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Revista Mexicana de Física

The wigner funtion in paraxial optics ii.optical diffraction pattern representation

Roberto Ortega-Martı́nez, Carlos Moreno, C. Flores Arvizo

Published May 10, 2009• 2 citations
OpenAlex

Abstract

LA FUNCION DE DISTRIBUCION DE WIGNER PERMITE VISUALIZAR A UNA FUNCION EN EL DOMINIO MIXTO ESPACIO-FRECUENCIA. ADEMAS, PUEDE PRODUCIRSE CON ARREGLOS PURAMENTE OPTICOS. EN ESTE ARTICULO SE DESCRIBE EL ARREGLO OPTICO DE BRENNER-LOHMANN ILUMINADO CON LUZ MONOCROMATICA QUE PRODUCE LA FUNCION DE WIGNER. UNA SENAL COMPUESTA POR FUNCIONES RECTANGULO (PRODUCIDA OPTICAMENTE CON RENDIJAS) TIENE UNA FUNCION DE WIGNER EN FORMA DE ”RELOJ DE ARENA”. ES IMPORTANTE NOTAR LAS FUERTES OSCILACIONES DE LA FUNCION DEWIGNER DE DOS COMPONENTES QUE INTERFIEREN Y QUE HAN SIDO LLAMADAS LA ”FUNCION SONRISA” DEL ESTADO DE GATO DE SCHR”DINGER Y QUE GENERA PATRONES DE DIFRACCION DE GRAN INTERES. Abstract THEWIGNER DISTRIBUTION FUNCTION IS A TOOL TO VISUALIZE A SIGNAL IN THE SPACE-FREQUENCY DOMAIN. MOREOVER, IT CAN BE PRODUCED BY PURELY OPTICAL MEANS. WE DESCRIBE THE BRENNER-LOHMANN OPTICAL SETUP WITH MONOCHROMATIC LIGHT, WHICH PRODUCES THEWIGNER FUNCTION. A SIGNAL COMPOSED OF RECTANGLE FUNCTIONS (OPTICALLY PRODUCED BY SLITS) HAS A WIGNER FUNCTION WITH A ”SAND CLOCK” FORM. WE POINT OUT THE STRONG OSCILLATIONS OF THE WIGNER FUNCTION BETWEEN TWO INTERFERING COMPONENTS, WHICH HAS BEEN CALLED THE SMILE FUNCTION OF A ”SCHRODINGER´S CAT” STATE. THIS BEARS INTERESTING OPTICAL DIFFRACTION PATTERNS IN OUR FIGURES.

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Wigner functions of free "Schrödinger cat" states

E. Colavita, Shahen Hacyan

ESTUDIAMOS LA EVOLUCION DE UN ESTADO LIBRE DE ”GATO DE SCHR”DINGER” (UNA SUPERPOSICION DE DOS ESTADOS COHERENTES MOVIENDOSE EN DIRECCIONES OPUESTAS) UTILIZANDO EL FORMALISMO DE LA FUNCION DE WIGNER. SE TOMAN EN CUENTA DOS POSIBLES MECANISMOS PARA SEPARAR ESPECIALMENTE LOS DOS ESTADOS: UNA ”RESORTERA CUANTICA” Y UNA TRAMPA DE PAUL QUE PRODUCE MOVIMIENTOS INESTABLES. EL ANALISIS NUMERICO MUESTRA COMO LOS DOS ESTADOS SUPERPUESTOS SE ALEJAN UNO DE OTRO, CONSERVANDO AL MISMO TIEMPO ENTRE ELLOS LOS TERMINOS DE INTERFERENCIA QUE SON TIPICOS DE LOS FENOMENOS CUANTICOS. Abstract WE STUDY THE EVOLUTION OF A FREE ”SCHRODINGER CAT” STATE (A SUPERPOSITION OF TWO COHERENT CORRELATED STATES MOVING IN OPPOSITE DIRECTIONS) USING THE FORMALISM OF THE WIGNER FUNCTION. TWO POSSIBLE MECHANISMS TO SPATIALLY SEPARATE THE TWO STATES ARE CONSIDERED: A ”QUANTUM SLING” AND A PAUL TRAP THAT PRODUCES UNSTABLE MOTION. THE NUMERICAL ANALYSIS SHOWS HOW THE TWO SUPERPOSED STATES MOVE AWAY OF EACH OTHER, WHILE KEEPING AN INTERFERENCE TERM BETWEEN THEM THAT IS TYPICAL OF QUANTUM PHENOMENA.

