. Die Sicherheit von elektronischen Daten und deren Ubermittlung beruht heutzutage auf ausgeklugelten kryptographischen Methoden, die z.B. im e-Banking Verwendung finden. Im gleichen Mase, wie immer sicherere mathematische Methoden entwickelt wurden, um vertrauliche elektronische Kommunikation zu schutzen, sind auch immer raffiniertere Techniken entstanden, um diese Codes mit Hilfe immer leistungsfahigerer Computer zu brechen. Moderne Verschlusselungsmethoden basieren unter anderem auf zahlentheoretischen Grundlagen, auf der Theorie kommutativer Gruppen und auf algebraischer Geometrie. Die als besonders sicher geltenden Protokolle von Diffie und Hellman und das RSA-Public Key Verfahren scheinen in nicht allzu ferner Zukunft durch Faktorisierungsmethoden auf Quantencomputern bedroht. Als Abhilfe werden Chiffrierungsmethoden erprobt, die ihrerseits Quanteneffekte ausnutzen. Im Unterschied dazu beruht die Sicherheit des hier vorgestellten Public Key Verfahrens auf dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Dabei wird benutzt, dass die Warmeleitungsgleichung nur in einer Zeitrichtung losbar ist.
. Die Sicherheit von elektronischen Daten und deren Ubermittlung beruht heutzutage auf ausgeklugelten kryptographischen Methoden, die z.B. im e-Banking Verwendung finden. Im gleichen Mase, wie immer sicherere mathematische Methoden entwickelt wurden, um vertrauliche elektronische Kommunikation zu schutzen, sind auch immer raffiniertere Techniken entstanden, um diese Codes mit Hilfe immer leistungsfahigerer Computer zu brechen. Moderne Verschlusselungsmethoden basieren unter anderem auf zahlentheoretischen Grundlagen, auf der Theorie kommutativer Gruppen und auf algebraischer Geometrie. Die als besonders sicher geltenden Protokolle von Diffie und Hellman und das RSA-Public Key Verfahren scheinen in nicht allzu ferner Zukunft durch Faktorisierungsmethoden auf Quantencomputern bedroht. Als Abhilfe werden Chiffrierungsmethoden erprobt, die ihrerseits Quanteneffekte ausnutzen. Im Unterschied dazu beruht die Sicherheit des hier vorgestellten Public Key Verfahrens auf dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Dabei wird benutzt, dass die Warmeleitungsgleichung nur in einer Zeitrichtung losbar ist.
Moderne Kryptographie erlaubt nicht nur, personenbezogene Daten im Internet zu schützen oder sich für bestimmte Dienste zu authentifizieren, sondern ermöglicht auch das Auswerten einer Funktion auf geheimen Eingaben mehrerer Parteien, ohne dass dabei etwas über diese Eingaben gelernt werden kann (mit der Ausnahme von Informationen, die aus der Ausgabe und eigenen Eingaben effizient abgeleitet werden können). Kryptographische Protokolle dieser Art werden sichere Mehrparteienberechnung genannt und eignen sich für ein breites Anwendungsspektrum, wie z.B. geheime Abstimmungen und Auktionen. Um die Sicherheit solcher Protokolle zu beweisen, werden Annahmen benötigt, die oft komplexitätstheoretischer Natur sind, beispielsweise, dass es schwierig ist, hinreichend große Zahlen zu faktorisieren. Sicherheitsannahmen, die auf physikalischen Prinzipien basieren, bieten im Gegensatz zu komplexitätstheoretischen Annahmen jedoch einige Vorteile: die Protokolle sind meist konzeptionell einfacher, die Sicherheit ist unabhängig von den Berechnungskapazitäten des Angreifers, und die Funktionsweise und Sicherheit ist oft für den Menschen leichter nachvollziehbar. (Zum Beispiel forderte das Bundesverfassungsgericht: „Beim Einsatz elektronischer Wahlgeräte müssen die wesentlichen Schritte der Wahlhandlung und der Ergebnisermittlung vom Bürger zuverlässig und ohne besondere Sachkenntnis überprüft werden können.