Abstract Quantenmechanische Teilchen können mit sich selbst interferieren, wie sich beim Doppelspaltexperiment beobachten läßt. Voraussetzung hierfür ist die Phasenkohärenz. ändert sich die Phase der Wellenfunktion auf zufällige Art und Weise, so verschwindet des Interferenzmuster. Der Weg, den ein Teilchen im Mittel zurücklegt, bevor es seine Phase vergißt, heißt Phasenkohärenzlänge. Die Überzeugung, daß sie am Nullpunkt der Temperatur divergiert, ist kürzlich aufgrund experimenteller Ergebnisse ins Wanken geraten und mit ihr wichtige Aspekte der Quantenmechanik.
Abstract Quantenmechanische Teilchen können mit sich selbst interferieren, wie sich beim Doppelspaltexperiment beobachten läßt. Voraussetzung hierfür ist die Phasenkohärenz. ändert sich die Phase der Wellenfunktion auf zufällige Art und Weise, so verschwindet des Interferenzmuster. Der Weg, den ein Teilchen im Mittel zurücklegt, bevor es seine Phase vergißt, heißt Phasenkohärenzlänge. Die Überzeugung, daß sie am Nullpunkt der Temperatur divergiert, ist kürzlich aufgrund experimenteller Ergebnisse ins Wanken geraten und mit ihr wichtige Aspekte der Quantenmechanik.
Phasenübergänge spielen in der Physik eine bedeutende Rolle. Es entspricht unserer Alltagserfahrung, dass Materie ihre Eigenschaften in Abhängigkeit von äußeren Parametern wie Volumen, Druck oder Temperatur bei Überschreiten gewisser Phasengrenzen grundlegend ändern kann. Eine solche Grenze stellt der Übergang eines klassischen Gases von Teilchen mit ganzzahligem Spin hin zu einem entarteten Quantengas dar: Die Bose-Einstein-Kondensation. Bei gegebener Dichte führt das kollektive Verhalten der Teilchen durch den Überlapp ihrer quantenmechanischen Wellenpakete unterhalb einer bestimmten Temperatur zu einer makroskopischen Besetzung nur eines Zustandes, sodass das Gesamtsystem durch nur eine Wellenfunktion beschrieben werden kann. Die Kondensation ist ein rein quantenstatistischer Effekt, basierend auf der grundlegenden Ununterscheidbarkeit bosonischer Teilchen, und somit unabhängig von der Existenz jeglicher Wechselwirkungen. Das in dieser Arbeit untersuchte zweidimensionale, harmonisch gefangene Photonengas in einem Farbstoff-Mikroresonator ist der Schwarzkörperstrahlung sehr ähnlich, unterscheidet sich jedoch in einem zentralen Punkt: Der verwendete Fluoreszenzfarbstoff kann, anders als die Wände des Schwarzkörpers, nicht thermisch angeregt werden, da die Anregungsenergie des elektronischen Übergangs um mehr als eine Größenordnung oberhalb der thermischen Energie liegt. Weiter muss der Farbstoff ein zuvor absorbiertes Photon zwangsläufig wieder emittieren, wobei es dem angeregten Farbstoffmolekül erlaubt ist, durch Stöße mit Lösungsmittelmolekülen Energie auszutauschen. Durch wiederholte Absorptions- und Reemissions-Prozesse koppelt das Photonengas so an das durch den Farbstoff gebildete Wärmebad und thermalisiert bei Raumtemperatur. Zudem beschränkt der Mikroresonator das Photonengas durch Festhalten des longitudinalen Wellenvektors auf seine beiden transversalen Freiheitsgrade. Dies führt zu einem nicht-trivialen Grundzustand mit einer unteren Abschneidefrequenz, sodass sich das Photonengas formal äquivalent zu einem Gas aus massiven bosonischen Teilchen verhält. Letzteres spiegelt sich auch in dem quadratischen Verlauf der Dispersionsrelation wider, welcher charakteristisch für ein Gas massiver Teilchen ist. Bei Erhöhung der Teilchenzahl kann der Phasenübergang zum Bose-Einstein-Kondensat beobachtet werden, indiziert durch die makroskopische Besetzung des Grundmoden im harmonischen Fallenpotential. Zentrales Thema der vorliegenden Arbeit ist die experimentelle Untersuchung der Ordnungsparameter des Photonengases beim Übergang aus der klassischen, vollständig durch die Boltzmann-Statistik beschriebenen thermischen Phase hin zum quantenentarteten Bose-Einstein-Kondensat. Zunächst erfolgt eine Bestimmung der kalorischen Eigenschaften des Systems, insbesondere der inneren Energie, der spezifischen Wärme und der Entropie anhand von spektroskopischen Messungen der Photonenzahlverteilung im Mikroresonator. Dabei zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit den Erwartungen gemäß der Theorie des idealen Bosegases. Im Grenzfall hoher Temperaturen (geringer Teilchenzahlen) verhält sich