Revista Mexicana de Física•May 10, 2009•0 citations

La Transformada Fraccionaria de Fourier y su uso en la reconstrucción óptica tomográfica de la función de Wigner

José Alejandro Gutiérrez Cifuentes

En este trabajo se estudia la reconstrucción tomográfica de funciones en el espacio de fase a partir de mediciones experimentales basadas en la Transformada Fraccionaria de Fourier (TFrF). El espacio de fase permite describir sistemas físicos mediante variables conjugadas, denominadas cuadraturas, y en este marco la Función de Distribución de Wigner (WDF) constituye una herramienta fundamental para la caracterización de señales ópticas. Mediante un montaje óptico paraxial, se implementan TFrF de distintos órdenes sobre una señal clásica, las cuales pueden interpretarse como rotaciones en el espacio de fase. En el marco teórico, las proyecciones obtenidas para diferentes ángulos permiten reconstruir la WDF mediante la transformada inversa de Radón. Como sistema de estudio se considera una señal compuesta por dos haces gaussianos. La WDF reconstruida experimentalmente se compara con su correspondiente predicción teórica mediante un factor de similitud definido sobre matrices de datos, obteniéndose un valor S = 0.64. Este resultado indica una correlación global moderada entre la distribución experimental y la teórica, lo que evidencia que el esquema experimental y el procedimiento de reconstrucción tomográfica empleados permiten capturar de manera consistente las principales características de la distribución en el espacio de fase. El trabajo demuestra la viabilidad de reconstruir funciones de Wigner a partir de TFrF implementadas de manera puramente espacial.

•Jan 29, 2026•0 citations

Reducción de ruido cuántico en dispositivos interferométricos mediante estados comprimidos de luz

Luis Lorenzo Sánchez-Soto

EL OBJETIVO PRINCIPAL DE LA MEMORIA ES ANALIZAR EL RUIDO CUANTICO QUE SE PRODUCE EN UN DISPOSITIVO INTERFEROMETRICO. COMO ES BIEN SABIDO, LA IDEA BASICA EN TODO INTERFEROMETRO ES LA MEDIDA DE DIFERENCIAS DE FASE Y, A PARTIR DE ELLAS,DEDUCIR OTRAS MAGNITUDES DE INTERES. LA PRECISION CON QUE PUEDE MEDIRSE ESTA FASE NO ES ARBITRARIA, ESTANDO INDEFECTIBLEMENTE LIGADA, POR EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG, AL NUMERO NETO DE FOTONES QUE ATRAVIESA EL INSTRUMENTO. ELLO LLEVA A LA EXISTENCIA DE UN LIMITE CUANTICO A LAS FLUCTUACIONES DEL CAMPO. ESTE LIMITE ESTANDARD, AUNQUE IMPORTANTE DESDE UN PUNTO DE VISTA FUNDAMENTAL, NO REVESTIA, HASTA HACE POCO, DEMASIADA IMPORTANCIA PRACTICA EN MEDIDAS MACROSCOPICAS. LA SITUACION ESTA COMENZANDO A CAMBIAR Y YA EXISTEN CAMPOS EN LOS QUE LA PRECISION EXPERIMENTAL SE ACERCA AL MISMO. EN ESTA TESIS SE ESTUDIA DETALLADAMENTE LA IMPLEMENTACION DE ESTADOS COMPRIMIDOSDE LUZ EN MEDIDAS INTERFEROMETRICAS. ESTOS ESTADOS, CUYAS FLUCTUACIONES EN FASE O EN AMPLITUD SON MENORES QUE EN LAS DEL VACIO, HAN ATRAIDO UNA GRAN ATENCION. HEMOS MOSTRADO COMO SU EMPLEO PUEDE LLEVAR A LA REDUCCION EFECTIVA DE RUIDO CUANTICO TANTO EN INTERFEROMETROS DE MICHELSON, COMO DE FABRY-PEROT, ESTUDIANDO LA CRITICA INFLUENCIA QUE SOBRE TAL REDUCCION TIENEN LAS PROPIEDADES DE COHERENCIA ESPACIO-TEMPORAL.