“ (BVerfG, Urteil des Zweiten Senats vom 03. März 2009)). Beispiele für solche Annahmen sind physikalisch getrennte oder unkorrumpierbare Hardware-Komponenten (vgl. Broadnax et al., 2018), Write-Only-Geräte für Logging, oder frei zu rubbelnde Felder, wie man sie von PIN-Briefen kennt. Auch die aus der Quantentheorie folgende Nicht-Duplizierbarkeit von Quantenzuständen ist eine physikalische Sicherheitsannahme, die z.B. verwendet wird, um nicht-klonbares „Quantengeld“ zu realisieren. In der vorliegenden Dissertation geht es neben Protokollen, die die Sicherheit und Isolation bestimmter einfacher Hardware-Komponenten als Vertrauensanker verwenden, im Besonderen um kryptographischen Protokolle für die sichere Mehrparteienberechnung, die mit Hilfe physikalischer Spielkarten durchgeführt werden. Die Sicherheitsannahme besteht darin, dass die Karten ununterscheidbare Rückseiten haben und, dass bestimmte Mischoperationen sicher durchgeführt werden können. Eine Anwendung dieser Protokolle liegt also in der Veranschaulichung von Kryptographie und in der Ermöglichung sicherer Mehrparteienberechnungen, die gänzlich ohne Computer ausgeführt werden können. Ein Ziel in diesem Bereich der Kryptographie ist es, Protokolle anzugeben, die möglichst wenige Karten benötigen – und sie als optimal in diesem Sinne zu beweisen. Abhängig von Anforderungen an das Laufzeitverhalten (endliche vs. lediglich im Erwartungswert endliche Laufzeit) und an die Praktikabilität der eingesetzten Mischoperationen, ergeben sich unterschiedliche untere Schranken für die mindestens benötigte Kartenanzahl. Im Rahmen der Arbeit wird für jede Kombination dieser Anforderungen ein UND-Protokoll – ein logisches UND zweier in Karten codierter Bits; dieses ist zusammen mit der Negation und dem Kopieren von Bits hinreichend für die Realisierung allgemeiner Schaltkreise – konstruiert oder in der Literatur identifiziert, das mit der minimalen Anzahl an Karten auskommt, und dies auch als Karten-minimal bewiesen. Insgesamt ist UND mit vier (für erwartet endliche Laufzeit (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Koch, 2018)), fünf (für praktikable Mischoperationen oder endliche Laufzeit (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Koch, 2018)) oder sechs Karten (für endliche Laufzeit und gleichzeitig praktikable Mischoperationen (Kastner et al., 2017)) möglich und optimal. Für die notwendigen Struktureinsichten wurden so-genannte „Zustandsdiagramme“ mit zugehörigen Kalkülregeln entwickelt, die eine graphenbasierte Darstellung aller möglichen Protokolldurchläufe darstellen und an denen Korrektheit und Sicherheit der Protokolle direkt ablesbar sind (Koch, Walzer und Härtel, 2015; Kastner et al., 2017). Dieser Kalkül hat seitdem eine breite Verwendung in der bereichsrelevanten Literatur gefunden. (Beweise für untere Schranken bzgl. der Kartenanzahl werden durch den Kalkül zu Beweisen, die zeigen, dass bestimmte Protokollzustände in einer bestimmten kombinatorischen Graphenstruktur nicht erreichbar sind.) Mit Hilfe des Kalküls wurden Begriffe der Spielkartenkryptographie als C-Programm formalisiert und (unter bestimmten Einschränkungen) mit einem „Software Bounded Model Checking“-Ansatz die Längenminimalität eines kartenminimalen UND-Protokolls bewiesen (Koch, Schrempp und Kirsten, 2019). Darüber hinaus werden konzeptionell einfache Protokolle für den Fall einer sicheren