopolos, Skyrmions, nós etc.) nas excitações topológicas do seu parâmetro de ordem. Nesta dissertação, revisamos em detalhes o desenvolvimento da teoria dos CBEs espinoriais, destacando suas relevantes propriedades simétricas e topológicas e suas diferenças perante um condensado sem spin. Além disso, apresentamos uma teoria original em que analisamos as características dos estados excitados quânticos (i.e., estados que não formam a fase condensada) de espinores com propriedades topológicas não triviais, indo além do que é abordado na teoria de Bogoliubov (4,5) para condensados uniformes, e mostramos que, efetivamente, a estrutura desses estados é a de espinor (i.e., vetorial), a qual carrega informações acerca das características topológicas da fase condensada.