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Annalen der Physik

Dichtematrix und Slatersumme eines Vielteilchensystems mit Wechselwirkung

Hans-J. Hoffmann, Günter Kelbg

Published Jan 1, 1966• 10 citations
Publisher

Abstract

Abstract Für eine quantenstatistische kanonische Gesamtheit wird der Dichte‐Operator unter Benutzung der Resolventenmethode nach Potenzen des Kopplungsparameters q der Teilchen‐Wechselwirkung geordnet, und in der Slatersumme die Quantenkorrektur zum klassischen Boltzmannschen e‐Faktor unter Vernachlässigung von Symmetrie‐Effekten bis zum Gliede in q2 berechnet.

DOI
10.1002/andp.19664720704

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Quantenstatistik eines Vielteilchensystems mit Coulomb-Wechselwirkungen

D. Kremp, G. Schmttz

Aus der BOGOLJUBow-Hierarchie für die reduzierten Dichteoperatoren wird die Zweiteilchen-Dichtematrix bis zur Ordnung e2 für ein System geladener Teilechn im Gleichgewicht berechnet. Mit dieser Funktion wird dann für den Fall n λ3⪡ 1 die Korrelationsenergie und die freie Energie bis zur Ordnung e4 bestimmt.

Zeitschrift für Naturforschung A•Sep 1, 1967•17 citations

Über die quantenmechanische Behandlung von Vielteilchensystemen in WKB‐ähnlicher Näherung

Wilhelm Macke, Peter RENNERT

Abstract Ein in einer früheren Arbeit behandeltes WKB‐ähnliches Näherungsverfahren zur Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens im gegebenen Potential wird zur Berechnung der Dichte eines Systems vieler unabhängiger Teilchen in gemeinsamen, gegebenen Potential angewendet. Dabei wird von einem Dichteausdruck ausgegangen, der durch operatorartige Auswertung der Dichtematrix gewonnen wurde. Es wird eine explizite Darstellung der Dichte abgeleitet, die für alle Potentiale dieselbe funktionale Form besitzt. In nullter Näherung stimmt die Lösung mit der Thomas‐Fermi‐Lösung überein, in erster Näherung werden die Dichteschwankungen und das exponentielle Abklingen erfaßt. Über ein self‐consistent‐field‐Verfahren können Teilchen mit Wechselwirkung behandelt werden. Bei den betrachteten Beispielen besteht eine gute Übereinstimmung mit dem exakten Verlauf.

Annalen der Physik•Jan 1, 1963•10 citations

Anwendung der Dichtematrix-Renormierung auf nichthermitesche Probleme

Matthias Kaulke

Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes. Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt. Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden. Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert. Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.

•Jan 1, 1999•0 citations

Quantenfeldtheorie wechselwirkender Vielteilchensysteme zur semiklassischen Beschreibung von kollektiver Bewegung mit großen Amplituden

Hugo Reinhardt

Abstract Unter Benutzung von Funktionalintegralmethoden wird eine kollektive Quantenfeldtheorie wechselwirkender Vielteilchensysteme abgeleitet, deren klassischer Grenzfall durch die zeitabhängige Mean‐Field‐Approximation gegeben ist. Auf diese Weise wird die Mean‐Field‐Approximation in die volle Quantenmechanik eingebettet und die Quantenkorrekturen zur „klassischen”︁ Mean‐Field‐Approximation können systematisch berechnet werden. Unter Einschluß der dominierenden Quantenkorrekturen zur Mean‐Field‐Approximation wird eine semiklassische Theorie der kollektiven Bewegungen großer Amplituden in Vielteilchensystemen, die eine stark nichtlineare Dynamik besitzen und den konventionellen störungstheoretischen Methoden nicht zugängig sind, entwickelt. Die semiklassische Theorie wird explizit für gebundene Zustände und Zerfallsprozesse ausgearbeitet. Für gebundene Zustände führt dies zur Quantisierung der nichtlinearen zeitabhängigen Hartree‐Fock‐Theorie, die am Beispiel einer gleichförmigen Kernrotation illustriert wird.