Mehrparteienberechnung angegeben, bei der sogar zusätzlich die zu berechnende Funktion geheim bleiben soll (Koch und Walzer, 2018), und zwar für jedes der folgenden Berechnungsmodelle: (universelle) Schaltkreise, binäre Entscheidungsdiagramme, Turingmaschinen und RAM-Maschinen. Es wird zudem untersucht, wie Karten-basierte Protokolle so ausgeführt werden können, dass die einzige Interaktion darin besteht, dass andere Parteien die korrekte Ausführung überwachen. Dies ermöglicht eine (schwach interaktive) Programm-Obfuszierung, bei der eine Partei ein durch Karten codiertes Programm auf eigenen Eingaben ausführen kann, ohne etwas über dessen interne Funktionsweise zu lernen, das über das Ein-/Ausgabeverhalten hinaus geht. Dies ist ohne derartige physikalische Annahmen i.A. nicht möglich. Zusätzlich wird eine Sicherheit gegen Angreifer, die auch vom Protokoll abweichen dürfen, formalisiert und es wird eine Methode angegeben um unter möglichst schwachen Sicherheitsannahmen ein passiv sicheres Protokoll mechanisch in ein aktiv sicheres zu transformieren (Koch und Walzer, 2017). Eine weitere, in der Dissertation untersuchte physikalische Sicherheitsannahme, ist die Annahme primitiver, unkorrumpierbarer Hardware-Bausteine, wie z.B. einen TAN-Generator. Dies ermöglicht z.B. eine sichere Authentifikation des menschlichen Nutzers über ein korrumpiertes Terminal, ohne dass der Nutzer selbst kryptographische Berechnungen durchführen muss (z.B. große Primzahlen zu multiplizieren). Dies wird am Beispiel des Geldabhebens an einem korrumpierten Geldautomaten mit Hilfe eines als sicher angenommenen zweiten Geräts (Achenbach et al., 2019) und mit möglichst schwachen Anforderungen an die vorhandenen Kommunikationskanäle gelöst. Da das angegebene Protokoll auch sicher ist, wenn es beliebig mit anderen gleichzeitig laufenden Protokollen ausgeführt wird (also sogenannte Universelle Komponierbarkeit aufweist), es modular entworfen wurde, und die Sicherheitsannahme glaubwürdig ist, ist die Funktionsweise für den Menschen transparent und nachvollziehbar. Insgesamt bildet die Arbeit durch die verschiedenen Karten-basierten Protokolle, Kalküle und systematisierten Beweise für untere Schranken bzgl. der Kartenanzahl, sowie durch Ergebnisse zur sicheren Verwendung eines nicht-vertrauenswürdigen Terminals, und einer Einordnung dieser in eine systematische Darstellung der verschiedenen, in der Kryptographie verwendeten physikalischen Annahmen, einen wesentlichen Beitrag zur physikalisch-basierten Kryptographie.
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].
Public-Key Kryptographie ist das Fundament der modernen Kryptographie. Quantenalgorithmen können die gängigen klassischen Verfahren basierend auf dem RSA oder dem Diffie-Hellman Problem theoretisch brechen. In dieser Arbeit werden bekannte, potentiell quantenresistente, Public-Key Verschlüsselungsverfahren verbessert und im Quantom Random Oracle Model (QROM) analysiert. Das QROM ist die natürliche Erweiterung des Random Oracle Models wenn man die Resistenz gegen Quantenangreifer betrachtet. Konkret behandelt diese Arbeit die aktive Multi-User Sicherheit von Verfahren basierend auf der Fujisaki-Okamoto Transformation. Weiterhin werden in der Arbeit effizientere Varianten des Gitter-basierten Verfahrens NTRU vorgestellt und analysiert. Zuletzt analysiert die Arbeit welche Sicherheitsannahmen notwendig und hinreichend sind um die Sicherheit von Nicht-Interaktiven Schlüsselaustauschverfahren basierend auf Gruppenwirkungen zu beweisen.
