Abstract Von Brueckner1) wurde eine Theorie schwerer Atomkerne vorgelegt, die in wesentlichem Umfang die gegenseitige Korrelation der Teilchen mit berücksichtigt. Diese Theorie ist von Bethe2) auf Kerne endlicher Größe verallgemeinert worden, enthält jedoch noch Beiträge zur Gesamtenergie, die um Faktoren A kleiner sind. Eine systematische Untersuchung der Theorie vom Standpunkt der Störungsrechnung in allen Ordnungen wird in dieser Arbeit durchgeführt und liefert gewisse Vereinfachungen. Zunächst vereinfachen sich gewisse Elemente der Streumatrix gij. Weiter wird die in den Operatoren des mittleren Teilchenpotentials noch vorhandene Freiheit durch geeignete Verfügung benutzt, um die oben erwähnten 1/A‐Terme der Energie zum Verschwinden zu bringen. Dies wird durch eine Korrektur der Energienenner bewirkt. Gleichzeitig werden damit die Voraussetzungen für eine eindeutige Behandlung der Wechselwirkung in höherer Ordnung geschaffen. Diese höheren Ordnungen enthalten dann nur noch die Beiträage der Vielfachstreuung allein.
Abstract Von Brueckner1) wurde eine Theorie schwerer Atomkerne vorgelegt, die in wesentlichem Umfang die gegenseitige Korrelation der Teilchen mit berücksichtigt. Diese Theorie ist von Bethe2) auf Kerne endlicher Größe verallgemeinert worden, enthält jedoch noch Beiträge zur Gesamtenergie, die um Faktoren A kleiner sind. Eine systematische Untersuchung der Theorie vom Standpunkt der Störungsrechnung in allen Ordnungen wird in dieser Arbeit durchgeführt und liefert gewisse Vereinfachungen. Zunächst vereinfachen sich gewisse Elemente der Streumatrix gij. Weiter wird die in den Operatoren des mittleren Teilchenpotentials noch vorhandene Freiheit durch geeignete Verfügung benutzt, um die oben erwähnten 1/A‐Terme der Energie zum Verschwinden zu bringen. Dies wird durch eine Korrektur der Energienenner bewirkt. Gleichzeitig werden damit die Voraussetzungen für eine eindeutige Behandlung der Wechselwirkung in höherer Ordnung geschaffen. Diese höheren Ordnungen enthalten dann nur noch die Beiträage der Vielfachstreuung allein.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.
Das universelle Verhalten von Störstellen mit stark korrelierten Elektronen in einem Metall wird bewiesen. In solchen Systemen wechselwirken die lokalen, stark korrelierten Elektronen der Störstelle mit den niederenergetischen Teilchen-Loch-Anregungen des Metalls und bilden einen komplizierten Vielteilchen-Grundzustand. Alle Versuche, diesen Grundzustand, die elementaren Anregungen und die Energieskalen des universellen Verhaltens mit den sonst üblichen störungstheoretischen Methoden zu berechnen, sind gescheitert. In einigen Spezialfällen gelingt mit Hilfe des Bethe-Ansatzes oder der numerischen Renormierungsgruppe eine Bestimmung der Thermodynamik eines Modellsystems, das aber nicht direkt mit dem ursprünglichen System in Verbindung gebracht werden kann. Daher stellt sich die Frage, wie man das universelle Verhalten von solchen Systemen systematisch beschreiben kann. Die zentralen Aussagen dieser Dissertation lauten: 1. Die Energieskalen eines Systems mit Störstellen lassen sich mit Hilfe einer Diagrammtechnik exakt berechnen. 2. Der Störstellen-Anteil jeder Observablen skaliert im universellen Limes mit der gleichen Energie. 