•Jan 1, 1988•0 citations

The Wigner distribution function applied to optical signals and systems

MJ Martin Bastiaans

In this paper the Wigner distribution function has been introduced for optical signals and systems. The Wigner distribution function of an optical signal appears to be in close resemblance to the ray concept in geometrical optics. This resemblance reaches even farther: although derived from Fourier optics, the Wigner distribution functions of some elementary optical systems can directly be interpreted in terms of geometrical optics.

SPIE milestone series•Jan 1, 2006•0 citations

The wigner function in paraxial optics i. Matrix methods in fourier optics

Roberto Ortega-Martı́nez, Carlos Moreno, Ana Leonor Rivera

The paraxial regime of scalar wave optics has the same structure as non-relativistic quantum mechanics, with wavelength taking the place of the Planck constant. The Wigner function is a central tool to explore the phase space of a system; in optics, moreover, it can be produced by purely optical means. In this first part, we present a matrix-based formalism for the study of paraxial optical systems, and apply it to the description of a setup that, as will be seen in the second part, produces the Wigner function.

Revista Mexicana de Física•May 10, 2009•2 citations

The Wigner distribution function and its applications to optics

Martin J. Bastiaans

The paper presents a review of some applications of the Wigner distribution function to optics. The Wigner distribution function F(x,u) of a signal describes the signal in space x and spatial frequency u, simultaneously, and can be considered as a local spatial frequency spectrum of the signal. Although derived in terms of Fourier optics, the description of a signal by means of its Wigner distribution function closely resembles the ray concept in geometrical optics. Some examples are given to show this resemblance. Properties of the Wigner distribution function are discussed, showing, for instance, its relation to Heisenberg’s uncertainty principle and to some well‐known radiometric quantities. The concept of the Wigner distribution function is not restricted to deterministic signals; it can easily be extended to stochastic signals. Some examples of stochastic signals are considered. The propagation of signals through linear systems can readily be expressed in terms of Wigner distribution functions. Again, the description of systems by Wigner distribution functions can be interpreted directly in terms of geometrical optics: for Luneburg’s first‐order system, for instance, such a description immediately yields the ray transformation matrix of the system, and the relation between the input and the output Wigner distributioin function reads Fo(x,u) = Fi(Ax+Bu,Cx+Du). Transport equations for the Wigner distribution function in a general linear medium are derived. In the Liouville approximation they take the form of a first‐order partial differential equation, which allows, once more, a geometric‐optical interpretation: along the path of a geometric‐optical light ray the Wigner distribution function has a constant value.