das Photonengas wie ein klassisches einkomponentiges Gas, dessen Gesamtenergie gemäß des Äquipartitionstheorems mit der Temperatur und der Anzahl an Freiheitsgraden skaliert. Für tiefe Temperaturen (hohe Teilchenzahlen) strebt der Energieinhalt pro Teilchen des kondensierten Systems gegen 0, was gleichbedeutend ist zu einer unendlich großen Kompressibilität, wie sie für das ideale Bosegas zu erwarten ist. Der Phasenübergang wird besonders eindrucksvoll durch den spitzen Verlauf der spezifischen Wärme sichtbar, ähnlich dem bekannten λ-Übergang von flüssigem 4He in seine suprafluide Phase. In einem weiteren Schritt erfolgt eine interferometrische Untersuchung der Korrelationen erster Ordnung, die als direkte Indikatoren für den Grad an Ordnung im System dienen. In der thermischen Phase fällt die transversale Kohärenz auf einer von der thermischen de Broglie Wellenlänge vorgegebenen Längenskala ab. Dabei zeigt diese sowohl eine quantitative Übereinstimmung mit der Erwartung für ein Teilchen mit einer Masse, die der effektiven Photonenmasse im Resonator entspricht, als auch die erwartete Skalierung mit der Temperatur. Es konnte somit im Rahmen der vorliegenden Arbeit erstmalig die tatsächliche thermische de Broglie Länge eines photonischen Systems vermessen werden. Überdies konnte gezeigt werden, dass der Phasenübergang zum Kondensat einsetzt, sobald die theoretisch erwartete Phasenraumdichte erreicht ist. Die Annahme, dass die Quantennatur der Teilchen genau dann eine dominierende Rolle einnimmt, wenn ihre Wellenpakete überlappen, konnte somit für ein photonisches System verifiziert werden. Mit Einsetzen der Kondensation wächst die Kohärenz rasch an, sodass eine das gesamte System umfassende, langreichweitige Ordnung etabliert wird. In der Gesamtbetrachtung zeigt sich, dass das harmonisch gefangene, zweidimensionale Photonengas im farbstoffgefüllten Mikroresonator der Realisierung eines idealen Bosegases unerreicht nahe kommt.
Zur Formulierung der Quantenmechanik mehrerer Teilchen betrachten wir zwei Massenpunkte mit Massen m 1 und m 2, die sich an den Orten r 1 und r 2 befinden. In Analogie zur nichtrelativistischen Einteilchenquantenmechanik, wie sie im Kap. 1 beschrieben wurde, sollen sich die Zweiteilchenzustände ϕ(r 1,r 2, t) als Lösungen einer Zweiteilchen-Schrödinger-Gleichung ergeben. Im Sinne der statistischen Deutung der Wellenfunktion wäre die Größe |ϕ(r 1,r 2, t)|2 als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte dafür zu interpretieren, daß das Teilchen mit der Masse m 1 am Ort r 1 und das Teilchen mit der Masse m 2 am Ort r 2 zu finden ist. Die Größe ∫ |ϕ(r 1,r 2, t)|2 d3 r 2 wäre dann die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte dafür, das Teilchen mit der Masse m 1 am Ort r 1 zu finden, unabhängig davon, wo sich das andere Teilchen befindet. Ferner müßte ∫ |ϕ(r 1,r 2, t)|2 d3 r 1 d3 r 2 = 1 sein, da davon ausgegangen wird, daß beide Teilchen vorhanden sind.
ZusammenfassungDas Mehrteilchenproblem der Atomphysik konnte, wie die meisten Probleme der Quantenphysik, erst auf Grund der modernen Quantenmechanik in Angriff genommen werden. Die ältere Bohrsche Quantentheorie hat bei der Behandlung des Mehrteilchenproblems vollkommen versagt, denn es zeigte sich, daß schon das einfachste Mehrteilchenproblem, das He-Problem, bei dem sich im Feld eines Kernes nur zwei Elektronen bewegen, zu unüberwindlichen Schwierigkeiten führte, und es ist auf Grund der Bohrschen Atomtheorie nicht gelungen, ein He-Modell zu konstruieren, das die Eigenschaften des He-Atoms zu erklären vermag. Durch die Entdeckung der Quantenmechanik, die man in erster Linie De Broglie, Heisenberg, Schrödinger und Dirac zu verdanken hat, änderte sich diese Lage mit einem Schlag. Durch die Quantenmechanik wurde für die gesamte Quantenphysik ein neues Fundament geschaffen, aus dem sich eine in sich geschlossene und widerspruchsfreie Theorie des Mehrteilchenproblems entwickeln konnte. Natürlich muß man gerade so wie beim berüchtigten astronomischen Drei- und Mehrkörperproblem darauf verzichten, das Problem in seinem vollen Umfang anzugreifen; es werden immer nur spezielle, in der Natur wichtige Teilprobleme zu lösen sein, und jedes dieser Teilprobleme erfordert wohlüberlegte und kunstvolle mathematische Approximationen.
