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Annalen der Physik

Ableitung kinetischer Gleichungen für ein Zweiniveausystem

Walter John

Published Jan 1, 1967• 0 citations
Publisher

Abstract

Abstract Ein Zweiniveausystem, gekoppelt an ein Bad harmonischer Oszillatoren, wird untersucht. Die Badvariablen werden durch Umordnung des S‐Operators aus der Bewegungsgleichung für die Dichtematrix exakt eliminiert. In MARKOV‐Näherung ergeben sich die durch Störungsrechnung bis zur 2. Ordnung von WANGSENESS und BLOCH abgeleiteten kinetischen Gleichungen.

DOI
10.1002/andp.19674750507

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Anwendung der Dichtematrix-Renormierung auf nichthermitesche Probleme

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Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes. Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt. Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden. Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert. Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.

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Die Lösung des allgemeinen Mehrkörperproblems stößt naturgemäß auch in der Wellenmechanik auf unüberwindliche mathematische Schwierigkeiten, da die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung eines beliebigen zusammengesetzten Systems vollkommen aussichtslos ist. Bei zusammengesetzten Systemen ist es aber häufig der Fall, daß für die einzelnen Teilchen, aus denen sich das System zusammensetzt, die Schrödinger-Gleichung streng lösbar ist, d. h. daß für die einzelnen Teilchen die Eigenfunktionen und Eigenwerte bekannt sind. Die Lösung des Problems im Fall eines solchen zusammengesetzten Systems kann in der Wellenmechanik häufig in der Weise erzielt werden, daß man in der sogenannten nullten Näherung die Teilchen voneinander als unabhängig betrachtet und die gegenseitige Wechselwirkung der Teilchen in den höheren Näherungen auf Grund der Störungsrechnung in Betracht zieht.

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Schwingungen, Wellen, Quantenfeld. Eine durchgehende Darstellung von klassischen Schwingungen bis zur relativistischen Quantenfeldtheorie.

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Der Artikel beginnt mit der mathematischen Darstellung von Schwingungen und zeigt, wie Kreisbewegungen als Basiszeit dienen können. Der harmonische Oszillator wird klassisch und quantenmechanisch hergeleitet, einschließlich Nullpunktsenergie und quantisierter Amplituden. Mechanische Wellen werden als gekoppelte Oszillatoren modelliert, und die Wellengleichung wird aus Newtons zweitem Axiom abgeleitet. Die Maxwell‑Gleichungen werden zur elektromagnetischen Wellengleichung reduziert. Die relativistische Feldgleichung wird in homogener und inhomogener Form dargestellt, wobei die inhomogene Gleichung die Energie‑Impuls‑Relation und die Masse eines Quants reproduziert. Der Text bietet eine umfassende, intuitive und mathematisch saubere Darstellung der Übergänge von klassischer Physik zur Quantenfeldtheorie.

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In meiner Doktorarbeit wird das Problem der Zeitirreversibilität in quantenmechanischen Systemen anhand von offenen Quantensystemen untersucht. Nach einer kurzen Zusamenfassung der Resultate im Bereich der klassischen Physik, welche zur Boltzmanngleichung führen, wird die Theorie der offenen Quantensysteme vorgestellt. Der erste Hauptteil der Arbeit widmet sich der mathematisch rigorosen Untersuchung eines Modells von Caldeira und Legett. Dieses wohl einfachste Modell eines offenen Quantensystems behandelt ein Teilchen, welches linear an ein aus harmonischen Oszillatoren bestehendes Reservoir gekoppelt ist. Es wird angenommen, daß sich das Reservoir ursprünglich im thermischen Gleichgewicht befindet. Da der genaue Zustand des Reservoir eigentlich nicht von Interesse ist, werden die entsprechenden Koordinaten durch Spurbildung reduziert. Anschließend führen Caldeira und Legett verschiedene Grenzübergänge durch, um schließlich im Limes eine Fokker-Planck Gleichung herzuleiten. Das Hauptziel unserer Untersuchung besteht darin, sowohl physikalisch als auch mathematisch den Mechanismus, der Dissipativität in das Modell bringt, exakt zu verstehen. Dabei stellt sich heraus, daß der ursprüngliche Zugang von Caldeira und Legett sowohl aus mathematischer als auch aus physikalischer Sicht einige Fragen aufwirft und wir geben eine genaue Analyse der betreffenden Problematik. Zur Klärung der Situation behandeln wir das ursprüngliche Modell mathematisch exakt unter Verwendung des Wignerformalismus und wir besprechen, warum der Grund für die darin auftretende Diffusion nicht realistisch erscheint. Anschließend geben wir zwei andere Möglichkeiten, unter sinnvolleren Bedingungen dissipative Gleichungen herzuleiten. Im abschließenden Kapitel besprechen wir, inwiefern zumindest im Bereich der Modellierung von Elektronen in harmonischen Kristallgittern der Annahme der linearen Kopplung problematisch erscheint. Ferner untersuchen wir ein wesentlich komplizierteres Modell eines offenen Quantensystems, das auf diese Annahme verzichtet. Wir beschreiben wiederum ein System bestehend aus einem Elektron und einem Reservoir, allerdings verwenden wir nun zur Beschreibung des Phononenbades den Formalismus der zweiten Quantisierung. Als wesentlichen Bestandteil der Modellierung nehmen wir an, daß das Elektron und das Reservoir nur schwach interagieren. Wie arbeiten wieder im Wignerformalismus und bilden die Spur bezüglich der Koordinaten des Reservoirs, unter der Annahme der schwachen Interaktion leiten wir asymptotisch eine kinetische Gleichung mit kompliziertem Streuterm her und weisen auf den Zusammenhang zur Barker-Ferry Gleichung hin. Schließlich führen verschiedene Skalierungen im Limes wieder zu Fokker-Planck Gleichungen.

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