AIP conference proceedings•Jan 1, 1980•18 citations
LA FUNCION DE DISTRIBUCION DE WIGNER PERMITE VISUALIZAR A UNA FUNCION EN EL DOMINIO MIXTO ESPACIO-FRECUENCIA. ADEMAS, PUEDE PRODUCIRSE CON ARREGLOS PURAMENTE OPTICOS. EN ESTE ARTICULO SE DESCRIBE EL ARREGLO OPTICO DE BRENNER-LOHMANN ILUMINADO CON LUZ MONOCROMATICA QUE PRODUCE LA FUNCION DE WIGNER. UNA SENAL COMPUESTA POR FUNCIONES RECTANGULO (PRODUCIDA OPTICAMENTE CON RENDIJAS) TIENE UNA FUNCION DE WIGNER EN FORMA DE ”RELOJ DE ARENA”. ES IMPORTANTE NOTAR LAS FUERTES OSCILACIONES DE LA FUNCION DEWIGNER DE DOS COMPONENTES QUE INTERFIEREN Y QUE HAN SIDO LLAMADAS LA ”FUNCION SONRISA” DEL ESTADO DE GATO DE SCHR”DINGER Y QUE GENERA PATRONES DE DIFRACCION DE GRAN INTERES. Abstract THEWIGNER DISTRIBUTION FUNCTION IS A TOOL TO VISUALIZE A SIGNAL IN THE SPACE-FREQUENCY DOMAIN. MOREOVER, IT CAN BE PRODUCED BY PURELY OPTICAL MEANS. WE DESCRIBE THE BRENNER-LOHMANN OPTICAL SETUP WITH MONOCHROMATIC LIGHT, WHICH PRODUCES THEWIGNER FUNCTION. A SIGNAL COMPOSED OF RECTANGLE FUNCTIONS (OPTICALLY PRODUCED BY SLITS) HAS A WIGNER FUNCTION WITH A ”SAND CLOCK” FORM. WE POINT OUT THE STRONG OSCILLATIONS OF THE WIGNER FUNCTION BETWEEN TWO INTERFERING COMPONENTS, WHICH HAS BEEN CALLED THE SMILE FUNCTION OF A ”SCHRODINGER´S CAT” STATE. THIS BEARS INTERESTING OPTICAL DIFFRACTION PATTERNS IN OUR FIGURES.
ESTUDIAMOS LA EVOLUCION DE UN ESTADO LIBRE DE ”GATO DE SCHR”DINGER” (UNA SUPERPOSICION DE DOS ESTADOS COHERENTES MOVIENDOSE EN DIRECCIONES OPUESTAS) UTILIZANDO EL FORMALISMO DE LA FUNCION DE WIGNER. SE TOMAN EN CUENTA DOS POSIBLES MECANISMOS PARA SEPARAR ESPECIALMENTE LOS DOS ESTADOS: UNA ”RESORTERA CUANTICA” Y UNA TRAMPA DE PAUL QUE PRODUCE MOVIMIENTOS INESTABLES. EL ANALISIS NUMERICO MUESTRA COMO LOS DOS ESTADOS SUPERPUESTOS SE ALEJAN UNO DE OTRO, CONSERVANDO AL MISMO TIEMPO ENTRE ELLOS LOS TERMINOS DE INTERFERENCIA QUE SON TIPICOS DE LOS FENOMENOS CUANTICOS. Abstract WE STUDY THE EVOLUTION OF A FREE ”SCHRODINGER CAT” STATE (A SUPERPOSITION OF TWO COHERENT CORRELATED STATES MOVING IN OPPOSITE DIRECTIONS) USING THE FORMALISM OF THE WIGNER FUNCTION. TWO POSSIBLE MECHANISMS TO SPATIALLY SEPARATE THE TWO STATES ARE CONSIDERED: A ”QUANTUM SLING” AND A PAUL TRAP THAT PRODUCES UNSTABLE MOTION. THE NUMERICAL ANALYSIS SHOWS HOW THE TWO SUPERPOSED STATES MOVE AWAY OF EACH OTHER, WHILE KEEPING AN INTERFERENCE TERM BETWEEN THEM THAT IS TYPICAL OF QUANTUM PHENOMENA.
En este trabajo se estudia la reconstrucción tomográfica de funciones en el espacio de fase a partir de mediciones experimentales basadas en la Transformada Fraccionaria de Fourier (TFrF). El espacio de fase permite describir sistemas físicos mediante variables conjugadas, denominadas cuadraturas, y en este marco la Función de Distribución de Wigner (WDF) constituye una herramienta fundamental para la caracterización de señales ópticas. Mediante un montaje óptico paraxial, se implementan TFrF de distintos órdenes sobre una señal clásica, las cuales pueden interpretarse como rotaciones en el espacio de fase. En el marco teórico, las proyecciones obtenidas para diferentes ángulos permiten reconstruir la WDF mediante la transformada inversa de Radón. Como sistema de estudio se considera una señal compuesta por dos haces gaussianos. La WDF reconstruida experimentalmente se compara con su correspondiente predicción teórica mediante un factor de similitud definido sobre matrices de datos, obteniéndose un valor S = 0.64. Este resultado indica una correlación global moderada entre la distribución experimental y la teórica, lo que evidencia que el esquema experimental y el procedimiento de reconstrucción tomográfica empleados permiten capturar de manera consistente las principales características de la distribución en el espacio de fase. El trabajo demuestra la viabilidad de reconstruir funciones de Wigner a partir de TFrF implementadas de manera puramente espacial.
