La compréhension de la supraconductivité à haute température critique exhibée par certains oxydes de métaux de transition demeure une question centrale en physique théorique de la matière condensée. Dans ce contexte et depuis la proposition historique de P. W. Anderson, le modèle de Hubbard répulsif en géométrie bidimensionnelle est devenu un paradigme pour tenter de capturer les propriétés essentielles des matériaux supraconducteurs non conventionnels. Cependant, la détermination de son état fondamental exact se heurte à la complexité exponentielle du problème quantique à N-corps. Dans cette thèse, nous poursuivons l’objectif de développer un schéma variationnel d’approximation s’affranchissantde toute hypothèse concernant les ordres magnétiques, de charge ou supraconducteurs susceptibles d’émerger de l’Hamiltonien à basse énergie. L’approche trouve son originalité dans l’introduction de corrélations par la restauration, avant variation, de symétries délibérément brisées dans un état d’essai en forme d’une superposition de fonctions d’onde versatiles de type Hartree-Fock et Bogoliubov-de Gennes. Pour des petits amas à deux etquatre sites, nous montrons analytiquement que cette méthode de champ moyen enchevêtré par les symétries de l’Hamiltonien permet de retrouver l’état fondamental exact quelle que soit l’intensité des interactions. Pour de plus grands réseaux dopés en trous et dans les régimes fortement corrélés, nous mettons en exergue un arrangement des moments magnétiques en spirale ou suivant une onde de densité de spin qui est alors accompagnée d’inhomogénéités sous forme de rayures périodiquement réparties. De tels ordres sont de plus entrelacés avec des corrélations d’appariement en onde d à longue distance qui, à la limite thermodynamique, signent la supraconductivité. Ces résultats sont obtenus grâce à des simulations systématiques dans une géométrie de tubes de plaquettes pouvant être réalisée expérimentalement à l’aide d’atomes froids piégés dans des réseaux optiques.
La compréhension de la supraconductivité à haute température critique exhibée par certains oxydes de métaux de transition demeure une question centrale en physique théorique de la matière condensée. Dans ce contexte et depuis la proposition historique de P. W. Anderson, le modèle de Hubbard répulsif en géométrie bidimensionnelle est devenu un paradigme pour tenter de capturer les propriétés essentielles des matériaux supraconducteurs non conventionnels. Cependant, la détermination de son état fondamental exact se heurte à la complexité exponentielle du problème quantique à N-corps. Dans cette thèse, nous poursuivons l’objectif de développer un schéma variationnel d’approximation s’affranchissantde toute hypothèse concernant les ordres magnétiques, de charge ou supraconducteurs susceptibles d’émerger de l’Hamiltonien à basse énergie. L’approche trouve son originalité dans l’introduction de corrélations par la restauration, avant variation, de symétries délibérément brisées dans un état d’essai en forme d’une superposition de fonctions d’onde versatiles de type Hartree-Fock et Bogoliubov-de Gennes. Pour des petits amas à deux etquatre sites, nous montrons analytiquement que cette méthode de champ moyen enchevêtré par les symétries de l’Hamiltonien permet de retrouver l’état fondamental exact quelle que soit l’intensité des interactions. Pour de plus grands réseaux dopés en trous et dans les régimes fortement corrélés, nous mettons en exergue un arrangement des moments magnétiques en spirale ou suivant une onde de densité de spin qui est alors accompagnée d’inhomogénéités sous forme de rayures périodiquement réparties. De tels ordres sont de plus entrelacés avec des corrélations d’appariement en onde d à longue distance qui, à la limite thermodynamique, signent la supraconductivité. Ces résultats sont obtenus grâce à des simulations systématiques dans une géométrie de tubes de plaquettes pouvant être réalisée expérimentalement à l’aide d’atomes froids piégés dans des réseaux optiques.