Fortschritte der Physik•Jan 1, 1982•7 citations

Optische Eigenschaften einzelner und Coulomb-gekoppelter Quantenpunkte und ihre Verwendung in der Quanteninformationsverarbeitung

J. Danckwerts

In dieser Arbeit wird die Elektronendynamik in Halbleiterquantenpunkten unter linearer und nichtlinearer optischer Anregung untersucht. Es werden einzelne Quantenpunkte und Systeme aus zwei gekoppelten Quantenpunkten betrachtet, wobei das gekoppelte System insbesondere im Hinblick auf seine Eignung zur Quanteninformationsverarbeitung untersucht wird. Bei der Beschreibung der Quantenpunkte wird die Wechselwirkung der Quantenpunktelektronen mit einem klassischen elektromagnetischen Feld und mit Phononen des umgebenden Halbleitermaterials, sowie die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Quantenpunkten in Dipolnäherung berücksichtigt. Die dynamischen Größen werden auf der Basis einer mikroskopischen Vielteilchentheorie berechnet. Dazu werden die Quantenpunktelektronen im Rahmen eines Dichtematrixformalismus in zweiter Quantisierung behandelt. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe einer Korrelationsentwicklung aufgestellt und numerisch gelöst. Für einzelne Quantenpunkte zeigt sich, dass die Wechselwirkung mit Phononen durch nicht-Markovsche Prozesse starken Einfluß auf die optischen Eigenschaften der Quantenpunkte hat. Es ergeben sich temperaturabhängige Seitenbänder in optischen Absorptionsspektren und eine Dämpfung von Rabi-Oszillationen, die sowohl von der Temperatur als auch von der Pulsdauer und Intensität der optischen Anregung abhängt. Bei niedrigen Temperaturen und kurzen Pulsdauern ist die Dämpfung sehr gering, was eine Verwendung von Quantenpunkten zur optischen Quanteninformationsverarbeitung ermöglicht. Bei gekoppelten Quantenpunkten treten zwei Effekte als Folge der Coulomb-Wechselwirkung in Dipolnäherung auf: der Förster-Transfer und die Biexzitonische Verschiebung, die jeweils durch ein Matrixelement des Hamilton-Operators charakterisiert werden können. Das Förster-Matrixelement bewirkt eine Energieverschiebung der Exzitonenresonanzen in den Absorptionsspektren. Bei den Rabi-Oszillationen ergeben sich eine Abnahme der Amplitude und eine Änderung der Rabi-Frequenz. Die Effekte werden mit Hilfe einer analytischen Diagonalisierung des Hamilton-Operators erklärt. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass im Fall unterschiedlicher Quantenpunkte auch im gekoppelten System die Exzitonen selektiv angeregt werden können, so dass das System prinzipiell geeignet ist für die optische Quanteninformationsverarbeitung auf der Basis von exzitonischen Zuständen. Zuletzt werden einzelne Quantengatter in dem System gekoppelter Quantenpunkte simuliert und ihre Güte berechnet. Als Beispiele für Ein- und Zwei-Qubit-Gatter werden das NOT-Gatter und das CNOT-Gatter untersucht. Der Fehler der Gatter liegt bei Berücksichtigung der radiativen Dämpfung in der Größenordnung 10^(-2). Für die Herstellung vollständig verschränkter Zustände können auch mit radiativer Dämpfung Fehler der Größenordnung 10^(-3) erreicht werden. Abschließend wird die Bedeutung und mögliche Reduktion der Fehlergrößen kritisch diskutiert.

•Jan 4, 2011•0 citations

Zur dissipativen Dynamik von Ein- und Zwei-Teilchensystemen in molekularen Komplexen

Hans Paul Olav Linden

In der vorliegenden Arbeit werden Untersuchungen vorgestellt, die sich mit drei verschiedenen Aspekten der Dynamik offener Quantensysteme beschäftigen. Zwei Themenkreise haben dabei mehr grundsätzliche Probleme der Theorie dissipativer Molekularsysteme zum Gegenstand. Dementsprechend müssen die Betrachtungen dazu auf einem allgemeineren Niveau verbleiben. In dem dritten Themenkreis jedoch, der sich mit Zwei-Teilchen-Effekten in der dissipativen Dynamik befaßt, können die Untersuchungen bis hin zu Berechnung von Meßgrößen geführt werden. Im ersten Teil der Arbeit gelingt eine Verallgemeinerung der vielbenutzten Standardform der Quanten-Master-Gleichung hin zur Nichtlinearen Quanten-Master-Gleichung. Mit der Anwendung der dazugehörigen zeitabhängigen Projektionsoperator-Technik kann ein Formalismus reaktiviert werden, der in der Literatur bisher eine nur sehr eingeschränkte Verbreitung findet. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich Untersuchungen zur Monte-Carlo-Wellenfunktions-Methode mit dem Ergebnis, eine konsistente Verallgemeinerung auf ein Reservoir mit endlicher Temperatur anzugeben. Den Ausgangspunkt dazu bildet ein mikroskopisches Modell zur System-Reservoir-Kopplung, welches im Rahmen der Bewegungsgleichung für den reduzierten statistischen Operator in die sogenannte Lindblad-Form der Dissipation überführt wird. Nach der Betrachtung von Ein-Teilchen-Transferprozessen beschäftigt sich der dritte Teil der Arbeit mit der korrelierten Bewegung von zwei Quantenteilchen in einer dissipativen Umgebung mit der Hinwendung zum Zwei-Wasserstoff-System (Dihydrid-System) an Übergangsmetall-Verbindungen. Zunächst werden Modellrechnungen zur dissipationfreien Zwei-Teilchen-Dynamik in einem Potentialmodell durchzuführt. Der Einfluß, den die Teilchen-Teilchen-Korrelationen auf das Durchtunneln eines Potentialwalles besitzt, können durch verschiedene numerische Rechnungen aufgezeigt werden. Wie sich diese Effekte in Neutronenstreuexperimenten an dem Zwei-Teilchen-System der Übergangsmetall-Hydrid-Komplexe äußern, wird basierend auf Simulationsrechnungen untersucht. Kernstück dieser Betrachtungen bildet eine neuartige Formel für die Neutronenstreuung, die auf der dissipativen Dynamik des betrachteten Zwei-Teilchen-Systems aufbaut.

