Abstract Die Elektronentheorie in unendlichen Kristallgittern, wie sie im „Handbuch der Physik”︁ 24,2 von A. Sommerfeld und H. Bethe entwickelt und im Anschluß daran in zahlreichen Arbeiten benützt wurde, wird hier von ihren mathematischen Unzulänglichkeiten befreit. Der quantenmechanischen Beschreibung wird ein widerspruchsfreies mathematisches Modell zur Verfügung gestellt. Sie vollzieht sich in einem inseparablen Hilbert‐Raum in möglichst enger Anlehnung an die bekannte quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme in separablen Hilbert‐Räumen.
Abstract Die Elektronentheorie in unendlichen Kristallgittern, wie sie im „Handbuch der Physik”︁ 24,2 von A. Sommerfeld und H. Bethe entwickelt und im Anschluß daran in zahlreichen Arbeiten benützt wurde, wird hier von ihren mathematischen Unzulänglichkeiten befreit. Der quantenmechanischen Beschreibung wird ein widerspruchsfreies mathematisches Modell zur Verfügung gestellt. Sie vollzieht sich in einem inseparablen Hilbert‐Raum in möglichst enger Anlehnung an die bekannte quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme in separablen Hilbert‐Räumen.
Die Quantenmechanik wird oft als revolutionärer Bruch mit der klassischen Physik dargestellt – eine mysteriöse Theorie, die nur durch abstrakte Postulate und philosophische Interpretationen verständlich wird. Doch diese Darstellung übersieht, dass ihre mathematischen Grundlagen in der klassischen Elektrotechnik verankert sind. Ausgehend von der Telegraphengleichung, die Lord Kelvin bereits 1855 für transatlantische Kupferkabel formulierte, zeigen diese Überlegungen, wie die Quantenmechanik nicht als Bruch, sondern als logische Weiter-entwicklung bekannter Konzepte verstanden werden kann. Die Telegraphengleichung vereint in sich bereits alle Elemente der nichtrelativistischen Quantenmechanik: Im Grenzfall verlustfreier Leitungen wird sie zur Wellengleichung, bei starker Dämpfung zur Diffusionsgleichung und mit einer rein imaginären Dämpfungskonstante – einer Wick-Rotation – zur Schrödinger-Gleichung. Die zugrundeliegende mathematische Struktur dieser Gleichung, die universelle Theorie der Eigenfunktionen und Eigenwerte, wurde bereits von Sturm und Liouville im 19. Jahrhundert ausgearbeitet. Die dabei auftretenden speziellen Funktionen, wie Hermite-, Legendre- oder Laguerre-Polynome, waren lange vor der Quanten-mechanik bekannt und wurden für klassische Anwendungen entwickelt. Was die Schrödinger-Gleichung liefert, lässt sich statt als abstrakte Wahrscheinlichkeit pragmatisch als statische Ladungsverteilung interpretieren, hier also auf ihren didaktischen Kern reduziert, gleich ob für ein einzelnes Atom oder über das Bloch-Theorem, für ein periodisches Kristallgitter. Die vier scheinbar getrennten Begegnungen mit der Quantenmechanik im Elektrotechnik-Studium – Dotierung, Bipolartransistor, MOS-Transistor und Nanoelektronik – sind keine neuen Prinzipien, sondern Anwendungen derselben Ladungsverteilungs-Logik. Die Quantenmechanik, die ein Elektrotechniker benötigt, ist somit keine neue Physik, sondern die konsequente Anwendung bekannter Mathematik auf atomare Dimensionen. Sie ist kein Mysterium, sondern angewandte Leitungstheorie.
