Abstract Zur Untersuchung aliphatischer Kettenmoleküle und ähnlicher Gebilde wird ein eindimensionales Modell behandelt. Die Schrödingergleichung wird für eine periodische Aufeinanderfolge von N gleichen Potentialmulden gelöst, wobei N eine beliebige endliche ganze Zahl ist. Die Methode steht in enger Analogie zu der in der Elektrotechnik entwickelten Methode zur Behandlung von Vierpolketten.
Abstract Zur Untersuchung aliphatischer Kettenmoleküle und ähnlicher Gebilde wird ein eindimensionales Modell behandelt. Die Schrödingergleichung wird für eine periodische Aufeinanderfolge von N gleichen Potentialmulden gelöst, wobei N eine beliebige endliche ganze Zahl ist. Die Methode steht in enger Analogie zu der in der Elektrotechnik entwickelten Methode zur Behandlung von Vierpolketten.
Abstract Von Brueckner1) wurde eine Theorie schwerer Atomkerne vorgelegt, die in wesentlichem Umfang die gegenseitige Korrelation der Teilchen mit berücksichtigt. Diese Theorie ist von Bethe2) auf Kerne endlicher Größe verallgemeinert worden, enthält jedoch noch Beiträge zur Gesamtenergie, die um Faktoren A kleiner sind. Eine systematische Untersuchung der Theorie vom Standpunkt der Störungsrechnung in allen Ordnungen wird in dieser Arbeit durchgeführt und liefert gewisse Vereinfachungen. Zunächst vereinfachen sich gewisse Elemente der Streumatrix gij. Weiter wird die in den Operatoren des mittleren Teilchenpotentials noch vorhandene Freiheit durch geeignete Verfügung benutzt, um die oben erwähnten 1/A‐Terme der Energie zum Verschwinden zu bringen. Dies wird durch eine Korrektur der Energienenner bewirkt. Gleichzeitig werden damit die Voraussetzungen für eine eindeutige Behandlung der Wechselwirkung in höherer Ordnung geschaffen. Diese höheren Ordnungen enthalten dann nur noch die Beiträage der Vielfachstreuung allein.
ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den
Abstract In der Quantenchemie wird die grundlegende physikalische Theorie der Quantenmechanik zur quantitativen Beschreibung chemischer Substanzen und ihrer Reaktionen angewendet. Eine klare Aufgabe – aber nicht ganz so leicht umzusetzen. Der Artikel geht zunächst auf einige Aspekte der Quantenmechanik ein, die exotisch scheinen mögen, in der Welt der Elektronen und Atomkerne aber normal sind. Er diskutiert dann eine Reihe grundlegender Näherungen, mit deren Hilfe wir uns in dieser Welt zurecht finden können. Schließlich deutet der Artikel gelegentlich an, wie daraus in Computerprogramme implementierte quantenchemische Methoden entstehen, deren Resultate beim Verstehen und der Vorhersage der Eigenschaften und des Verhaltens chemischer Systeme helfen.
Der erste Teil dieser Arbeit ist dem Kondogittermodell gewidmet. Für ein Elektron, das in einen ferromagnetisch gesättigten Hintergrund aus lokalen Spinmomenten eingebracht wird (ferromagnetisches Polaron), wird die stationäre Schrödingergleichung gelöst und das vollständige Eigenwertspektrum im endlichen und unendlichen Gitter abgeleitet. Danach wird die zeitabhängige Schrödingergleichung für beliebige Anfangsbedingungen gelöst und eine detaillierte Analyse des Down-Elektron-Zerfalls vorgenommen. Für endliche Bandfüllungen wird im Anschluss das magnetische Grundzustandsphasendiagramm mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie bestimmt. Der Einfluss von Verdünnung/Unordnung im lokalen Momentensystem auf die auftretenden Phasen wird analysiert. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Hubbardmodell untersucht. Für dieses wird mit Hilfe einer modifizierten Störungstheorie (englisch: modified perturbation theory, MPT) eine wellenzahlabhängige (nicht-lokale) Selbstenergie abgeleitet, die sowohl für schwache als auch für starke Coulombwechselwirkungen gute Ergebnisse liefert. Mit dieser werden dann Spektraldichten und Quasiteilchenzustandsdichten berechnet, wobei insbesondere die nicht-lokalen Korrelationseffekte im Fokus stehen. Daneben werden Ergebnisse für die optische Leitfähigkeit, die in einer renormierten diagrammatischen Ein-Schleifen-Näherung berechnet wurden, besprochen. Es wird dann gezeigt, dass nur unter Beachtung der nicht-lokalen Korrelationseffekte ein ferromagnetisches Phasendiagramm konstruiert werden kann, das in Einklang mit dem Mermin-Wagner-Theorem steht.
Der aktuelle experimentelle Fortschritt bei der Manipulation ultrakalter Atome mit Licht löst gegenwärtig ein großes Interesse an der Physik entarteter Quantengase und der niederenergetischen Streuung weniger Teilchen aus. Insbesondere ist es möglich, nahezu perfekte periodische Potenziale sogenannte optische Gitter, zu generieren. Die Untersuchung des Verhaltens weniger Quantenteilchen in einem eindimensionalen Gitter ist Thema dieser Arbeit. Der Großteil der Ergebnisse ist im Rahmen der tight-binding-Näherung erhalten worden, welche eine exakt numerische oder analytische Behandlung ermöglicht. Für das Zwei-Körper Problem werden theoretische Methoden entwickelt, um stationäre Streuzustände und gebundene Zustände zu berechnen, und diese werden verallgemeinert, um exakte Ergebnisse für beliebige Wechselwirkungen and Teilchenstatistiken zu erhalten. Der Quantentransport von einem und zwei Teilchen wird auch berücksichtigt. Das Problem der Bindung und Streuung dreier identischer Bosonen wird eingehend betrachtet, wobei neuartige Typen von gebundenen Zuständen entdeckt wurden. Schließlich werden andere Gittersysteme studiert, indem Methoden vorgestellt werden, die mit den für das Zwei-Körper Problem entwickelten Methoden eng verwandt sind.
Das Ziel dieser Masterarbeit ist es, die mathematischen Grundlagen der Schrödingergleichung und ihre Anwendungen in der Quantenmechanik zu untersuchen. Die Arbeit beleuchtet den historischen Kontext von Erwin Schrödinger und seinen Weg zur Herleitung seiner Gleichung. Es folgt eine detaillierte mathematische Analyse, mit der die Schrödingergleichung im Allgemeinen erklärt und gelöst wird. Schließlich werden zwei Arbeitsblätter für höhere technische Schulen entwickelt, die sich auf gewöhnliche Differentialgleichungen und partielle Ableitungen konzentrieren, mit dem Ziel, mathematische Konzepte durch interdisziplinäre und historische Elemente zugänglich zu machen.