Au cours des trente dernières années, les expériences en physique du solide ont permis la découverte de comportements nouveaux et inattendus chez un certain nombre de matériaux, notamment la supraconductivité à haute température critique chez les oxydes de cuivre ou l'effet Hall fractionnaire dans les semiconducteurs. Tous ces milieux se caractérisent par de très fortes interactions entre particules qui rendent les approches perturbatives traditionnelles non valides mais qui permettent l'émergence d'une physique riche et non conventionnelle. Dans cette thèse, nous développons des méthodes analytiques et numériques qui permettent de mieux comprendre comment fonctionnent les systèmes fortement corrélés et nous illustrons certaines de leurs propriétés exotiques. Notre travail se concentre sur trois exemples de tels systèmes: le cas des modèles de dimères classiques en trois dimensions, le problème des fermions en deux dimensions, et l'effet de la frustration sur le magnétisme quantique en une dimension. Dans la première partie, nous démontrons l'existence d'une transition de phase non conventionnelle dans un modèle de dimères en interaction à l'aide de simulations Monte-Carlo sur des systèmes de grande taille. Dans une deuxième partie, nous introduisons le concept de fondamentalisation d'une fonction d'onde et son application à la recherche d'états fondamentals d'Hamiltoniens fermioniques réalisables. Enfin, nous présentons un problème de tube de spin frustré où nous montrons l'existence d'un ensemble de transitions de phase quantiques entre des ordres topologiques différents, et où nous mettons en valeur le rôle des défauts topologiques dans la physique des systèmes fortement corrélés.
En dépit de son apparente simplicité et bien qu’il ait déjà été intensivement étudié dans des contextes très variés, le modèle de Hubbard bidimensionnel est encore très loin d’avoir livré tous ses mystères. En particulier lorsqu’il décrit une interaction moyenne à fortement répulsive, c’est-à-dire un régime mal adapté aux méthodes perturbatives, son état fondamental est encore méconnu. La découverte en 1986 d’une phase supraconductrice chez les oxydes de cuivre (cuprates), apparaissant à relativement haute température, a encore avivé l’intérêt pour ce modèle puisqu’il pourrait décrire les propriétés étonnantes de ces matériaux à structures planaires. Lorsque la densité électronique correspond à une bande de valence demi remplie, le modèle de Hubbard est en effet connu pour rendre parfaitement compte de la phase antiferromagnétique obtenue expérimentalement chez les cuprates et il est probable qu’il en soit de même pour la phase supraconductive observée au-dessous d’une température critique, lorsque la densité électronique est modérément réduite en modifiant la composition du matériau (dopage). Si tel est le cas, cela signifie que seules les interactions électronique sont à l’origine de la supraconductivité, contrairement aux supraconducteurs conventionnels où l’interaction entre les électrons et les vibrations du réseau (phonons) est impliquée. Malheureusement, il existe pour l’heure peu de résultats indiscutables venant étayer cette hypothèse et la question est encore largement débattue. Dans cette thèse, la méthode variationelle est mise à profit pour tenter d’apporter une réponse claire concernant la possibilité d’un état fondamental supraconducteur pour le modèle de Hubbard répulsif. Bien que la fiabilité de ses résultats soit conditionnée par le choix d’une fonction variationelle adéquate, cette méthode est tout spécialement adaptée au régime approprié pour les cuprates, c’est-à-dire à une interaction intermédiaire. L’optimisation d’une fonction variationelle élaborée permet d’approcher de très près l’état fondamental exact, ce qui n’était pas le cas des fonctions variationelles connues jusqu’ici. En fait, la considération de petits systèmes rend accessible une solution exacte, qui indique que l’erreur commise dans notre calcul est trop faible pour influencer qualitativement nos résultats. Ceux-ci montrent qu’une phase antiferromagnétique est favorable au demi remplissage et d’une phase supraconductrice émerge lorsque la densité électronique diminue, avec un paramètre d’ordre possédant une symétrie onde-d. Toutes les caractéristiques principales propres aux oxydes de cuivre sont donc retrouvées pour l’état fondamental variationel du modèle de Hubbard répulsif. Des similitudes remarquables sont aussi observées au niveau quantitatif lorsque les propriétés de cet état fondamental sont comparées aux données expérimentales obtenues pour les cuprates.