Die Quantentheorie und die Theorie der quantenmechanischen Messung ermoglichen es, Aussagen uber quantenphysikalische Systeme (Atome, Kerne, Elementarteilchen) zu machen, die an diesen Systemen experimentell nachgepruft werden konnen.Beispiele fur solche Aussagen sind z.B. ,,das Elektron hat den Impuls p" oder ,,der Atomkern hat einen Drehimpuls J".Wie fur die Aussagen aller Wissensgebiete wird man zunachst auch fur diese Aussagen erwarten, daR sie den Regeln der Logik gehorchen.Tatsachlich ist das aber nicht der Fall.Es hat sich namlich gezeigt, daB von den Regeln der Aussagenlogik, die zuerst von den Stoikern aufgestellt wurden, spater im Mittelalter und in der modernen mathematischen Logik wieder aufgegriffen wurden, nur noch ein Teil fur Aussagen uber Quantenphanomene richtig bleibtl).2)3 9, 4).Einige dieser Regeln verlieren ihre Gultigkeit.Derjenige Teil der logischen Regeln, der auch noch in der Quantenphysik gilt, wird gewohnlich als Quantenlogik bezeichnet.Es handelt sich also bei der Quantenlogik nicht um eine ,,neue" Logik, die im Bereich des Atomaren gilt, sondern um eine restriktive Logik, die weniger enthalt als die uns bekannte klassische Aussagenlogik.Der heutige Physiker ist im allgemeinen leicht geneigt zu glauben, daR irgendeine Disziplin, die in der Philosophie vergangener Jahrhunderte fur wahr gehalten wurde, durch die moderne Physik widerlegt sei.Das kommt einerseits daher, daR viele Physiker empiristisch denken, d. h. in diesem Falle, daB sie geneigt sind zu glauben, man konne alle auf die Erfahrung bezogenen Behauptungen auch durch Erfahrungen -z.B. der Atomphysikwiderlegen. Anderseits sprechen fur eine solche Einstellung die schlechten Erfahrungen, die die Physik mit Begriffen und Satzen gemacht hat, die in der philosophischen Tradition uberliefert wurden.Die Verknupfung von Raum und Zeit in der Relativitatstheorie oder das Versagen des Kausalgesetzes in der Quantentheorie gehoren zu diesem Problemkreis.Man wird deshalb versucht sein, auch eine Restriktion der Aussagenlogik in der modernen Atomphysik einfach als eine neue Erfahrung hinzunehmen.Dies ist jedoch nicht ohne weiteres moglich.Die groRte Schwierigkeit, die sich einer solchen Einstellung entgegenstellt, ist die Tatsache, daB die klassische Aussagenlogik wahr ist.Und zwar ist die Aussagenlogik keineswegs in einem empirischen Sinne wahr, sondern sie ist wahr durch das unmittelbare Einleuchten (die Evidenz) ihrer Satze, deren Gultigkeit somit auf keinen bestimmten Gegenstandsbereich eingeschrankt ist.Wie das im Einzelnen 2x1 verstehen ist, sol1 im ersten Teil auseinandergesetzt werden.Nehmen wir zunachst einmal die Evidenz der klassischen Logik als gegeben an, so entsteht die Frage, wie es moglich sein kann, daR fur die Aussagen der Quantenphysik nur eine restriktive Logik, die Quantenlogik, gilt.
Von Lothar von Straufl und Torneu, Jena II.Der durch die Quantenmechanik veranderte Standpunkt *)In den letzten Jahrzehnten des 19.Jahrhunderts trat mit der Entdeckung der neuen Strahlenarten, Kathoden-und Rontgen-Strahlen, und des Elektrons wie auch der Radioaktivitat eine groRe Menge empirischen Materials in die Physik ein, dessen Einordnung in die Theorie in vollem MaRe erst durch die Quantentheorie ermoglicht wurde.Der Blitz, der diese Situation zum ersten Ma1 erleuchtete, war Plancks Entdeckung des Gesetzes der Hohlraumstrahlung, das den neuartigen und zunachst wenig verstandenen Begriff der Quanten in die Physik einfuhrte.Des weiteren ist die Atomtheorie Rutherfords zu erwahnen sowie, schon unter Benutzung des Wirkungsquantums, die Bohrsche Atomtheorie, die das Atomplanetensystem erkennen lieR, sich aber mit ihren ,,strahlungslosen" Elektronenbahnen zunachst in schroffem Gegensatz zur klassischen Elektrodynamik setzte.Durch eine Fulle experimenteller Bestatigungen erwies sich jedoch ihr Wahrheitswert, womit ein neues Zeitalter der Physik eroffnet wurde.Es ist bekannt, da13 die Bohrsche Theorie auch auf Schwierigkeiten sties, was aber ihre fundamentale Bedeutung nicht aufhob, und daI3 dann Heisenberg, Schrodinger, Dirac u. A. die Quantenmechanik aufstellten, die auch noch heute