EL OBJETIVO PRINCIPAL DE LA MEMORIA ES ANALIZAR EL RUIDO CUANTICO QUE SE PRODUCE EN UN DISPOSITIVO INTERFEROMETRICO. COMO ES BIEN SABIDO, LA IDEA BASICA EN TODO INTERFEROMETRO ES LA MEDIDA DE DIFERENCIAS DE FASE Y, A PARTIR DE ELLAS,DEDUCIR OTRAS MAGNITUDES DE INTERES. LA PRECISION CON QUE PUEDE MEDIRSE ESTA FASE NO ES ARBITRARIA, ESTANDO INDEFECTIBLEMENTE LIGADA, POR EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG, AL NUMERO NETO DE FOTONES QUE ATRAVIESA EL INSTRUMENTO. ELLO LLEVA A LA EXISTENCIA DE UN LIMITE CUANTICO A LAS FLUCTUACIONES DEL CAMPO. ESTE LIMITE ESTANDARD, AUNQUE IMPORTANTE DESDE UN PUNTO DE VISTA FUNDAMENTAL, NO REVESTIA, HASTA HACE POCO, DEMASIADA IMPORTANCIA PRACTICA EN MEDIDAS MACROSCOPICAS. LA SITUACION ESTA COMENZANDO A CAMBIAR Y YA EXISTEN CAMPOS EN LOS QUE LA PRECISION EXPERIMENTAL SE ACERCA AL MISMO. EN ESTA TESIS SE ESTUDIA DETALLADAMENTE LA IMPLEMENTACION DE ESTADOS COMPRIMIDOSDE LUZ EN MEDIDAS INTERFEROMETRICAS. ESTOS ESTADOS, CUYAS FLUCTUACIONES EN FASE O EN AMPLITUD SON MENORES QUE EN LAS DEL VACIO, HAN ATRAIDO UNA GRAN ATENCION. HEMOS MOSTRADO COMO SU EMPLEO PUEDE LLEVAR A LA REDUCCION EFECTIVA DE RUIDO CUANTICO TANTO EN INTERFEROMETROS DE MICHELSON, COMO DE FABRY-PEROT, ESTUDIANDO LA CRITICA INFLUENCIA QUE SOBRE TAL REDUCCION TIENEN LAS PROPIEDADES DE COHERENCIA ESPACIO-TEMPORAL.
The paraxial regime of scalar wave optics has the same structure as non-relativistic quantum mechanics, with wavelength taking the place of the Planck constant. The Wigner function is a central tool to explore the phase space of a system; in optics, moreover, it can be produced by purely optical means. In this first part, we present a matrix-based formalism for the study of paraxial optical systems, and apply it to the description of a setup that, as will be seen in the second part, produces the Wigner function.
The paper presents a review of some applications of the Wigner distribution function to optics. The Wigner distribution function F(x,u) of a signal describes the signal in space x and spatial frequency u, simultaneously, and can be considered as a local spatial frequency spectrum of the signal. Although derived in terms of Fourier optics, the description of a signal by means of its Wigner distribution function closely resembles the ray concept in geometrical optics. Some examples are given to show this resemblance. Properties of the Wigner distribution function are discussed, showing, for instance, its relation to Heisenberg’s uncertainty principle and to some well‐known radiometric quantities. The concept of the Wigner distribution function is not restricted to deterministic signals; it can easily be extended to stochastic signals. Some examples of stochastic signals are considered. The propagation of signals through linear systems can readily be expressed in terms of Wigner distribution functions. Again, the description of systems by Wigner distribution functions can be interpreted directly in terms of geometrical optics: for Luneburg’s first‐order system, for instance, such a description immediately yields the ray transformation matrix of the system, and the relation between the input and the output Wigner distributioin function reads Fo(x,u) = Fi(Ax+Bu,Cx+Du). Transport equations for the Wigner distribution function in a general linear medium are derived. In the Liouville approximation they take the form of a first‐order partial differential equation, which allows, once more, a geometric‐optical interpretation: along the path of a geometric‐optical light ray the Wigner distribution function has a constant value.