3. Allein die Diagrammstruktur liefert ein Kriterium dafür, wann eine Näherung das universelle Verhalten bewahrt. Die hier benutzte Diagrammtechnik für Störstellen in Metallen wird neu und vereinfacht hergeleitet. Die Zusammenfassung der Diagramme in Klassen von Skelettdiagrammen führt auf ein Variationsprinzip für ein erzeugendes Funktional. Der Störstellen-Anteil der jeweiligen Observablen ergibt sich am Sattelpunkt des Funktionals bezüglich der Variation nach den ionischen Propagatoren. Diese Methode stammt von Luttinger und Ward. In dieser Dissertation wird die Information benutzt, wie die Skelettdiagramme strukturiert sind. Der entscheidende Punkt ist, dass man die Parameter-Abhängigkeit der Propagatoren im erzeugenden Funktional am Sattelpunkt ignorieren kann: Sie wird nur durch die Struktur der Skelettdiagramme bestimmt. Die Skelettdiagramme können so allein aufgrund ihrer Struktur nach der inversen Bandbreite klassifiziert werden. Nur eine als relevant bezeichnete Mindestmenge der Skelettdiagramme bestimmt die exakten Energieskalen des Systems, ohne das Modell vorher gelöst zu haben. Dies ergibt die erste Aussage. Eine Observable ergibt sich stets als Antwort des Systems auf ein entsprechendes äusseres Feld. Es wurde gezeigt, dass es nicht von der Observablen abhängt, welche Skelettdiagramme relevant sind. So kann man zeigen, dass der Störstellen-Anteil jeder Observablen mit der gleichen Energieskala skaliert. Dies ergibt die zweite Aussage. Die relevanten Skelettdiagramme beschreiben damit das universelle Verhalten der Störstelle und garantieren eine systematische Näherung für die Thermodynamik und die Dynamik der Störstelle. Berücksichtigt man noch weitere Skelettdiagramme, so verhalten sich die damit berechneten Störstellen-Anteile von Observablen genau dann universell, wenn ganze Familien von Skelettdiagrammen mitgenommen werden. Diese Skelettdiagramme ändern nichts an der Energieskala. Dies ergibt die dritte Aussage. Für das Anderson-Modell Störstelle in einem Metall ergeben die relevanten Skelettdiagramme gerade die sogenannte non-crossing-approximation (NCA). Daher beschreibt die NCA das universelle Verhalten des Anderson-Modells qualitativ richtig. Skelettdiagramme höherer Ordnung ändern das Bild nicht qualitativ. Bisher war es unerklärlich, warum die NCA mit den Resultaten der numerischen Renormierungsgruppe so gut übereinstimmt. Die Erklärung findet sich im exakten Skalierungsverhalten der NCA, das hier gezeigt wurde. Um das Verfahren zu testen, haben wir für das Anderson-Modell im magnetischen Limes das crossover untersucht. Für hohe Temperaturen oder Magnetfelder verhält sich das magnetische Moment der Störstelle asymptotisch frei, während es für tiefe Temperaturen durch niederenergetische Teilchen-Loch-Anregungen des Fermi-Sees abgeschirmt wird. Dieses crossover vom perturbativen Hochtemperatur- zum nichtperturbativen Niedertemperaturbereich wird durch die Wilson-Zahl charakterisiert. Hier wird die Wilson-Zahl zum ersten Mal mit einer Diagrammtechnik (NCA) berechnet. Das Ergebnis stimmt im Rahmen der Näherung mit dem als exakt postulierten Resultat überein. Um das universelle Verhalten anderer Observablen zu demonstrieren, wurde sodann für das Anderson-Modell zum ersten Mal explizit gezeigt, dass das Einteilchen-Anregungsspektrum - und damit die Abrikosov-Suhl-Resonanz - richtig skaliert, wenn man es mit Hilfe der NCA berechnet. Die vorgestellte Methode ermöglicht es auch, für ein System mit Störstellen die Qualität von Näherungen zu beurteilen, ohne sie zuvor explizit lösen zu müssen.