Les evidences s'accumulent recemment qu'il existe les fortes fluctuations magnetiques incommensurables dans les etats normaux et supraconductrice des cuprates supraconducteurs. Les correlations magnetiques observees dans ceux composes d'oxyde jouent un role essentiel dans les proprietes anormales des etats normaux et supraconductrice. Cette these est consacree a une etude sur les fluctuations magnetiques a basse energie dans le modele de hubbard, et leurs effets sur les proprietes des quasiparticules en presence de dopage (avec des trous). Cette these contient deux parties. Nous consacrons la premiere partie aux fluctuations des spins au demi-remplissage et la dynamique d'un trou mis dans le milieu antiferromagnetique. Nous avons developpe la methode diagrammatique de feynman dans un referentiel non local introduit par une transformation unitaire. Cette derniere demarche nous a permis d'ecrire l'hamiltonien (de hubbard) sous une forme qui rend transparente tous les processus delocalisant un porteur de charge dans l'etat antiferromagnetique, nous pouvons ainsi distinguer, en termes des diagrammes de feynman, toutes les autres diffusions de celles qui font intervenir la double occupation. Une etude systematique a ete donnee sur les fluctuations magnetiques au demi-remplissage, la dynamique d'un trou dans la limite d'ising et avec les fluctuations des spins. Ce formalisme ainsi etablit une liaison entre les methodes perturbatives et celles de coupage fort. Dans la deuxieme partie, nous nous concentrons sur le cas d'un dopage fini. En utilisant la methode d'integrale fonctionnelle, nous avons presente une etude detaillee sur les fluctuations quantiques dans une phase spirale, et leurs consequences sur la stabilite de l'etat ordonne a longue portee et sur les proprietes des quasiparticules. Nous avons montre que les fluctuations de spin sont fortement renormalisees: il s'agit d'une ligne d'energie presque nulle dans le spectre, ou la vitesse de spin se trouve manifestement anisotrope, en contraste avec ce qui l'on attend d'un modele phenomenologique. La possibilite d'un etat desordonne a ete examinee apres l'evaluation de la fonction correlation spin-spin et de la correction du parametre d'ordre de la phase spirale. L'instabilite vers un etat inhomogene (separation de phase, odc) se manifestee par l'apparition simultanee d'un mode imaginaire avec les trois modes de goldstone, et a pour origine la couplage effectif entre les fluctuations de la densite de charge et les fluctuations de spin dans le plan spiral. Nous montrons egalement que l'instabilite vers la separation de phase est une artefact du modele de hubbard et est supprimee en presence de l'interaction coulombienne. Nous avons aussi examine la renormalisation des proprietes des quasiparticules en presence de ces fluctuations de basse energie
La physique de la matière condensée est une banche de la mécanique quantique qui étudie les grandes assemblées de particules quantiques en interaction. Elle a germée à partir de la physique de l'état solide : l'étude de la mer d'électrons contenue dans un métal fut le premier exemple des difficultés rencontrées par le théoricien voulant prédire le comportement d'une telle myriade de particules quantiques. Le domaine fut rapidement enrichi par de nombreux autres modèles, décrivant d'autres types de matière quantique, depuis le magnétisme jusqu'à la supraconductivité, les matériaux de Dirac et les fluides de lumière quantique. Toutes ces applications apparemment différentes se retrouvent unies par l'aspect essentiel du problème à N-corps quantique : l'interaction d'un grand nombre de particules élémentaires, électrons, photons, moments magnétiques, conduit à l'émergence de phénomènes collectifs, comme les quasi-particules ou les transitions de phase. Comme l'écrivait Anderson, "more is different".Ces dernières années, d'importantes avancées technologiques dans la nanofabrication de circuits supraconducteurs ont permis de recréer tous les ingrédients d'un système de matière condensée dans un dispositif expérimental finement contrôlé. Les particules quantiques sont émulées par les excitations du circuit, tandis que la cohérence quantique est maintenue par l'absence de dissipation de l'état supraconducteur autant que par les basses températures employées, aux environs de la dizaine de milliKelvins. Enfin, les interactions sont suscitées par effet Josephson, une conséquence de la rigidité de la phase supraconductrice à travers une barrière tunnel, qui introduit des non-linéarités dans le circuit. Une telle plateforme expérimentale est appelée un simulateur quantique.Cette thèse a été motivée par la nécessité de revoir certains modèles d'impuretés bien connus, modèle spin boson et modèle sine-Gordon à bord, à l'aune de leur implémentation récente sous forme de circuits supraconducteurs. Commençant par une modélisation complète d'un circuit microscopique générique, nous formulons un nouvel Hamiltonien prenant en compte la structure multi-niveaux des qBits de charge, et que nous baptisons l'Hamiltonien charge boson. Celui-ci ne se réduit aux modèles standards de la littérature que dans certaines limites que nous précisons. Nous traçons son diagramme de phase complet à l'aide du groupe de renormalisation numérique, et explorons ses régions expérimentalement pertinentes par des outils théoriques nouvellement créés.Un aspect frappant du modèle charge boson est que le nombre de paires de Cooper occupant l'îlot supraconducteur de l'impureté est un entier, ou bien de façon équivalente que sa phase supraconductrice est compacte. Nous présentons un ansatz variationnel, que nous appelons l'ansatz compact, pour étudier la pertinence de cet aspect granulaire de la charge. Cela nous a permis de décrire la disparition des effets compacts dans le régime suramorti à fort couplage.Il est possible de court-circuiter le couplage capacitif de l'impureté à son environnement, pour atteindre ce régime d'interaction forte, que la décompactification protège du bruit de charge. Le circuit se réduit alors à simuler le fameux modèle sine-Gordon à bord. Des expériences récentes on sondé la réponse dissipative d'un tel circuit, qui présente une section efficace inélastique spectaculairement élevée. Armé d'un modèle microscopique détaillé du système, nous montrons que la fréquence plasma introduit une coupure ultraviolette qui supprime les lois de puissance anormales de la réponse dissipative, bien connues par l'étude des liquides de Luttinger. Enfin, une technique diagrammatique auto-cohérente, entreprise à température finie, a permis de démontrer comment une réponse dissipative lisse en fréquence peut émerger d'un système de taille mésoscopique, par surpopulation de résonances multi-photons assistée par excitations thermiques.