Die Frage nach dem Übergang eines quantenmechanischen Systems hin zur klassischen Mechanik ist seit geraumer Zeit Gegenstand intensiver Forschung. Sie lässt sich mit der Theorie der Dekohärenz beschreiben und äußert sich vor allem im Verschwinden makroskopischer Superpositionszustände. In dieser Arbeit wird anhand eines Biprisma-Interferometers die Dekohärenz von elektronischen Materiewellen an einer Goldoberfläche theoretisch diskutiert und experimentell untersucht. Dabei treten als Parameter sowohl die räumliche Aufspaltung der beiden Teilwellen, als auch ihre Höhe über der Goldplatte auf. Als Messobservable dient jeweils der Kontrastwert des entstehenden Interferenzmusters. Im Zuge der Experimente wird außerdem eine Methode zur kohärenten Signalerhöhung eingesetzt. Die Signalrate einer Ein-Atom-Spitze ist dabei unabhängig von der Elektronenenergie einstellbar. Die Beibehaltung der Kohärenzeigenschaften wird verifiziert. Darüber hinaus ist unter Mitwirkung dieser Methode die Bestimmung der Energiebreite möglich. Für die Anwendung als Sensor für elektromagnetische und mechanische Schwingungsfrequenzen wird außerdem ein kompaktes Interferometer vorgestellt, welches aufgrund des einfachen Aufbaus transportabel ist und lokale Störfrequenzen identifizieren kann. Im Hinblick auf den Dekohärenzmechanismus von freien Elektronen über einer supraleitenden Oberfläche wird ein Kryostatsystem vorgestellt. Speziell für Messungen nahe der Sprungtemperatur wird ein tieferes Verständnis über den quantenmechanischen-klassischen Übergang erwartet.
ZusammenfassungDie Quantenmechanik in ihrer ursprünglichen, von Heisenberg begründeten Matrizenform war ausschließlich zur Behandlung abgeschlossener, periodischer Systeme geeignet. Sie beschrieb mögliche Zustände und Obergänge, sie erlaubte die Energieniveaus zu berechnen sowie die Schwingungen der „virtuellen Resonatoren“, die den Quantensprüngen zugeordnet sind; aber sie konnte nicht vorhersagen, wie sich ein System unter bestimmten äußeren Bedingungen verhalten würde. Bald aber zeigte es sich, daß auf Grund der Matrizenmechanik wenigstens statistische Aussagen über das Verhalten eines Systems möglich sind, wenn dieses locker mit einem anderen System gekoppelt ist. Dann ist seine Energie nicht konstant, ihre Matrix hat nicht nur Diagonalelemente; aber ihr Mittelwert ist eine Diagonalmatrix und das Element, das die mittlere Energie im n=ten Zustande unter der Wirkung der Störung bedeutet, läßt sich auffassen als das Resultat von Quantensprüngen zwischen dem n=ten Zustande und allen andern Zuständen des ungestörten Systems, wobei jedem Sprunge eine aus der Koppelung berechenbare Übergangswahrscheinlichkeit zukommt. Dagegen läßt sich nichts über den Zeitpunkt eines Quantensprunges aussagen. Die Weiterentwicklung der Quantenmechanik hat ihren statistischen Charakter immer deutlicher zum Vorschein gebracht, besonders als es gelang, aperiodische Vorgänge der Behandlung zu unterwerfen. Von den
Der Drehimpuls hat in der Physik die gleiche fundamentale Bedeutung wie der lineare Impuls und die Energie. Ebenso wie jene Größen ist er bereits in der klassischen Mechanik durch einen Erhaltungssatz ausgezeichnet, und zwar dann, wenn das entsprechende physikalische Problem rotationssymmetrisch ist. Für den atomaren Bereich gilt das gleiche. Jedoch müssen wir den Drehimpuls mit quantenmechanischen Methoden behandeln. Wir unterscheiden hierbei zwischen dem Bahndrehimpuls, der die Bahnbewegung eines Teilchens um eine feste Achse beschreibt, und einem inneren Drehimpuls, den viele Teilchen besitzen und den man Spin nennt. Der Spin eines Teilchens läßt sich von der Vorstellung her als eine Art Eigenrotation des Teilchens deuten. Es ist jedoch nicht möglich, ihn mit klassischen Methoden zu beschreiben, wie etwa die Eigenrotation der Erde. Im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik muß er zusätzlich eingeführt werden, wie in den nachfolgenden Abschnitten gezeigt wird. Erst in der relativistischen Quantenmechanik folgt er zwanglos aus deren Formalismus. Wir werden in Kap.5 sehen, daß der Spin des Elektrons für die Erklärung einer ganzen Reihe von Erscheinungen beim Wasserstoffatom eine entscheidende Roll spielt. Dasselbe gilt für die Mehrelektronenatome in Kap. 6.