0-κ-Josephsonkontakte sind faszinierende Bauelemente deren experimentelle Realisierung und Untersuchung in den letzten Jahren erst möglich wurde. Diese Arbeit gliedert sich in die Messung des makroskopischen Quantentunnelns der Josephsonphase in einem 0-κ-Kontakt und die Energielevelspektroskopie an solchen Kontakten. Der 0-κ-Josephsonkontakt wird dabei durch einen „gewöhnlichen“ Nb-AlOx-Nb-Kontakt mit einem Strominjektorpaar realisiert. Durch Anlegen eines Injektorstromes lässt sich eine Phasendiskontinuität κ = π einstellen. Dadurch wird das System in einen entarteten Grundzustand gebracht, in dem zwei kritische Ströme Ic± gemessen werden können. Diese beiden kritischen Ströme sind charakteristisch für einen nicht allzu langen 0-κ-Kontakt, dessen räumlich gemittelte Phase zwei Grundzustandswerte ±φ in einem effektiven Doppelmuldenpotenzial annehmen kann. Durch Variieren des Injektorstromes in einem kleinen Bereich um dieses Minimum κ = π ± ε, lässt sich der Abstand der Werte der beiden kritischen Ströme Ic± beliebig einstellen. Für diese beiden kritischen Ströme kann nun der Escapeprozess sowohl im thermischen als auch im quantenmechanischen Regime untersucht werden. Dieser Escapeprozess kann im Bild des Teilchens im gekippten Waschbrettpotenzials beschrieben werden. Das Waschbrettpotenzial wird dabei durch Anlegen eines Biasstromes solange verkippt, bis die Barriere klein genug ist, dass das Teilchen aufgrund thermischer oder quantenmechanischer Fluktuationen über oder durch die Barriere entkommen kann. Die dafür benötigte Energie wird im Falle eines thermischen Escapeprozesses als Aktivierungsenergie bezeichnet und kann mittels Messung der Schaltwahrscheinlichkeit des Kontaktes statistisch bestimmt und mit theoretischen Modellen in verschiedenen Dämpfungsregimes beschrieben werden. Weiterhin wurden Messungen der Temperaturabhängigkeit der Aktivierungsenergie durchgeführt. Unterhalb der Crossover-Temperatur T* vom thermischen ins quantenmechanische Regime, bei diesen Kontakten ist T* ≈ 175mK, wird der Escapeprozess vom makroskopischen Quantentunneln dominiert. Dies spiegelt sich in einer Sättigung der Verteilungsbreite der Schaltstatistikhistogramme wieder und ist ein erster Hinweis auf das Erreichen des quantenmechanischen Regimes. Es wurden weitere Messungen zur Abhängigkeit der Verteilungsbreite vom angelegten Injektorstrom durchgeführt und somit weitere Belege für das makroskopische Quantentunneln gesammelt. Jedoch konnten diese Messungen noch nicht mit den derzeit vorliegenden, theoretischen Vorhersagen in Einklang gebracht werden. Neben den Messungen zum makroskopischen Quantentunneln wurden Spektroskopiemessungen der Energieniveaus, die sich innerhalb der Potenzialmulde ausbilden, durchgeführt. Zunächst wurde die Plasmafrequenz der untersuchten Kontakte experimentell bestimmt und nach parasitären Resonanzen gesucht. Anschließend wurden die Messungen zur Energielevelspektroskopie durchgeführt. In diesen Messungen traten interessante Strukturen auf, die Hinweise für die Anregung der Phase in höhere Energieniveaus innerhalb des Potenzialminimums sind. Da die auftretenden Strukturen weder mit klassischen Simulationen, noch mit dem Auftreten von Störresonanzen erklärbar sind, deutet vieles darauf hin, dass der Escape der Josephsonphase aus dem Grundzustand und höheren, angeregten Zuständen mittels spektroskopischen Untersuchungen nachgewiesen wurde. Deshalb ist ein Vergleich mit quantenmechanischen Simulationen nötig, welcher bisher, aufgrund der fehlenden quantenmechanischen Berechnungen, noch nicht durchgeführt werden konnte. Die in dieser Arbeit vorgestellten Experimente geben erste, klare Hinweise auf das quantenmechanische Verhalten von 0-κ-Josephsonkontakten, konnten jedoch bisher noch nicht mit den theoretischen Modellen zufriedenstellend beschrieben werden. Diese Arbeit konnte dennoch eine Grundlage für weitere Untersuchungen des quantenmechanischen Verhaltens von 0-κ-Josephsonkontakten schaffen.