das physikalische Weltbild beherrscht.Heisenbergs groI3e Tat ist nicht nur die Quantentheorie der Matrizen, sondern auch vor allem die Entdeckung der Unscharfe-Relationen, welche den von de Broglie aufgedeckten Dualismus von Teilh e n -und Wellenbild begrundeten.Hier werden wir anzuknupfen haben, wenn die Bedeutung der modernen Physik fur den Begriff der Objektivierbarkeit, dem diese Arbeit gewidmet sein soll, ins Auge gefaRt wird.Heisenberg hat wohl zuerst die veranderte Stellung der Physik zur Objektivierbarkeit erfaI3t.In aufierordentlich klarer Weise hat er &on 1933 in einem Munchener Vortrag diese schopferische Idee ans Licht ge-~t e l l t .~) Die Unscharfe-Relationen sprechen in ihrer ersten Form die Komplementaritat zwischen Impuls und Ort einerseits, zwischen Energie und Zeit andererseits aus.Klassische und Quantenphysik haben die Satze von der Erhaltung der Energie und des Impulses gemeinsam.Wenn man mit der klassischen Physik in den Erhaltungssatzen die Kausalgesetzlichkeit als Ausdruck der Gesetzlichkeit der Naturvorgange annimmt, im Raum-Zeit-Bild die Anschaulichkeit, so wird man die beiden Kennzeichen der Kausalitat im klassischen Sinne, Energie und Impuls, als komplementar zu der Dimension der Anschauung setzen.Wir mussen auch hier die Kenntnis der quantenmechanischen Theorie im wesentlichen als bekannt voraussetzen.Schrodinger sah in seiner Wellen-
In einer früheren Arbeit1 des Verfassers wurden Hauptsätze über das Messen formuliert und diskutiert, die HILBERT-Raum-ähnliche Strukturen zu Folge haben. Das in 1 vorgeschlagene System von Axiomen läßt aber wahrscheinlich noch andere Realisationen als den HILBERT-Raum zu. In dieser Arbeit wird ein weiterer Hauptsatz so formuliert, daß im „endlich dimensionalen Fall“ (siehe Axiom l η endlich aus 1) als irreduzible Lösungen nur noch HILBERT-Räume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder der Quaternionen übrig bleiben. Der formulierte Hauptsatz ist im wesentlichen eine Art modulares Postulat, wie es von vielen an die „Propositions“ gestellt wurde [siehe 2 „loi de couverture“ (siehe Anm. 3), Theorem 8 und Axiom 12]. Man kann aber dieses Postulat als Aussage über Gesamtheiten so formulieren, daß es sich leicht und anschaulich physikalisch interpretieren läßt. Ebenso läßt es sich sofort auf den unendlich dimensionalen Fall übertragen, so daß der Verband der abgeschlossenen Teilräume des HILBERT-Raumes (der bekanntlich nicht modular ist!) alle Axiome erfüllt.
Dieses Skript ist auf der Grundlage der beiden Vorlesungen entstanden, die ich im Herbsttrimester 2001 in Amsterdam und im Wintersemester 2002/2003 in Hamburg gehalten habe. Das eine oder andere wurde korrigiert, erganzt oder weggelassen. Dieser Kurs erganzt die einfuhrenden Vorlesungen zur Quantenmechanik und das Studium der grundstandigen Lehrbucher, wo erste Grundlagen, Rechentechniken und Rechnungen erlernt werden. Das Motivieren von Rechnungen und das Auswerten von Rechenresultaten erfordert jedoch Vertrautheit mit dem allgemeinen mathematischen Rahmen und seinen Fallstricken, und die werden hier erganzt. Es wird hier im Gegensatz zu den Kursvorlesungen nicht historisch vorgegangen, sondern gleich mit dem mathematischen Formalismus begonnen.
Abstract Der grundlegende Unterschied zwischen klassischer Physik und der Quantenmechanik liegt in einem allgemeinen Komplementaritätsprinzip. Nach diesem lassen sich verschiedene, getrennt durchaus erlaubte Messungen an einem Quantensystem nicht durch eine gemeinsame Messung ersetzen. Dieses Prinzip folgt aus experimentellen Daten zusammen mit einem Lokalitätsprinzip, nämlich der Unmöglichkeit der Nachrichtenübermittlung allein durch Betrachtung von korrelierten Daten. Diese Folgerung, das Bellsche Theorem, setzt keinerlei quantenmechanischen Formalismus voraus. In diesem Beitrag wird es anhand einer einfachen Geschichte durchgeführt. Daraus ergibt sich zudem die Unmöglichkeit einer Beschreibung quantenmechanischer Systeme durch lokale verborgene Variable. Eine weitere Folge ist die Existenz von Verschränkung. Diese Art von Korrelation zwischen Teilsystemen lässt sich nicht klassisch erzeugen.