•Mar 8, 2002•0 citations
Abstract Für eine quantenstatistische kanonische Gesamtheit wird der Dichte‐Operator unter Benutzung der Resolventenmethode nach Potenzen des Kopplungsparameters q der Teilchen‐Wechselwirkung geordnet, und in der Slatersumme die Quantenkorrektur zum klassischen Boltzmannschen e‐Faktor unter Vernachlässigung von Symmetrie‐Effekten bis zum Gliede in q2 berechnet.
Abstract Ein in einer früheren Arbeit behandeltes WKB‐ähnliches Näherungsverfahren zur Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens im gegebenen Potential wird zur Berechnung der Dichte eines Systems vieler unabhängiger Teilchen in gemeinsamen, gegebenen Potential angewendet. Dabei wird von einem Dichteausdruck ausgegangen, der durch operatorartige Auswertung der Dichtematrix gewonnen wurde. Es wird eine explizite Darstellung der Dichte abgeleitet, die für alle Potentiale dieselbe funktionale Form besitzt. In nullter Näherung stimmt die Lösung mit der Thomas‐Fermi‐Lösung überein, in erster Näherung werden die Dichteschwankungen und das exponentielle Abklingen erfaßt. Über ein self‐consistent‐field‐Verfahren können Teilchen mit Wechselwirkung behandelt werden. Bei den betrachteten Beispielen besteht eine gute Übereinstimmung mit dem exakten Verlauf.
Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes. Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt. Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden. Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert. Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.
Abstract Unter Benutzung von Funktionalintegralmethoden wird eine kollektive Quantenfeldtheorie wechselwirkender Vielteilchensysteme abgeleitet, deren klassischer Grenzfall durch die zeitabhängige Mean‐Field‐Approximation gegeben ist. Auf diese Weise wird die Mean‐Field‐Approximation in die volle Quantenmechanik eingebettet und die Quantenkorrekturen zur „klassischen”︁ Mean‐Field‐Approximation können systematisch berechnet werden. Unter Einschluß der dominierenden Quantenkorrekturen zur Mean‐Field‐Approximation wird eine semiklassische Theorie der kollektiven Bewegungen großer Amplituden in Vielteilchensystemen, die eine stark nichtlineare Dynamik besitzen und den konventionellen störungstheoretischen Methoden nicht zugängig sind, entwickelt. Die semiklassische Theorie wird explizit für gebundene Zustände und Zerfallsprozesse ausgearbeitet. Für gebundene Zustände führt dies zur Quantisierung der nichtlinearen zeitabhängigen Hartree‐Fock‐Theorie, die am Beispiel einer gleichförmigen Kernrotation illustriert wird.
In dieser Arbeit wird die Elektronendynamik in Halbleiterquantenpunkten unter linearer und nichtlinearer optischer Anregung untersucht. Es werden einzelne Quantenpunkte und Systeme aus zwei gekoppelten Quantenpunkten betrachtet, wobei das gekoppelte System insbesondere im Hinblick auf seine Eignung zur Quanteninformationsverarbeitung untersucht wird. Bei der Beschreibung der Quantenpunkte wird die Wechselwirkung der Quantenpunktelektronen mit einem klassischen elektromagnetischen Feld und mit Phononen des umgebenden Halbleitermaterials, sowie die Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Quantenpunkten in Dipolnäherung berücksichtigt. Die dynamischen Größen werden auf der Basis einer mikroskopischen Vielteilchentheorie berechnet. Dazu werden die Quantenpunktelektronen im Rahmen eines Dichtematrixformalismus in zweiter Quantisierung behandelt. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe einer Korrelationsentwicklung aufgestellt und numerisch gelöst. Für einzelne Quantenpunkte zeigt sich, dass die Wechselwirkung mit Phononen durch nicht-Markovsche Prozesse starken Einfluß auf die optischen Eigenschaften der Quantenpunkte hat. Es ergeben sich temperaturabhängige Seitenbänder in optischen Absorptionsspektren und eine Dämpfung von Rabi-Oszillationen, die sowohl von der Temperatur als auch von der Pulsdauer und Intensität der optischen Anregung abhängt. Bei niedrigen Temperaturen und kurzen Pulsdauern ist die Dämpfung sehr gering, was eine Verwendung von Quantenpunkten zur optischen Quanteninformationsverarbeitung ermöglicht. Bei gekoppelten Quantenpunkten treten zwei Effekte als Folge der Coulomb-Wechselwirkung in Dipolnäherung auf: der Förster-Transfer und die Biexzitonische Verschiebung, die jeweils durch ein Matrixelement des Hamilton-Operators charakterisiert werden können. Das Förster-Matrixelement bewirkt eine Energieverschiebung der Exzitonenresonanzen in den Absorptionsspektren. Bei den Rabi-Oszillationen ergeben sich eine Abnahme der Amplitude und eine Änderung der Rabi-Frequenz. Die Effekte werden mit Hilfe einer analytischen Diagonalisierung des Hamilton-Operators erklärt. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass im Fall unterschiedlicher Quantenpunkte auch im gekoppelten System die Exzitonen selektiv angeregt werden können, so dass das System prinzipiell geeignet ist für die optische Quanteninformationsverarbeitung auf der Basis von exzitonischen Zuständen. Zuletzt werden einzelne Quantengatter in dem System gekoppelter Quantenpunkte simuliert und ihre Güte berechnet. Als Beispiele für Ein- und Zwei-Qubit-Gatter werden das NOT-Gatter und das CNOT-Gatter untersucht. Der Fehler der Gatter liegt bei Berücksichtigung der radiativen Dämpfung in der Größenordnung 10^(-2). Für die Herstellung vollständig verschränkter Zustände können auch mit radiativer Dämpfung Fehler der Größenordnung 10^(-3) erreicht werden. Abschließend wird die Bedeutung und mögliche Reduktion der Fehlergrößen kritisch diskutiert.
In der vorliegenden Arbeit werden Untersuchungen vorgestellt, die sich mit drei verschiedenen Aspekten der Dynamik offener Quantensysteme beschäftigen. Zwei Themenkreise haben dabei mehr grundsätzliche Probleme der Theorie dissipativer Molekularsysteme zum Gegenstand. Dementsprechend müssen die Betrachtungen dazu auf einem allgemeineren Niveau verbleiben. In dem dritten Themenkreis jedoch, der sich mit Zwei-Teilchen-Effekten in der dissipativen Dynamik befaßt, können die Untersuchungen bis hin zu Berechnung von Meßgrößen geführt werden. Im ersten Teil der Arbeit gelingt eine Verallgemeinerung der vielbenutzten Standardform der Quanten-Master-Gleichung hin zur Nichtlinearen Quanten-Master-Gleichung. Mit der Anwendung der dazugehörigen zeitabhängigen Projektionsoperator-Technik kann ein Formalismus reaktiviert werden, der in der Literatur bisher eine nur sehr eingeschränkte Verbreitung findet. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich Untersuchungen zur Monte-Carlo-Wellenfunktions-Methode mit dem Ergebnis, eine konsistente Verallgemeinerung auf ein Reservoir mit endlicher Temperatur anzugeben. Den Ausgangspunkt dazu bildet ein mikroskopisches Modell zur System-Reservoir-Kopplung, welches im Rahmen der Bewegungsgleichung für den reduzierten statistischen Operator in die sogenannte Lindblad-Form der Dissipation überführt wird. Nach der Betrachtung von Ein-Teilchen-Transferprozessen beschäftigt sich der dritte Teil der Arbeit mit der korrelierten Bewegung von zwei Quantenteilchen in einer dissipativen Umgebung mit der Hinwendung zum Zwei-Wasserstoff-System (Dihydrid-System) an Übergangsmetall-Verbindungen. Zunächst werden Modellrechnungen zur dissipationfreien Zwei-Teilchen-Dynamik in einem Potentialmodell durchzuführt. Der Einfluß, den die Teilchen-Teilchen-Korrelationen auf das Durchtunneln eines Potentialwalles besitzt, können durch verschiedene numerische Rechnungen aufgezeigt werden. Wie sich diese Effekte in Neutronenstreuexperimenten an dem Zwei-Teilchen-System der Übergangsmetall-Hydrid-Komplexe äußern, wird basierend auf Simulationsrechnungen untersucht. Kernstück dieser Betrachtungen bildet eine neuartige Formel für die Neutronenstreuung, die auf der dissipativen Dynamik des betrachteten Zwei-Teilchen-Systems aufbaut.