Obwohl die Bohrsche Theorie des Atombaues nicht in der Lage ist, den Atombau und die Spektren in allen Einzelheiten zu beschreiben, so gelten doch einige ihrer wichtigsten Grundzüge auch für Atome mit mehreren Elektronen. Zu diesen unverändert gültigen Grundlagen gehören die Existenz stationärer Zustände, die Quantelung der Energie und die Quantelung des Drehimpulses. Eine exakte Behandlung der Atome mit mehreren Elektronen muß streng wellenmechanisch erfolgen. Sie ist mathematisch schwierig und führt auch nicht zu einem Atommodell, das sich leicht veranschaulichen läßt. In der Wellenmechanik muß man ein Elektron der Atomhülle als dreidimensionale Welle betrachten, die den Kern umgibt. Es ist daher unzutreffend, ja sogar unmöglich, dem Elektron bei seiner Bewegung eine genau definierte Bahn zuzuschreiben. Stattdessen liefert die Wellenmechanik mittels der Wellenfunktion nur die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für einen bestimmten Ort. Nichtsdestoweniger können wir aber, falls wir diese Einschränkungen beachten, eine gewisse Einsicht in die Ergebnisse der Wellenmechanik gewinnen, wenn wir diese auf ein streng klassisches Teilchenmodell anwenden. Zunächst wollen wir den klassischen Fall eines Teilchens behandeln, das sich im Felde einer anziehenden Kraft bewegt, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes abnimmt. Anschließend führen wir ohne Beweis einige wichtige Ergebnisse der Wellenmechanik an. Diese Ergebnisse können wir dann durch die Analogie zum entsprechenden klassischen Modell deuten.
ZusammenfassungQuantenerscheinungen wie sie bei dem Beugungsexperiment des Elektrons an einer Öffnung auftreten, weisen darauf hin, daß sich jedes Elektron zwischen den Beobachtungen wie eine Welle verhält, jedoch wie ein Teilchen, wenn es beobachtet wird. Die Quantentheorie — die Mathematik, die diese Erscheinungen beschreibt — spiegelt in entsprechender Weise die doppelte Identität jedes Quons wider, indem sie eine ungemessene Größe durch eine besondere Wellengestalt darstellt, deren Form verschlüsselt die Wahrscheinlichkeit enthält, mit der ein teilchenartiges Ereignis mit bestimmtem Ort und bestimmten Attributen beobachtet werden kann. Sowohl die Quantentheorie als auch die Quantenerscheinung stützen die Ansicht, daß der reale Zustand eines ungemessenen Elektrons (und jedes beliebigen anderen Quons) radikal verschieden sei von dem Realitätszustand irgendeines Elektrons, das schon einmal gemessen wurde.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Quantenmechanik und dem klassischen Grenzfall von n-Niveau-Atomen mit kollektiver Wechselwirkung. Der klassische Grenzfall wird erreicht, wenn die Anzahl der Atome gegen unendlich geht. Die makroskopischen Observablen von kollektiv wechselwirkenden n-Niveau-Atomen sind die Besetzungszahlen der Niveaus und die Kohärenzen, die durch Operatoren beschrieben werden, die jeweils ein Niveau in ein anderes uberf uhren. Diese makroskopischen Observablen haben die gleichen Vertauschungsrelationen wie die Erzeuger der Lie-Gruppe SUn . Die Lie-Gruppe SUn spielt eine große Rolle sowohl für die quantenmechanische Dynamik als auch für den klassischen Grenzfall. Nach der Einführung in die bekannte quantenmechanische Beschreibung von n-Niveau-Atomen, der zugehörigen makroskopischen Observablen und der Hilbert-Räume werden kohärente Zustände definiert, die eng mit der Lie-Gruppe SUn verknüpft sind. Die generelle Struktur der kohärenten Zustände und des klassischen Grenzfalles sind seit längerem bekannt. Um die Eigenschaften der kohärenten Zustände explizit anzugeben, werden in dieser Arbeit einige Enflechtungs- und Umordnungstheoreme bewiesen. Unter Verwendung kohärenter Zustände wird dann der klassische Grenzfall unendlich vieler n-Niveau-Atome behandelt, bei dem die Heisenberg-Gleichungen für quantenmechanische