Zur Theorie des Spins

Moritz Réthy

Julia Liebert

Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Grundlagen von Funktionaltheorien und der Geometrie reduzierter Dichtematrizen mit einem Schwerpunkt auf der Ein-Teilchen-Ebene.Funktionaltheorien, wie die Dichtefunktionaltheorie, spielen eine zentrale Rolle in der modernen Elektronenstrukturtheorie, doch bestehende Dichtefunktionalnäherungen erfassen starke Elektronenkorrelationen nur unzureichend.Eine vielversprechende Alternative zur Beschreibung des Grundzustands stark korrelierter Systeme ist die reduzierte Dichtematrix-Funktionaltheorie (RDMFT), die die vollständige Ein-Teilchen reduzierte Dichtematrix (1RDM) als natürliche Variable verwendet.Um die theoretischen Grundlagen von Funktionaltheorien weiterzuentwickeln, präzisieren wir zentrale Konzepte und entwickeln ein umfassendes Rahmenwerk zur Berücksichtigung von Symmetrien.Aufgrund der Relevanz des Elektronenspins zur Beschreibung von Vielteilchensystemen wenden wir diese Konzepte speziell auf Spin-Symmetrien in der RDMFT an.Dabei zeigen wir, wie sich die natürliche Variable systematisch von der vollständigen 1RDM auf symmetrieangepasste Größen wie die Orbitale-1RDM und die Spin-1RDM reduzieren lässt.Durch die Kombination von Methoden der konvexen Analysis, diskreten Geometrie und Darstellungstheorie lösen wir das symmetrieangepasste Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem für verschiedene Spin-Quantenzahlen und Wahlmöglichkeiten der natürlichen Variablen.Dies führt letztendlich zur Herleitung von symmetrieadaptierten Paulischen Ausschlussprinzipien, die linear von der Teilchenzahl 𝑁 und dem Gesamtspin 𝑆 abhängen.Darüber hinaus entwickeln wir ein Instrumentarium zur Untersuchung und Anwendung spin-adaptierter verallgemeinerter Paulischer Ausschlussprinzipien (GPCs) in Quantensystemen mit geringer Teilchenzahl.Schließlich diskutieren wir die physikalische Bedeutung des sogenannten (Quasi-)Pinnings, das Sitationen beschreibt, in denen die GPCs (annähernd) saturiert sind.Des Weiteren führen wir spin-adaptierte Kumulanten als in der Systemgröße extensive Komponenten spin-adaptierter reduzierter Dichtematrizen für Anwendungen in Theorien reduzierter Dichtematrizen ein.Anschließend entwickeln wir eine Ensemble-RDMFT für angeregte Zustände, die eine gezielte Beschreibung niederenergetischer angeregter Zustände innerhalb einzelner Symmetriesektoren ermöglicht.Zur Charakterisierung des Definitionsbereichs des zugehörigen universellen Funktionals definieren und lösen wir das zugrunde liegende spin-adaptierte Ein-Teilchen 𝑁 -Repräsentierbarkeitsproblem, wobei die potenzielle Gemischtheit des 𝑁 -Fermionen-Quantenzustands berücksichtigt wird.Zudem diskutieren wir Anpassungen für den Fall, dass zusätzliche lokale Informationen über das Ensemble der 1RDMs verfügbar sind.Angesichts der weitreichenden Bedeutung der Hartree-Fock-Theorie in der Vielteilchenphysik und Quantenchemie erweitern wir schließlich Liebs wegweisendes Variationsprinzip auf angeregte Zustände und etablieren damit eine Ensemble-Mean-Field-Methode für deren Behandlung.

Matteo Smerlak

V. Fock

Mirjana Božić, Z. Marić