Le modèle en couches constitue aujourd'hui un cadre théorique de référence pour appréhender les propriétés des noyaux à basse énergie. Son applicabilité demeure toutefois limitée par une croissance rédhibitoire de la dimension de l'espace des états aussi bien avec le nombre de couches de valence qu'avec le nombre de nucléons. Les méthodes Monte-Carlo quantiques (QMC) permettent a priori de contourner une telle difficulté en offrant une alternative à la diagonalisation du hamiltonien. Elles reposent sur une reformulation stochastique de l'équation de Schrödinger qui ramène le problème à N-corps à un ensemble de problèmes à un corps, numériquement solubles, et décrivant des particules indépendantes évoluant chacune dans un champ extérieur fluctuant. L'originalité de l'échantillonnage QMC proposé dans ce mémoire réside dans l'utilisation d'une approche variationnelle, avec restauration des symétries avant variation, pour guider le mouvement brownien et pour le contraindre afin de contrôler le problème de phase inhérent aux schémas QMC pour des fermions en interaction. Dans les couches sd et fp et avec les interactions résiduelles réalistes, nous avons ainsi pu obtenir une spectroscopie " yrast " en excellent accord avec les résultats issus de la diagonalisation du hamiltonien. En outre, une ouverture vers les systèmes d'électrons fortement corrélés est présentée au travers de nouveaux schémas QMC récemment suggérés pour le modèle de Hubbard en géométrie bidimensionnelle. Contrairement aux échantillonnages traditionnels, ils garantissent des trajectoires à poids positifs quel que soit le régime considéré. Nous avons prouvé que ces méthodes sont en réalité reliées à l'approche stochastique mise en oeuvre pour le modèle en couches. L'origine des erreurs systématiques qu'exhibent ces schémas, pourtant exempts de problème de signe avec le hamiltonien de Hubbard, est par ailleurs élucidée.
Depuis leur découverte dans les années 80, les supraconducteurs à haute température critique ont suscité beaucoup d'intérêt en physique du solide. Comprendre l'origine des phases observées dans ces matériaux, telle la supraconductivité, est l'un des grands défis de la physique théorique du solide des 25 dernières années. L'un des mécanismes pressentis pour expliquer ces phénomènes est la forte interaction électron-électron. Le modèle de Hubbard est l'un des modèles les plus simples pour tenir compte de ces interactions. Malgré la simplicité apparente de ce modèle, certaines de ses caractéristiques, dont son diagramme de phase, ne sont toujours pas bien établies, et ce malgré plusieurs avancements théoriques dans les dernières années. Cette étude se consacre à faire une analyse de méthodes numériques permettant de calculer diverses propriétés du modèle de Hubbard en fonction de la température. Nous décrivons des méthodes (la VCA et la CPT) qui permettent de calculer approximativement la fonction de Green à température finie sur un système infini à partir de la fonction de Green calculée sur un amas de taille finie. Pour calculer ces fonctions de Green, nous allons utiliser des méthodes permettant de réduire considérablement les efforts numériques nécessaires pour les calculs des moyennes thermodynamiques, en réduisant considérablement l'espace des états à considérer dans ces moyennes. Bien que cette étude vise d'abord à développer des méthodes d'amas pour résoudre le modèle de Hubbard à température finie de façon générale ainsi qu'à étudier les propriétés de base de ce modèle, nous allons l'appliquer à des conditions qui s'approchent de supraconducteurs à haute température critique. Les méthodes présentées dans cette étude permettent de tracer un diagramme de phase pour l'antiferromagnétisme et la supraconductivité qui présentent plusieurs similarités avec celui des supraconducteurs à haute température.