operatorwertige Observablen in die Hamiltonschen Gleichungen der klassischen Mechanik übergehen. Kollektiv gekoppelte n-Niveau-Atome haben einen kompakten klassischen Phasenraum und daher quantenmechanisch einen Hilbert-Raum mit endlicher Dimension. Damit eignen sich diese Systeme sehr gut für Untersuchungen von quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität. Der Fall n = 2 ist in dieser Hinsicht bereits sehr gut untersucht worden. Der klassische Phasenraum ist in diesem Fall zweidimensional (die Oberfläche einer Kugel), so daß chaotische Dynamik nur dann möglich ist, wenn das System periodisch getrieben wird. Will man Chaos in einer autonomen Dynamik von n-Niveau-Atomen finden, muß man den Fall n >= 3 betrachten. Diese Systeme besitzen in ihrer Struktur zusätzlichen Reichtum gegenüber n = 2. Für n = 3 ist die Dimension des klassischen Phasenraums entweder vier oder sechs. Bei den verschiedenen Routen zum klassischen Grenzfall und den sich daraus ergebenden verschiedenen Dimensionen des klassischen Phasenraums stellt sich die Frage, ob es möglich ist, einen Hamilton-Operator zu konstruieren, der neben der Energie noch genau eine weitere Bewegungskonstante hat, so daß die klassische Dynamik im vierdimensionalen Phasenraum integrabel ist, jedoch nichtintegrabel wird, wenn der klassische Grenzfall in einem sechsdimensionalen Phasenraum vollzogen wird. Einige Beispiele für solche Hamilton-Operatoren werden in dieser Arbeit angegeben und die quantenmechanischen Signaturen von Chaos und Integrabilität werden untersucht. Auf die Niveaudynamik für einparametrige Familien von Hamilton-Operatoren H(--) wird ebenfalls eingegangen. Dabei wird eine ausführliche Diskussion des Status von deutlich vermiedenen und von echten oder schwach vermiedenen Kreuzungen im chaotischen und integrablen Regime durchgeführt. Im abschließenden Kapitel wird eine semiklassische Methode zur Bestimmung des Spektrums untersucht. Üblicherweise bestimmt man das Spektrum semiklassisch uber die von M. C. Gutzwiller entdeckte Spurformel für die Niveaudichte. In die Gutzwillersche Spurformel geht eine Summe uber alle periodischen Bahnen einer gegebenen Energie ein. Die Summe über alle periodischen Bahnen birgt jedoch erhebliche Schwierigkeiten. So wächst die Anzahl der periodischen Bahnen bei chaotischer Dynamik exponentiell mit der Länge der Periode { man spricht von exponentieller Proliferation. Damit ist einerseits die Konvergenz in Frage gestellt, andererseits ist es numerisch nicht lösbares Problem, alle periodischen Bahnen zu finden. Es ist bekannt, daß man nicht alle periodischen Bahnen braucht, um das Spektrum aufzulösen, sondern nur alle periodischen Bahnen, deren Periode kürzer ist als die sogenannte Heisenberg-Zeit fi H . Die Heisenberg-Zeit ist durch die mittlere Niveaudichte j bestimmt. Damit gehen nur endlich viele periodische Bahnen in die semiklassische Spurformel ein. Im allgemeinen bleibt es jedoch auch dann äußerst aufwendig (wenn nicht unmöglich), alle notwendigen periodischen Bahnen numerisch zu finden. Eine effizientere Methode für die semiklassische Bestimmung des Spektrums könnte darin bestehen, das Spektrum eines autonomen Systems aus der semiklassischen Spur des zeitabhängigen Propagators u(t) = P k exp( ~ ) zu bestimmen. Im Prinzip braucht man in einem N-dimensionalen Hilbert-Raum die Spur des Propagators u(t) nur an N 2 Fußpunkten t k bestimmen, um alle Informationen über das Spektrum zu besitzen. Es stellt sich die Frage, wie groß die Zeiten t k tatsächlich dann gewählt werden muß. Diese Methode wird am Beispielsystem zweier gekoppelter Drehimpulsvektoren untersucht. In dieser Arbeit konnte nur die Durchführbarkeit der semiklassischen Methode gezeigt werden. Die Untersuchung der Effizienz verlangt nach anderen Systemen, für die es einfacher ist, die periodischen Bahnen aufzufinden.