Sichere Datenübertragung ist essentiell in unserer heutigen Zeit. Informationsaus- tausch bestimmt unser wirtschaftliches und auch unser persönliches Leben. Noch werden unsere Daten mit mathematischen Verschlüsselungsmethoden geschützt. Mit der stetigen Weiterentwicklung der Quantencomputer ist es jedoch nur noch eine Frage der Zeit bis jede Verschlüsselung dekodiert werden kann. Abhilfe schafft die Quantenkryptografie, in der die Verschlüsselung nicht auf Algorithmen sondern auf quantenmechanischen Grundgesetzen basiert. In den letzten Jahren hat sich die Quanten-Kommunikation durch einzelne bzw. verschränkte Photonen, stetig weiterentwickelt. In dieser Arbeit werden die Grundlagen geschaffen, dieses Gebiet auf Elektronen zu erweitern. Ein Ziel dieser Arbeit ist, einen supraleitenden Felde- mitter zu entwickeln. Dazu wurde in Tübingen die Technik etabliert, reproduzierbar Spitzen aus dem Supraleiter Niob herstellen zu können. Die Emission solcher Spit- zen wurde bei Raumtemperatur auf ihre Kohärenz untersucht und es wurde eine Halterung gebaut, mit der die Spitzen unterhalb der Sprungtemperatur gekühlt werden können. Im Rahmen eines Aufenthaltes am Lawrence Berkeley National Lab, USA, wurde ein Setup realisiert, womit die Emission einer supraleitenden Spitze untersucht werden kann. Dabei liegt das Augenmerk auf der Energiebreite und der Teilchenstatistik der Emission. Durch Korrelationsmessungen soll festgestellt werden, ob die supraleitende Spitze verschränkte Elektronenpaare emittiert. Das andere Ziel der Arbeit ist, eine neuartige, sichere Quantenmethode zur Datenübertragung zu entwickeln, durch Modulation einer Materiewelle in einem Biprisma-Interferometer. Der Sender ist dabei ein Wienfilter, der den Kontrast des Interferograms moduliert. Die Phasenlage oder die Position des Streifenmusters ändert sich dabei nicht. Der Empfänger ist ein Delay-Line-Detektor, der dynamisch den Kontrast misst. Für dieses Ziel wurde die Elektronik eines bestehenden Experiments erneuert und eine computergesteuerte Sendeeinheit gebaut. Eine Nachricht wurde erfolgreich übertra- gen und der Aufbau hinsichtlich Geschwindigkeit und Stabilität untersucht. Um die Sicherheit des Übertragungsschemas zu erhöhen, wurde eine Methode entwickelt mit Ähnlichkeiten zum BB84-Protokoll für Photonen. Der Sicherheitsaspekt beruht hierbei auf dem Welle-Teilchen-Dualismus, der Symmetrie der Wienkurve und der Dekohärenz. Abschließend wird die Sicherheit bei verschiedenen Abhörangriffen diskutiert und auch experimentell gezeigt, wie ein Angriff mit einem klassischen Instrument die Übertragung aufgrund von Dekohärenz verhindert.
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
Beim Entwurf von Kryptosystemen versucht man deren Sicherheit mittels Reduktionen auf gewisse mathematische Basisprobleme zu grunden. Wer das Kryptosystem brechen kann ist damit auch in der Lage, das Basisproblem zu losen. Wird dem Angreifer nicht zugestanden, das Basisproblem zu losen, gilt das Kryptosystem als sicher. Ein Problem dieser Beweisfuhrung ist jedoch, dass Basisprobleme meist nur im Allgemeinen schwer sind. Bei der Reduktion von Kryptosystemen treten jedoch typischerweise durchschnittliche Probleminstanzen auf, die unter Umstanden sehr viel leichter zu losen sind.
Deshalb erregte das Public-Key Kryptosystem von Ajtai und Dwork einiges an Aufsehen. Ihnen war es erstmals gelungen, eine Worst-Case / Average-Case Aquivalenz zwischen dem Kryptosystem und dem zugrunde liegenden Basisproblem zu zeigen. Ajtai und Dwork beschrankten sich allerdings auf den Reduktionsbeweis. Eine formalere Beschreibung der Annahmen uber die Fahigkeiten und Absichten eines potentiellen Angreifers liefern Sicherheitsmodelle. In diesem Buch wird daher untersucht, in welchen Sicherheitsmodellen das Ajtai-Dwork-Kryptosystem als sicher gelten kann.